Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§4 ВЕКТОРИ

Вивчаючи матеріал цього параграфа, ви дізнаєтеся, що вектори використовують не тільки у фізиці, а й у геометрії.

Ви навчитеся додавати й віднімати вектори, множити вектор на число, знаходити кут між двома векторами, застосовувати властивості векторів для розв'язування задач.

12. Поняття вектора

Ви знаєте багато величин, які визначаються своїми числовими значеннями: маса, площа, довжина, об’єм, час, температура тощо. Такі величини називають скалярними величинами або скалярами.

Із курсу фізики вам відомі величини, для задання яких недостатньо знати тільки їхні числові значення. Наприклад, якщо на пружину діє сила 5 Н, то не зрозуміло, чи буде пружина стискатися або розтягуватися (рис. 12.1). Потрібно ще знати, у якому напрямі діє сила.

Рис. 12.1

Величини, які визначаються не тільки числовим значенням, але й напрямом, називають векторними величинами або векторами¹.

Сила, переміщення, швидкість, прискорення, вага — приклади векторних величин.

Є вектори й у геометрії.

¹ Термін «вектор» уперше з’явився в 1845 р., його ввів у вжиток ірландський математик і астроном В. Гамільтон.

Розглянемо відрізок AB. Якщо ми домовимося точку A вважати початком відрізка, а точку B — його кінцем, то такий відрізок буде характеризуватися не тільки довжиною, але й напрямом від точки A до точки B.

Якщо вказано, яка точка є початком відрізка, а яка точка — його кінцем, то такий відрізок називають напрямленим відрізком або вектором.

Вектор з початком у точці A та кінцем у точці B позначають так: (читають: «вектор AB»).

На рисунках вектор зображають відрізком зі стрілкою, яка вказує його кінець. На рисунку 12.2 зображено вектори

Рис. 12.2

Рис. 12.3

Рис. 12.4

Для позначення векторів також використовують малі букви латинського алфавіту зі стрілкою зверху. На рисунку 12.3 зображено вектори

Вектор, у якого початок і кінець — одна й та сама точка, називають нульовим вектором або нуль-вектором і позначають . Якщо початок і кінець нульового вектора — це точка A, то його можна позначити й так: . На рисунку нульовий вектор зображають точкою.

Модулем вектора називають довжину відрізка AB. Модуль вектора позначають так: ||, а модуль вектора — так: ||. Модуль нульового вектора вважають рівним нулю:|| = 0.

Означення. Ненульові вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій.

Нульовий вектор вважають колінеарним будь-якому вектору.

На рисунку 12.4 зображено колінеарні вектори

Той факт, що вектори колінеарні, позначають так:

На рисунку 12.5 ненульові колінеарні вектори однаково напрямлені. Такі вектори називають співнапрямленими й пишуть:

Рис. 12.5

Рис. 12.6

Рис. 12.7

Рис. 12.8

Якщо то

Аналогічну властивість мають і співнапрямлені вектори, тобто якщо то (рис. 12.6).

На рисунку 12.7 ненульові колінеарні вектори протилежно напрямлені. Цей факт позначають так:

Означення. Ненульові вектори називають рівними, якщо їхні модулі рівні й вони співнапрямлені. Будь-які два нульових вектори рівні.

На рисунку 12.8 зображено рівні вектори Це позначають так:

Рівність ненульових векторів означає, що і

Неважко довести, що коли

Переконайтеся в цьому самостійно.

Часто, говорячи про вектори, ми не конкретизуємо, яка точка є початком вектора. Так, на рисунку 12.9 зображено вектор та вектори, рівні вектору . Кожний із них також прийнято називати вектором . На рисунку 12.10, а зображено вектор та точку A. Якщо побудовано вектор , рівний вектору , то говорять, що вектор відкладено від точки A (рис. 12.10, б).

Рис. 12.9

Рис. 12.10

Покажемо, як від довільної точки M відкласти вектор, рівний даному вектору . Якщо вектор нульовий, то шуканим вектором буде вектор .

Рис. 12.11

Рис. 12.12

Тепер розглянемо випадок, коли ≠ . Нехай точка M лежить на прямій, яка містить вектор (рис. 12.11). На цій прямій існують дві точки E і F такі, що ME = MF = ||. На вказаному рисунку вектор дорівнюватиме вектору . Його й потрібно вибрати. Якщо точка M не належить прямій, яка містить вектор , то через точку M проведемо пряму, їй паралельну (рис. 12.12). Подальша побудова аналогічна вже розглянутій.

Від заданої точки можна відкласти тільки один вектор, рівний даному.

Задача. Дано чотирикутник ABCD. Відомо, що

Визначте вид чотирикутника ABCD.

Розв’язання. З умови випливає, що AB || DC і AB = DC. Отже, чотирикутник ABCD — паралелограм.

Рівність означає, що діагоналі чотирикутника ABCD рівні. А паралелограм з рівними діагоналями є прямокутником.

1. Наведіть приклади скалярних величин.

2. Які величини називають векторними?

3. Що в геометрії називають векторами?

4. Які з величин є векторними: час, вага, прискорення, імпульс, маса, переміщення, шлях, площа, тиск?

5. Який відрізок називають напрямленим відрізком або вектором?

6. Як позначають вектор з початком у точці A та кінцем у точці B?

7. Який вектор називають нульовим?

8. Що називають модулем вектора ?

9. Чому дорівнює модуль нульового вектора?

10. Які вектори називають колінеарними?

11. Як позначають співнапрямлені вектори? протилежно напрямлені вектори?

12. Які вектори називають рівними?

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

12.1.° Позначте три точки A, B і C, які не лежать на одній прямій. Накресліть вектори

12.2. Катер із точки А перемістився на північ на 40 км у точку В, а потім на захід на 60 км із точки В у точку С. Вибравши масштаб, накресліть вектори, які зображають переміщення з точки А в точку В, із точки В у точку С, із точки А в точку С.

12.3.° Накресліть трикутник ABC. Накресліть вектор, співнапрямлений із вектором , початком якого є точка B.

12.4.° Дано вектор та точку A (рис. 12.13). Відкладіть від точки A вектор, рівний вектору .

Рис. 12.13

Рис. 12.14

12.5.° Дано вектор і точку B (рис. 12.14). Відкладіть від точки B вектор, рівний вектору .

12.6.° Позначте точки A і B. Накресліть вектор , рівний вектору .

12.7.° Накресліть вектор та позначте точки M і N. Відкладіть від цих точок вектори, рівні вектору .

12.8. Накресліть трикутник ABC і позначте точку M — середину сторони BC. Від точки M відкладіть вектор, рівний вектору , а від точки B — вектор, рівний вектору . Доведіть, що кінці побудованих векторів збігаються.

12.9. Накресліть трикутник ABC. Від точок B і C відкладіть вектори, відповідно рівні векторам Доведіть, що кінці побудованих векторів збігаються.

ВПРАВИ

12.10.° Укажіть рівні вектори, початки й кінці яких знаходяться у вершинах квадрата ABCD.

12.11.° У ромбі ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Укажіть рівні вектори, початки й кінці яких знаходяться у точках A, B, C, D і O.

12.12.° Які з векторів, зображених на рисунку 12.15:

1) рівні;

2) співнапрямлені;

3) протилежно напрямлені;

4) колінеарні?

Рис. 12.15

12.13.° Точки M і N — відповідно середини сторін AB і CD паралелограма ABCD. Укажіть вектори, початки й кінці яких знаходяться в точках A, B, C, D, M і N:

1) рівні вектору ;

2) колінеарні вектору ;

3) протилежно напрямлені з вектором ;

4) співнапрямлені з вектором .

12.14.° Нехай O — точка перетину діагоналей паралелограма ABCD. Укажіть вектори, початки й кінці яких знаходяться в точках A, B, C, D і O:

1) рівні;

2) співнапрямлені;

3) протилежно напрямлені.

12.15.° Точки M, N і P — відповідно середини сторін AB, BC і CA трикутника ABC. Укажіть вектори, початки й кінці яких знаходяться в точках A, B, C, M, N і P:

1) рівні вектору ;

2) колінеарні вектору ;

3) протилежно напрямлені з вектором ;

4) співнапрямлені з вектором .

12.16.° Чи є правильним твердження:

12.17.° Доведіть, що коли чотирикутник ABCD — паралелограм, то

12.18.° Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо

12.19.° Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо вектори колінеарні і

12.20.° Знайдіть модулі векторів (рис. 12.16), якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.

12.21.° У прямокутнику ABCD відомо, що AB = 6 см, BC = 8 см, O — точка перетину діагоналей. Знайдіть модулі векторів

12.22.° У прямокутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Відомо, що || = = 5 см, || = 6,5 см. Знайдіть модулі векторів

Рис. 12.16

12.23.° Відомо, ще = . Чи можна стверджувати, ще точки A, B, C i D є вершинами паралелограма?

12.24.° Відомо, що = . Які ще рівні вектори задають точки A, B, C і D?

12.25.° Дано чотирикутник ABCD. Відомо, що Визначте вид чотирикутника ABCD.

12.26.° Дано чотирикутник ABCD. Відомо, що вектори колінеарні та Визначте вид чотирикутника ABCD.

12.27.° Що можна сказати про вектор , якщо = ?

12.28. У прямокутному трикутнику ABC точка M — середина гіпотенузи AB і ∠B = 30°. Знайдіть модулі векторів якщо AC = 2 см.

12.29. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) медіана CM дорівнює 6 см. Знайдіть модулі векторів якщо ∠A = 30°.

12.30. Відомо, що вектори неколінеарні. Вектор колінеарний кожному з векторів Доведіть, що вектор є нульовим.

12.31.• Відомо, що вектори колінеарні. Доведіть, що точки A, B і C лежать на одній прямій. Чи є правильним обернене твердження: якщо точки A, B і C лежать на одній прямій, то вектори колінеарні?

12.32.• Для чотирьох точок A, B, C і D відомо, що Доведіть, що середини відрізків AD і BC збігаються. Доведіть обернене твердження: якщо середини відрізків AD і BCзбігаються, то

12.33.• Відомо, що Доведіть, що точка O — середина відрізка MN. Доведіть обернене твердження: якщо точка O — середина відрізка MN, то

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

12.34. Один із кутів паралелограма дорівнює півсумі трьох інших його кутів. Знайдіть кути паралелограма.

12.35. Периметр одного з двох подібних трикутників на 8 см більший за периметр другого трикутника. Знайдіть периметри даних

трикутників, якщо коефіцієнт подібності дорівнює .

12.36. На сторонах BC і AD ромба ABCD позначено відповідно точки M і K такі, що BM : MC = KD : AK = 1 : 2. Знайдіть відрізок MK, якщо AB = a, ∠ABC = 60°.