13. Метод координат

Ми часто говоримо: пряма y = 2х - 1, парабола y = x², коло x² + y² = 1, тим самим ототожнюючи фігуру з її рівнянням. Такий підхід дає змогу зводити задачу про пошук властивостей фігури до задачі про дослідження її рівняння. У цьому й полягає сутність методу координат.

Проілюструємо сказане на такому прикладі.

Із наочних міркувань очевидно, що пряма й коло мають не більше двох спільних точок. Проте таке твердження не є аксіомою, тому його потрібно доводити.

Ця задача зводиться до дослідження кількості розв’язків системи рівнянь

де параметри а і b одночасно не дорівнюють нулю та R > 0.

Розв’язуючи цю систему методом підстановки, ми отримаємо квадратне рівняння, яке може мати два розв’язки, один розв’язок або взагалі не мати розв’язків. Отже, для даної системи існує три можливих випадки:

1) система має два розв’язки — пряма й коло перетинаються у двох точках;

2) система має один розв’язок — пряма дотикається до кола;

3) система не має розв’язків — пряма й коло не мають спільних точок.

З кожним із цих випадків ви зустрічалися, розв’язуючи задачі 11.14-11.16 відповідно.

На користь методу координат свідчить така задача: чи можна вписати в еліпс правильний шестикутник?

Припустимо, що в еліпс (а ≠ b) вдалося вписати правильний шестикутник. Опишемо навколо шестикутника коло. Тоді еліпс і коло мають не менше ніж шість спільних точок. Це означає, що коли x² + y² = R² — рівняння описаного кола, то система

має не менше шести розв’язків.

Нескладно показати, що ця система має не більше чотирьох розв’язків. Тому відповідь на поставлене питання заперечна.

Метод координат є особливо ефективним у тих випадках, коли потрібно знайти фігуру, усім точкам якої притаманна задана властивість, тобто знайти ГМТ.

Позначимо на площині дві точки A і B. Ви знаєте, якою фігурою є геометричне місце точок M таких, ще = k, де k ≠ 1. Це коло (коло Аполлонія). З досить непростим способом пошуку цього ГМТ ви ознайомились у підручнику «Геометрія, 8 клас». Метод координат дає змогу розв’язати цю задачу набагато простіше.

Площину, на якій позначено точки A і B, «перетворимо» на координатну. Зробимо це так: за початок координат виберемо точку A, за одиничний відрізок — відрізок АВ, вісь абсцис проведемо так, щоб точка B мала координати (1; 0) (рис. 13.1).

Точка M (x; y) координатної площини належить шуканій фігурі F тоді й тільки тоді, коли kMA = MB, або k²MA² = MB².

Звідси:

k² (x² + y²) = (x - 1)² + y²;

(k² - 1) x² + 2x + (k² - 1) y² = 1.

Оскільки k ≠ 1, то можна записати:

Рис. 13.1

(*)

Таким чином, рівнянням фігури F є рівняння (*), тобто фігура F — це коло із центром у точці і радіусом

Зазначимо, що застосування методу координат передбачає виконання певної технічної роботи, пов’язаної з перетвореннями виразів, розв’язуванням рівнянь або систем рівнянь. Вдалий вибір системи координат може значно полегшити викладки.

Перетворюючи площину на координатну, ми деяким точкам приписуємо координати, які в рівняннях, що складаються, відіграють роль параметрів. Природно, потрібно прагнути до такого вибору системи координат, щоби параметрів було якомога менше.

Наприклад, може здаватися, що для задання чотирьох вершин прямокутника необхідно 8 параметрів. Проте якщо ввести систему координат так, як показано на рисунку 13.2, то досить двох параметрів.

Рис. 13.2

Задача (формула Лейбніца). Нехай медіани трикутника ABC перетинаються в точці M. Доведіть, що для будь-якої точки X виконується рівність

XA²+ XB²+ XC²= MA²+ MB²+ MC²+ 3XM². (*)

Розв’язання. Щоб задати координати вершин трикутника, здавалося б, потрібно 6 параметрів. Проте якщо вибрати систему координат так, як показано на рисунку 13.3, то можна обмежитися трьома параметрами.

Оскільки BM : MO = 2 : 1, то точка M має координати

Нехай X (x; у) — довільна точка. Тоді

Тепер легко переконатися (зробіть це самостійно), що формула (*) є правильною.

Рис. 13.3

Опишіть, у чому полягає сутність методу координат.

Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716)

Німецький математик, фізик і філософ, перший президент Берлінської академії наук. Увів багато математичних термінів і понять (функція, алгоритм, координата тощо), заклав основи сучасної математичної логіки. Одночасно з і. Ньютоном, але незалежно від нього створив теорії диференційного та інтегрального числень.

ВПРАВИ

13.1. Знайдіть ГМТ, різниця квадратів відстаней від яких до двох даних точок A і B є величиною сталою.

13.2. Знайдіть ГМТ, сума квадратів відстаней від яких до двох даних точок A і B є величиною сталою.

13.3. Знайдіть ГМТ, сума квадратів відстаней від яких до вершин A i B трикутника ABC дорівнює квадрату відстані до третьої його вершини — точки C.

13.4. Знайдіть ГМТ, сума квадратів відстаней від яких до вершин трикутника ABC є величиною сталою.

13.5. Дано дві точки A і B. Знайдіть геометричне місце точок M таких, що AM² + 2BM² = 6AB².

13.6. Дано дві точки A і B. Знайдіть геометричне місце точок M таких, що 2AM² - BM² = 2AB².

13.7. Дано дві точки A і B. Знайдіть геометричне місце точок C таких, що медіана AD трикутника ABC має сталу довжину d.

13.8/ Дано дві точки A і B. Знайдіть геометричне місце точок C таких, що медіана AD трикутника ABC дорівнює його стороні BC.

13.9. Дано дві точки A і B. Знайдіть геометричне місце точок C таких, що висота CD трикутника ABC дорівнює його медіані AM.

13.10. Дано прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°). Знайдіть геометричне місце точок M таких, що MA² + MB² = 2MC².

13.11. На відрізку AB довільним чином вибирають точку C. В одній півплощині від прямої AB на відрізках AC і CB як на сторонах будують квадрати. Знайдіть геометричне місце середин відрізків, які сполучають центри квадратів.

13.12. На відрізку AB довільним чином вибирають точку C. В одній півплощині від прямої AB на відрізках AC і CB як на сторонах будують рівносторонні трикутники AMC і CNB. Доведіть, що середина відрізка MB, середина відрізка NA і точка C є вершинами рівностороннього трикутника.

13.13. Радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює 2. На стороні AB позначили точку D так, що AD = 2DB і CD = 2. Знайдіть площу трикутника ABC, якщо ∠ACB = 60°.

13.14. Хорда AB стягує дугу, градусна міра якої дорівнює 120°. Точка C лежить на цій дузі, а точка D — на хорді AB. Відомо, що AD = 2, BD = 1, CD = 42. Знайдіть площу трикутника ABC.

13.15. На діагоналях AC і BD паралелограма ABCD позначили відповідно точки P і Q так, що AP : PC = 2 : 3 і BQ : QD = 1 : 4. Знайдіть відрізок PQ, якщо AB = 5, AD = 3, ∠ADB = 90°.

13.16. Через довільну точку M меншого з двох концентричних кіл, радіуси яких дорівнюють R і r, R > r, проведено хорду BC більшого кола та хорду MA меншого кола (рис. 13.4). Відомо, що BC MA. Знайдіть суму MA² + MB² + MC².

Рис. 13.4

13.17. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу (a - с)² + (b - d)², якщо a² + b² = 1, с² + d² = 4.

13.18. У ромб ABCD з гострим кутом 45° вписано коло. Доведіть, що для будь-якої точки X кола виконується рівність

13.19. У ромб ABCD з гострим кутом 60° вписано коло. Доведіть, що для будь-якої точки X кола виконується рівність

13.20. У квадрат ABCD вписано коло одиничного радіуса. Доведіть, що для будь-якої точки X кола виконується рівність

XA² ∙ XC² + XB² ∙ XD² = 10.

13.21. У правильному шестикутнику ABCDEF сторони AB і CD продовжили до їх перетину в точці K. Доведіть, що для будь-якої точки X кола, описаного навколо шестикутника, виконується рівність XK² = XB² + XC².

13.22. На діаметрі кола радіуса R із центром O позначили точку M. Доведіть, що сума квадратів відстаней від точки M до кінців хорди, паралельної цьому діаметру, не залежить від вибору хорди.

13.23. На діаметрі кола радіуса R позначили дві точки, рівновіддалені від центра. Через одну з них провели хорду, кінці якої сполучили з другою точкою. Доведіть, що сума квадратів сторін утвореного трикутника не залежить від вибору хорди.

13.24. У колі із центром O проведено два перпендикулярних діаметри AB і CD. На радіусі OB позначили точку K так, що OK = OB, а на радіусі OD— точку M так, що OM = OD. Доведіть, що точка перетину прямих CK і AM належить даному колу.

13.25. Діагоналі опуклого чотирикутника ABCD перпендикулярні. Через середини сторін AB і AD проведено прямі, перпендикулярні відповідно до сторін DC і BC. Доведіть, що точка перетину проведених прямих належить прямій AC.