Ми часто говоримо: пряма y = 2х - 1, парабола y = x2, коло x2 + y2 = 1, тим самим ототожнюючи фігуру з її рівнянням. Такий підхід дає змогу зводити задачу про пошук властивостей фігури до задачі про дослідження її рівняння. У цьому й полягає сутність методу координат.
Проілюструємо сказане на такому прикладі.
Із наочних міркувань очевидно, що пряма й коло мають не більше двох спільних точок. Проте таке твердження не є аксіомою, тому його потрібно доводити.
Ця задача зводиться до дослідження кількості розв’язків системи рівнянь
де параметри а і b одночасно не дорівнюють нулю та R > 0.
Розв’язуючи цю систему методом підстановки, ми отримаємо квадратне рівняння, яке може мати два розв’язки, один розв’язок або взагалі не мати розв’язків. Отже, для даної системи існує три можливих випадки:
1) система має два розв’язки — пряма й коло перетинаються у двох точках;
2) система має один розв’язок — пряма дотикається до кола;
3) система не має розв’язків — пряма й коло не мають спільних точок.
З кожним із цих випадків ви зустрічалися, розв’язуючи задачі 11.14-11.16 відповідно.
На користь методу координат свідчить така задача: чи можна вписати в еліпс правильний шестикутник?
Припустимо, що в еліпс (а ≠ b) вдалося вписати правильний шестикутник. Опишемо навколо шестикутника коло. Тоді еліпс і коло мають не менше ніж шість спільних точок. Це означає, що коли x2 + y2 = R2 — рівняння описаного кола, то система
має не менше шести розв’язків.
Нескладно показати, що ця система має не більше чотирьох розв’язків. Тому відповідь на поставлене питання заперечна.
Метод координат є особливо ефективним у тих випадках, коли потрібно знайти фігуру, усім точкам якої притаманна задана властивість, тобто знайти ГМТ.
Позначимо на площині дві точки A і B. Ви знаєте, якою фігурою є геометричне місце точок M таких, ще = k, де k ≠ 1. Це коло (коло Аполлонія). З досить непростим способом пошуку цього ГМТ ви ознайомились у підручнику «Геометрія, 8 клас». Метод координат дає змогу розв’язати цю задачу набагато простіше.
Площину, на якій позначено точки A і B, «перетворимо» на координатну. Зробимо це так: за початок координат виберемо точку A, за одиничний відрізок — відрізок АВ, вісь абсцис проведемо так, щоб точка B мала координати (1; 0) (рис. 13.1).
Точка M (x; y) координатної площини належить шуканій фігурі F тоді й тільки тоді, коли kMA = MB, або k2MA2 = MB2.
Звідси:
k2 (x2 + y2) = (x - 1)2 + y2;
(k2 - 1) x2 + 2x + (k2 - 1) y2 = 1.
Оскільки k ≠ 1, то можна записати:
Рис. 13.1
(*)
Таким чином, рівнянням фігури F є рівняння (*), тобто фігура F — це коло із центром у точці і радіусом
Зазначимо, що застосування методу координат передбачає виконання певної технічної роботи, пов’язаної з перетвореннями виразів, розв’язуванням рівнянь або систем рівнянь. Вдалий вибір системи координат може значно полегшити викладки.
Перетворюючи площину на координатну, ми деяким точкам приписуємо координати, які в рівняннях, що складаються, відіграють роль параметрів. Природно, потрібно прагнути до такого вибору системи координат, щоби параметрів було якомога менше.
Наприклад, може здаватися, що для задання чотирьох вершин прямокутника необхідно 8 параметрів. Проте якщо ввести систему координат так, як показано на рисунку 13.2, то досить двох параметрів.
Рис. 13.2
Задача (формула Лейбніца). Нехай медіани трикутника ABC перетинаються в точці M. Доведіть, що для будь-якої точки X виконується рівність
XA2+ XB2+ XC2= MA2+ MB2+ MC2+ 3XM2. (*)
Розв’язання. Щоб задати координати вершин трикутника, здавалося б, потрібно 6 параметрів. Проте якщо вибрати систему координат так, як показано на рисунку 13.3, то можна обмежитися трьома параметрами.
Оскільки BM : MO = 2 : 1, то точка M має координати
Нехай X (x; у) — довільна точка. Тоді
Тепер легко переконатися (зробіть це самостійно), що формула (*) є правильною.
Рис. 13.3
Опишіть, у чому полягає сутність методу координат.
Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716)
Німецький математик, фізик і філософ, перший президент Берлінської академії наук. Увів багато математичних термінів і понять (функція, алгоритм, координата тощо), заклав основи сучасної математичної логіки. Одночасно з і. Ньютоном, але незалежно від нього створив теорії диференційного та інтегрального числень.
ВПРАВИ
13.1. Знайдіть ГМТ, різниця квадратів відстаней від яких до двох даних точок A і B є величиною сталою.
13.2. Знайдіть ГМТ, сума квадратів відстаней від яких до двох даних точок A і B є величиною сталою.
13.3. Знайдіть ГМТ, сума квадратів відстаней від яких до вершин A i B трикутника ABC дорівнює квадрату відстані до третьої його вершини — точки C.
13.4. Знайдіть ГМТ, сума квадратів відстаней від яких до вершин трикутника ABC є величиною сталою.
13.5. Дано дві точки A і B. Знайдіть геометричне місце точок M таких, що AM2 + 2BM2 = 6AB2.
13.6. Дано дві точки A і B. Знайдіть геометричне місце точок M таких, що 2AM2 - BM2 = 2AB2.
13.7. Дано дві точки A і B. Знайдіть геометричне місце точок C таких, що медіана AD трикутника ABC має сталу довжину d.
13.8/ Дано дві точки A і B. Знайдіть геометричне місце точок C таких, що медіана AD трикутника ABC дорівнює його стороні BC.
13.9. Дано дві точки A і B. Знайдіть геометричне місце точок C таких, що висота CD трикутника ABC дорівнює його медіані AM.
13.10. Дано прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°). Знайдіть геометричне місце точок M таких, що MA2 + MB2 = 2MC2.
13.11. На відрізку AB довільним чином вибирають точку C. В одній півплощині від прямої AB на відрізках AC і CB як на сторонах будують квадрати. Знайдіть геометричне місце середин відрізків, які сполучають центри квадратів.
13.12. На відрізку AB довільним чином вибирають точку C. В одній півплощині від прямої AB на відрізках AC і CB як на сторонах будують рівносторонні трикутники AMC і CNB. Доведіть, що середина відрізка MB, середина відрізка NA і точка C є вершинами рівностороннього трикутника.
13.13. Радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює 2. На стороні AB позначили точку D так, що AD = 2DB і CD = 2. Знайдіть площу трикутника ABC, якщо ∠ACB = 60°.
13.14. Хорда AB стягує дугу, градусна міра якої дорівнює 120°. Точка C лежить на цій дузі, а точка D — на хорді AB. Відомо, що AD = 2, BD = 1, CD = 42. Знайдіть площу трикутника ABC.
13.15. На діагоналях AC і BD паралелограма ABCD позначили відповідно точки P і Q так, що AP : PC = 2 : 3 і BQ : QD = 1 : 4. Знайдіть відрізок PQ, якщо AB = 5, AD = 3, ∠ADB = 90°.
13.16. Через довільну точку M меншого з двох концентричних кіл, радіуси яких дорівнюють R і r, R > r, проведено хорду BC більшого кола та хорду MA меншого кола (рис. 13.4). Відомо, що BC MA. Знайдіть суму MA2 + MB2 + MC2.
Рис. 13.4
13.17. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу (a - с)2 + (b - d)2, якщо a2 + b2 = 1, с2 + d2 = 4.
13.18. У ромб ABCD з гострим кутом 45° вписано коло. Доведіть, що для будь-якої точки X кола виконується рівність
13.19. У ромб ABCD з гострим кутом 60° вписано коло. Доведіть, що для будь-якої точки X кола виконується рівність
13.20. У квадрат ABCD вписано коло одиничного радіуса. Доведіть, що для будь-якої точки X кола виконується рівність
XA2 ∙ XC2 + XB2 ∙ XD2 = 10.
13.21. У правильному шестикутнику ABCDEF сторони AB і CD продовжили до їх перетину в точці K. Доведіть, що для будь-якої точки X кола, описаного навколо шестикутника, виконується рівність XK2 = XB2 + XC2.
13.22. На діаметрі кола радіуса R із центром O позначили точку M. Доведіть, що сума квадратів відстаней від точки M до кінців хорди, паралельної цьому діаметру, не залежить від вибору хорди.
13.23. На діаметрі кола радіуса R позначили дві точки, рівновіддалені від центра. Через одну з них провели хорду, кінці якої сполучили з другою точкою. Доведіть, що сума квадратів сторін утвореного трикутника не залежить від вибору хорди.
13.24. У колі із центром O проведено два перпендикулярних діаметри AB і CD. На радіусі OB позначили точку K так, що OK = OB, а на радіусі OD— точку M так, що OM = OD. Доведіть, що точка перетину прямих CK і AM належить даному колу.
13.25. Діагоналі опуклого чотирикутника ABCD перпендикулярні. Через середини сторін AB і AD проведено прямі, перпендикулярні відповідно до сторін DC і BC. Доведіть, що точка перетину проведених прямих належить прямій AC.