Математика 5 клас

РОЗДІЛ 1

ЛІЧБА, ВИМІРЮВАННЯ І ЧИСЛА 

§ 4. ЧИСЛОВІ ВИРАЗИ,РІВНОСТІ, НЕРІВНОСТІ. ПОРІВНЯННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Ви вже знаєте чотири арифметичні дії над числами — додавання, віднімання, множення і ділення. Щоб записати, яку саме дію над числами треба виконати, використовують числові вирази. Наприклад, записи 24 + 2, 24 — 2, 24 ∙ 2, 24 : 2 є числовими виразами.
Запис, в якому використовують тільки числа, знаки арифметичних дій і дужки, називається числовим виразом.
Числовий вираз показує, яку арифметичну дію треба виконати над числами, але не показує результат цієї дії.
Вираз 24 + 2 називається сумою чисел 24 і 2.
Вираз 24-2 називається різницею чисел 24 і 2.
Вираз 24 ∙ 2 називається добутком чисел 24 і 2.
Вираз 24 : 2 називається часткою чисел 24 і 2.
Числа 24 і 2 в кожному із цих числових виразів називаються компонентами виразу.
Зверніть увагу:
щоб прочитати числовий вираз, спочатку прочитайте його назву, а потім його компоненти.
Число, яке дістанемо в результаті виконання арифметичної дії у виразі, називається значенням числового виразу. Наприклад, значенням суми чисел 24 і 2 є число 26, а значенням добутку чисел 24 і 2 є число 48.
Якщо числовий вираз сполучити з його значенням знаком рівності «=», то дістанемо числову рівність. Наприклад, 24 + 2 = 26, 24 ∙ 2 = 48 — числові рівності.

Два числових вирази, що мають рівні значення, можна прирівняти. Для цього сполучимо їх знаком рівності. Отриманий запис теж є числовою рівністю. Наприклад, 24 + 2 = 13 ∙ 2 і 24 - 2 = 44 : 2.

Запис, у якому два числа, або два числових вирази, або числовий вираз і число сполучено знаком рівності, називається числовою рівністю.

? Чи можна прирівняти числові вирази 24 + 2 і 24 ∙ 2? Ні, бо значення цих виразів не дорівнюють одне одному.

Коротко записують: 24 + 2 ≠24 ∙ 2. Знак означає «не дорівнює».

Зверніть увагу:

1) числова рівність показує результат порівняння — два числа дорівнюють одне одному;

2) запис, що містить знак «≠», не є числовою рівністю.

Із двох різних натуральних чисел завжди одне число є більшим, а друге меншим. Наприклад, 9 більше за 4, відповідно, 4 менше від 9.

Коротко записують: 9 > 4 або 4 < 9. Знаки «>» і «<» означають відповідно «більше» і «менше». Такі знаки називаються знаками нерівності.

Знаком нерівності можна сполучити не тільки два числа, а й два числових вирази, якщо їх значення не дорівнюють одне одному і відомо, яке з них є більшим, а яке — меншим. Наприклад, 4 + 2 < 4 ∙2. Аналогічно, знаком нерівності можна сполучити числовий вираз і число. Наприклад, 4 + 2 > 5

Запис, у якому два числа, або два числових вирази, або числовий вираз і число сполучено знаком нерівності, називається числовою нерівністю.

? Чи є числовою нерівністю запис 4 + 2 ≠ 4 ∙ 2? Ні, оскільки з такого запису не ясно, який числовий вираз має більше значення, а який менше.

Зверніть увагу:

1) числова нерівність показує результат порівняння — яке із чисел більше, а яке менше;

2) запис, що містить знак «≠», не є числовою нерівністю.

Числа можна порівнювати за допомогою координатного променя. Із двох чисел більшим є те число, яке на координатному промені розміщується далі від його початку. На малюнку 61 координатний промінь зображено горизонтально. Тому про розміщення двох чисел на ньому можна сказати: одне число розміщується «правіше» або «лівіше» від іншого. Ви бачите, що число 10 розміщено правіше від числа 7, тому 10 > 7 або 7 < 10.

Мал. 61

Подивіться на малюнок 62. Ви бачите, що на координатному промені число 6 розміщується між числами 3 і 8. Зрозуміло, що 6 > 3 і 6 < 8. Разом це можна записати у вигляді подвійної нерівності: 3 < 6 < 8. Числа 3 і 8 називаються крайніми членами подвійної нерівності, а число 6 — середнім членом подвійної нерівності.

Мал. 62

Подвійну нерівність 3 < 6 < 8 читають, починаючи із середнього члена: «Число 6 більше за 3 і менше від 8».

На малюнку 62 ви бачите, що між числами 3 і 8, крім числа 6, розміщуються й інші натуральні числа. Це

числа 4, 5 і 7. Тому для крайніх членів 3 і 8 правильними є і такі подвійні нерівності:

З              < 4 < 8;    3 < 5 < 8;    3<7<8.

Для порівняння багатоцифрових чисел користуються спеціальними правилами. Розглянемо приклади.

Задача. Порівняйте числа: у 1)96 і 830; 2) 3574 і 3547.

Розв’язання. 1. Число 96— двоцифрове, а число 830 - трицифрове, тому 96 < 830.

2. У записах чисел 3574 і 3547 та сама кількість цифр. Тому їх краще порівнювати порозрядно. Для цього запишемо дані числа одне під одним:                         3574

                                 3547

Кожне із чисел має 3 тисячі і 5 сотень. Але у першому числі є 7 десятків, а у другому — лише 4 десятки. Тому перше число і є більшим за друге: 3574 > 3547.

Правила порівняння багатоцифрових чисел.

1. Із двох натуральних чисел більшим є те число, у запису якого цифр більше.

2. Якщо у запису двох натуральних чисел та сама кількість цифр, то числа порівнюють порозрядно, починаючи із найстаршого розряду.

Дізнайтеся більше

1.   Знак рівності «=» увів англійський учений Роберт Рекорд у 1557 році. На його думку, ніщо не може передати рівність так, як два паралельних відрізки однакової довжини. До нього в математиці користувалися іншими знаками рівності. Так, давньогрецький математик Діофант відношення рівності позначав літерою «і», яка є першою буквою грецького слова «σωξ» — рівний. Індійські та арабські математики, а також більшість європейських, найчастіше, аж до XVII століття, рівність позначали словесно «est egale». Р. Бомбеллі (1572 р.) позначав рівність буквою «а», котра є першою в латинському слові «aequalis» — рівний.

2. Знаки «>» і «<» ввів Томас Герріот в своєму творі «Застосування аналітичного мистецтва до розв’язування алгебраїчних рівнянь», виданому посмертно в 1631 році. До нього писали словами: більше, менше.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ         

106. Прочитайте числові вирази, використовуючи терміни «сума», «різниця», «добуток» і «частка»:

1)435 + 340;                      3)45 ∙ 32;

2) 127 - 102;                      4)2460:12.

107. Чи можна прирівняти числові вирази:

1)    25 + 4 і 25 ∙ 4;            3) 30 - 15 і 30 + 15;   5) 14 + 0 і 14 - 0;

2)    2 + 2 і 2 ∙ 2;              4)2-1 і 2: 1; 6) 28 - 1 і 28 : 1 ?

Відповідь поясніть.

108. Прочитайте числові нерівності:

1)345 <405;          2) 172 >100;    3) 296 < 504.

109. Назвіть два натуральні числа, які лежать на координатному промені:

1) правіше від числа 36; 2) лівіше від числа 36.

Порівняйте названі числа із числом 36.

110. Прочитайте подвійні числові нерівності:

1)64    <80 <91;          3) 254 < 255 < 256;

2) 304 <381 <392;         4) 99 < 100 < 101.

Назвіть крайні і середній члени нерівності.

111. Назвіть найбільше і найменше трицифрові числа, які більші  за число 342. Назвіть найбільше й найменше трицифрові числа, менші відданого числа.

112. Запишіть числовий вираз та обчисліть його значення:

1)         сума числа 152 та добутку чисел 45 і 21;

2)         різниця суми чисел 245 і 197 та числа 45;

3)         добуток суми чисел 452 і 148 та числа 12;

4)         частка числа 625 та різниці чисел 100 і 75.

113. Запишіть числовий вираз та обчисліть його значення:

1)         сума добутку чисел 28 і 15 та числа 120;

2)         добуток числа 35 та різниці чисел 506 і 468.

114. Складіть числовий вираз для розв’язування задачі та знайдіть його значення.

Довжина відрізка АВ дорівнює 15 см. Довжина відрізка CD у 3 рази менша від довжини відрізка АВ. Знайдіть довжину відрізка MN, якщо вона дорівнює різниці довжин відрізків АВ і CD.

115. Складіть числовий вираз для розв’язування задачі та знайдіть його значення.

Довжина відрізка АВ дорівнює 5 см. Довжина відрізка CD у 2 рази більша за довжину відрізка АВ. Знайдіть довжину відрізка MN, якщо вона дорівнює сумі довжин відрізків АВ і CD,

116. Запишіть числову нерівність:

1)         25 менше від 72;

2)         56 більше за 43;

3)         38 більше за 12, але менше від 60.

Як розміщуються дані числа на координатному промені?

117. Запишіть числову нерівність:

1)         30 менше від 53;

2)         124 більше за 95;

3)         201 більше за 200 і менше від 202;

4)         67 більше за 45, але менше від 102.

Як розміщуються дані числа на координатному промені?

118. На координатному промені (мал. 63) назвіть число, що розміщується: 1) на 5 одиниць лівіше від числа 5; 2) на 4 одиниці правіше від числа 5; 3) між числами 5 і 12. Запишіть відповідні числові нерівності.

Мал. 63

119. На координатному промені (мал. 64) назвіть число, що розміщується:

1)    на 4 одиниці правіше від числа 6;

2)    між числами 6 і 11.

Запишіть відповідні числові нерівності.

Мал. 64

123. Порівняйте:

1)    20 см і 25 см;           3)1 м і 100 см;

2)     50 см і 50 мм;           4)12дм і 24см.

124. Порівняйте:

1) 45 хв і 15 хв;               3) 60 хв і 1 год;

2)     15 хв і 15 с;              4) 75 хв і 1 год.

122. Порівняйте числа:

1)345 і 2354;                    3)120980 і 128900;

2)2456 і 2465;                  4)15999 і 16001.

123. Порівняйте числа:

1)2390   і 987;                  3)178099 і 200000;

2)25756 і 25134;              4)5000000 і 3111111.

124. Розташуйте в порядку зростання числа:

346, 10087, 34, 99456, 43, 10098, 200000.

125. Розташуйте в порядку спадання числа:

1256, 88, 167, 40256, 809, 340340, 560000.

126. Складіть і запишіть три числових вирази, які мають одне й те саме значення, що дорівнює 25.

127. Запишіть будь-який числовий вираз, для обчислення значення якого необхідно послідовно виконати дії:

1) додавання, множення і віднімання;

2)     множення, додавання, ділення і віднімання.

128. Яке найбільше натуральне число можна поставити замість зірочки, щоб отримати правильну числову нерівність:

1) * < 17;                       2) *<14?

Як розміщуються дані числа на координатному промені?

129. Яке найменше натуральне число можна поставити замість зірочки, щоб отримати правильну числову нерівність:

1) * < 75;                        2) *>56?

Як розміщуються дані числа на координатному промені?

130. Запишіть усі натуральні числа, які можна поставити замість зірочки, щоб отримати правильну числову нерівність:

1) 238 < * < 241;             2) 19090 <*< 19100.

131. Чи можна порівняти наступні числа, якщо одна зірочка замінює одну цифру в запису числа:

1)37** і 39**;                  3) *5** і *9**;

2)1 *** i 9**;                   4) 292** і 2*099?

Відповідь поясніть.

132. Ганнуся купила 2 морозива та 1 тістечко і заплатила 4 грн 50 к. Якби вона купила 1 морозиво та 2 тістечка, то заплатила б 6 грн. Скільки коштує морозиво і скільки коштує тістечко?

133. Старовинна задача. Торговець продав одному покупцеві 10 яблук, 5 груш і 3 лимони за 1 карбованець 10 копійок, другому покупцеві за тією самою ціною він продав 10 яблук, 3 груші і 1 лимон за 78 копійок, а третьому 2 груші і 1 лимон за 22 копійки. Скільки коштують окремо яблуко, груша і лимон?

Застосуйте на практиці

134. Дмитрик старший за Василька, але молодший від Сергійка. Сашко старший за всіх. Назвіть хлопчиків від наймолодшого до найстаршого.

135. Порівняйте:

1)     що складніше: пробігти 1 км чи 1000 м;

2)     що важче; підняти 5 кг чи 500 г;

3)     що довше: очікувати 2 год чи 100 хв?

 ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

136. Обчисліть усно, яке число треба вписати в останню клітинку ланцюга:

137. Обчисліть:

1)    10486 : (455-357)+ 49 ∙ 12; 2) (52 ∙15+ 120)-840: 12.

138. У Тетянки 14 цукерок, у Марічки — на 4 цукерки менше,       ніж у Тетянки, а у Софійки — у 2 рази більше, ніж у Марічки. Скільки всього цукерок у дівчат?

139. Туристи за 3 дні подолали 48 км. Першого дня вони пройшли 8 км, другого дня проїхали на автобусі відстань, у 3 рази більшу, ніж за перший день. Скільки кілометрів залишилося пройти туристам третього дня?