Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§5 ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ 5

Рух (переміщення)

Перетворення фігури F, яке зберігає відстань між точками, називають рухом (переміщенням) фігури F.

Рівні фігури

Дві фігури називають рівними, якщо існує рух, при якому одна з даних фігур є образом другої.

Паралельне перенесення

Якщо точки X і X₁ є такими, що то говорять, що точка X₁ — це образ точки X при паралельному перенесенні на вектор .

Властивості паралельного перенесення

Паралельне перенесення є рухом.

Якщо фігура F₁ — образ фігури F при паралельному перенесенні, то F₁ = F.

Осьова симетрія

Точки A і A₁ називають симетричними відносно прямої l, якщо пряма l є серединним перпендикуляром відрізка AA₁. Якщо точка A належить прямій l, то її вважають симетричною самій собі відносно прямої l.

Властивості осьової симетрії

Осьова симетрія є рухом.

Якщо фігури F і F₁ симетричні відносно прямої, то F = F₁. Фігура, яка має вісь симетрії

Фігуру називають симетричною відносно прямої l, якщо для кожної точки даної фігури точка, симетрична їй відносно прямої l, також належить цій фігурі. Пряму l називають віссю симетрії фігури.

Центральна симетрія

Точки A і A₁ називають симетричними відносно точки O, якщо точка O є серединою відрізка AA₁. Точку O вважають симетричною самій собі.

Властивості центральної симетрії

Центральна симетрія є рухом.

Якщо фігури F і F₁ симетричні відносно точки, то F = F₁.

Фігура, яка має центр симетрії

Фігуру називають симетричною відносно точки O, якщо для кожної точки даної фігури точка, симетрична їй відносно точки O, також належить цій фігурі. Точку O називають центром симетрії фігури.

Властивості повороту Поворот є рухом.

Якщо фігура F₁ — образ фігури F при повороті, то F₁ = F. Гомотетія

Якщо точки O, X і X₁ є такими, що де k ≠ 0, то говорять, що точка X₁ — це образ точки X при гомотетії із центром O та коефіцієнтом k.

Властивості гомотетії

При гомотетії фігури F із коефіцієнтом k усі відстані між її точками змінюються в |k| разів, тобто якщо A і B — довільні точки фігури F, а точки A₁ і B₁ — їхні відповідні образи при гомотетії з коефіцієнтом k, то A₁B₁ = |k| AB.

Подібність

Дві фігури називають подібними, якщо одну з них можна отримати з другої в результаті композиції двох перетворень: гомотетії та руху.

Площі подібних многокутників

Відношення площ подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.