8. Довжина кола. Площа круга

Як на практиці виміряти довжину лінії, зображеної на рисунку 8.1?

Можна, наприклад, позначити кілька точок на лінії, а потім послідовно сполучити їх відрізками так, як показано на рисунку 8.2. Потім виміряти довжину утвореної ламаної. Отримана величина наближено дорівнює довжині даної лінії. Зрозуміло, що коли зменшувати довжини всіх ланок ламаної та збільшувати їхню кількість, то результат вимірювання довжини даної лінії стає точнішим (рис. 8.3).

Рис. 8.1

Рис. 8.2

Рис. 8.3

Говорять, що довжину лінії, зображеної на рисунку 8.3, наближено виміряно за допомогою довжини ламаної, вписаної в дану лінію.

Для вимірювання довжини кола як вписану ламану зручно використати ламану, що складається зі сторін правильного n-кутника, вписаного в це коло.

На рисунку 8.4 зображено правильні 4-кутник, 8-кутник і 16-кутник, вписані в коло.

Рис. 8.4.

Ми бачимо, що при збільшенні кількості сторін правильного n-кутника його периметр P_n усе менше й менше відрізняється від довжини C описаного кола.

Так, для нашого прикладу можна записати:

C - P₄ > C - P₈ > C - P₁₆.

При необмеженому збільшенні кількості сторін правильного многокутника його периметр буде як завгодно мало відрізнятися від довжини кола. Це означає, що різницю C - P_n можна зробити меншою від, наприклад, 10^-6, 10^-9 і взагалі меншою від будь-якого додатного числа.

Розглянемо два правильних n-кутники зі сторонами a_n і a'_n, вписаних у кола, радіуси яких дорівнюють R і R' відповідно (рис. 8.5). Тоді їхні периметри P_n і Р'_n можна обчислити за формулами

Звідси

(*)

Рис. 8.5

Ця рівність справедлива при будь-якому значенні n (n — натуральне число, n ≥ 13). При необмеженому збільшенні значення n периметри P_n і P'_nвідповідно будуть як завгодно мало відрізнятися від довжин C і C' описаних кіл. Тоді при необмеженому збільшенні n відношення

буде як завгодно мало відрізнятися від відношення . З урахуванням рівності (*) доходимо висновку, що число як завгодно мало відрізняється від числа А це можливо лише тоді, коли

тобто

Остання рівність означає, що для всіх кіл відношення довжини кола до діаметра є одним і тим самим числом.

Із курсу математики 6 класу ви знаєте, що це число прийнято позначати грецькою буквою (читають: «пі»).

З рівності отримуємо формулу для обчислення довжини кола:

C = 2R

Число p є ірраціональним, отже, його можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу лише наближено. Зазвичай при розв’язуванні задач за наближене значення приймають число 3,14.

Видатний давньогрецький учений Архімед (ІІІ ст. до н. е.), виразивши через діаметр описаного кола периметр правильного 96-кутника, установив, що

Звідси й випливає, що

≈ 3,14.

За допомогою сучасних комп’ютерів і спеціальних програм можна обчислити число p з величезною точністю. Наведемо запис числа із 47 цифрами після коми:

= 3,14159265358979323846264338327950288419716939937….

У 1989 р. число p обчислили з точністю до 1 011 196 691 цифри після коми. Цей факт було занесено до Книги рекордів Гіннеса. Саме число в книзі не наведено, оскільки для цього потрібно було б понад тисячу сторінок. У 2016 р. уже було обчислено більше ніж 22 трильйони знаків числа .

Знайдемо формулу для обчислення довжини дуги кола з градусною мірою n°. Оскільки градусна міра всього кола дорівнює 360°, то довжина дуги в 1° дорівнює

Тоді довжину l дуги в n° обчислюють за формулою

Досі вам доводилося обчислювати площі многокутників або фігур, які можна розбити на кілька многокутників. Зауважимо, що круг цієї властивості не має.

Розглянемо, як на практиці можна виміряти площу фігури, зображеної на рисунку 8.6. У цю фігуру вписують многокутник (рис. 8.7). Його площа є наближеним значенням площі даної фігури. Якщо зменшувати довжини всіх сторін многокутника, при цьому збільшуючи їхню кількість (рис. 8.8), то результат вимірювання площі даної фігури стає точнішим.

Рис. 8.6

Рис. 8.7

Рис. 8.8

Скористаємося цією ідеєю для знаходження площі круга. Звернемося знову до рисунка 8.4. Бачимо, що при збільшенні кількості сторін правильного n-кутника його площа Sn усе менше й менше відрізняється від площі S круга. При необмеженому збільшенні кількості сторін його площа наближається до площі круга.

На рисунку 8.9 зображено фрагмент правильного n-кутника із центром у точці O, зі стороною AB = а_n і радіусом описаного кола, який дорівнює R. Опустимо перпендикуляр OM на сторону AB. Маємо:

Рис. 8.9

Оскільки радіуси, проведені у вершини правильного n-кутника, розбивають його на рівних трикутників, то площа n-кутника S_n у n разів більша за площу трикутника AOB.

Тоді

Звідси

(**)

де Р_n — периметр даного правильного n-кутника.

При необмеженому збільшенні значення n величина буде як завгодно мало відрізнятися від 0°, а отже, наближатиметься до 1. Периметр Р_n наближатиметься до довжини C кола, а площа S_n — до площі S круга. Тоді з урахуванням рівності (**) можна записати:

Із цієї рівності отримуємо формулу для знаходження площі круга:

S = R²

На рисунку 8.10 радіуси OA і OB ділять круг на дві частини, які зафарбовано в різні кольори. Кожну із цих частин разом із радіусами OA і OBназивають круговим сектором або просто сектором.

Зрозуміло, що круг радіуса R можна поділити на 360 рівних секторів, кожен з яких міститиме дугу в 1°. Площа такого сектора дорівнює

Тоді площу S сектора, який містить дугу кола в n°, обчислюють за формулою

На рисунку 8.11 хорда AB ділить круг на дві частини, які зафарбовано в різні кольори. Кожну із цих частин разом із хордою AB називають круговим сегментом або просто сегментом. Хорду AB при цьому називають основою сегмента.

Рис. 8.10

Рис. 8.11

Рис. 8.12

Щоб знайти площу сегмента, зафарбованого в рожевий колір (рис. 8.12), треба від площі сектора, який містить хорду AB, відняти площу трикутника AOB (точка O — центр круга). Щоб знайти площу сегмента, зафарбованого в блакитний колір, треба до площі сектора, який не містить хорду AB, додати площу трикутника AOB.

Якщо хорда AB є діаметром круга, то вона ділить круг на два сегменти, які називають півкругами. Площу S півкруга обчислюють

за формулою

де R — радіус круга.

З пошуком формули для знаходження площі круга пов’язана одна зі знаменитих задач давнини — задача про квадратуру круга: побудувати за допомогою циркуля та лінійки квадрат, площа якого дорівнює площі даного круга.

Починаючи з учених Стародавньої Греції, цю задачу намагалися розв’язати математики багатьох поколінь. Натхнення для своїх пошуків вони багато в чому черпали з результатів, отриманих Гіппократом Хіоським: ще в V ст. до н. е. Гіппократ віднайшов ряд криволінійних фігур, рівновеликих деяким многокутникам.

Розглянемо одну з його побудов.

Опишемо навколо квадрата коло, а на кожній його стороні побудуємо півколо в зовнішній бік (рис. 8.13). Фігури, зафарбовані на рисунку 8.13 жовтим кольором, називають серпиками Гіппократа. Легко показати (зробіть це самостійно), що сума площ цих серпиків дорівнює площі даного квадрата.

Спроби розв’язати задачу про квадратуру круга припинилися лише наприкінці ХІХ ст., коли було доведено неможливість її розв’язання.

Задача 1. Довжина дуги кола, радіус якого 25 см, дорівнює p см. Знайдіть градусну міру дуги.

Розв’язання. Із формули

отримуємо:

Отже, шукана градусна міра

Відповідь: 7,2°.

Задача 2. У коло із центром O, радіус якого дорівнює 8 см, вписано правильний восьмикутник ABCDEFMK (рис. 8.14). Знайдіть площі сектора та сегмента, які містять дугу AB.

Рис. 8.13

Рис. 8.14

Розв’язання. Кут AOB — центральний кут правильного восьмикутника, тому

Тоді шукана площа сектора дорівнює

площа сегмента:

Відповідь:

1. Яке відношення позначають буквою ?

2. Назвіть наближене значення числа з точністю до сотих.

3. За якою формулою обчислюють довжину кола?

4. За якою формулою обчислюють довжину дуги кола?

5. За якою формулою обчислюють площу круга?

6. Поясніть, яку геометричну фігуру називають круговим сектором.

7. За якою формулою обчислюють площу кругового сектора?

8. Поясніть, яку геометричну фігуру називають круговим сегментом.

9. Поясніть, як можна знайти площу кругового сегмента.

ВПРАВИ

8.1. Обчисліть довжину червоної лінії, зображеної на рисунку 8.15.

Рис. 8.15

8.2. Обчисліть площу заштрихованої фігури, зображеної на рисунку 8.16.

Рис. 8.16

8.3. Знайдіть площу круга, описаного навколо рівнобедреного трикутника з бічною стороною b і кутом а при основі.

8.4. Знайдіть довжину кола, описаного навколо прямокутника зі стороною а і кутом а між даною стороною та діагоналлю прямокутника.

8.5. Радіус кола дорівнює 8 см. Знайдіть довжину дуги кола, градусна міра якої дорівнює: 1) 4°; 2) 18°; 3) 160°; 4) 320°.

8.6. Довжина дуги кола дорівнює 12 см, а її градусна міра — 27°. Знайдіть радіус кола.

8.7. Довжина дуги кола радіуса 24 см дорівнює 3 см. Знайдіть градусну міру дуги.

8.8. Обчисліть довжину дуги екватора Землі, градусна міра якої дорівнює 1°, якщо радіус екватора наближено дорівнює 6400 км.

8.9. Радіус круга дорівнює 6 см. Знайдіть площу сектора, якщо градусна міра його дуги дорівнює: 1) 15°; 2) 144°; 3) 280°.

8.10. Площа сектора становить площі круга. Знайдіть градусну міру його дуги.

8.11. Площа сектора дорівнює 6 дм². Знайдіть градусну міру дуги цього сектора, якщо радіус круга дорівнює 12 дм.

8.12. Площа сектора дорівнює см², а градусна міра дуги цього сектора становить 75°. Знайдіть радіус круга, частиною якого є даний сектор.

8.13.° Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює 5 см, а градусна міра дуги сегмента дорівнює: 1) 45°; 2) 150°; 3) 330°.

8.14. Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює 2 см, а градусна міра дуги сегмента дорівнює: 1) 60°; 2) 300°.

8.15. Радіус кола збільшили на а. Доведіть, що довжина кола збільшилася на величину, яка не залежить від радіуса даного кола.

8.16. Сторона трикутника дорівнює 6 см, а прилеглі до неї кути дорівнюють 50° і 100°. Знайдіть довжини дуг, на які вершини трикутника ділять описане навколо нього коло.

8.17. Сторона трикутника дорівнює 5 см, а прилеглі до неї кути дорівнюють 35° і 25°. Знайдіть довжини дуг, на які вершини трикутника ділять описане навколо нього коло.

8.18. На катеті AC прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) як на діаметрі побудовано коло. Знайдіть довжину дуги цього кола, яка належить трикутнику, якщо ∠A = 24°, AC = 20 см.

8.19. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 70°. На висоті трикутника, яка проведена до основи й дорівнює 27 см, як на діаметрі побудовано коло. Знайдіть довжину дуги кола, яка належить трикутнику.

8.20. Колеса автомобіля мають діаметр 65 см. Автомобіль їде з такою швидкістю, що колеса роблять 6 обертів щосекунди. Знайдіть швидкість автомобіля в кілометрах за годину. Відповідь округліть до десятих.

8.21. Доведіть, що площа півкруга, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника як на діаметрі (рис. 8.17), дорівнює сумі площ півкругів, побудованих на його катетах як на діаметрах.

8.22. У круг вписано квадрат зі стороною a. Знайдіть площу меншого із сегментів, основою яких є сторона квадрата.

8.23. У круг вписано правильний трикутник зі стороною a. Знайдіть площу меншого із сегментів, основою яких є сторона трикутника.

8.24. Дві труби, діаметри яких дорівнюють 30 см і 40 см, потрібно замінити однією трубою з такою ж пропускною здатністю¹. Яким має бути діаметр цієї труби?

¹ Пропускна здатність водопровідної труби — це маса води, яка проходить через поперечний переріз труби за одиницю часу.

Рис. 8.17

8.25. Відрізок AB розбили на n відрізків. На кожному з них як на діаметрі побудували півколо. Цю дію повторили, розбивши даний відрізок на mвідрізків. Знайдіть відношення сум довжин півкіл, отриманих у першому й другому випадках.

Рис. 8.18

8.26. У круговий сектор, радіус якого дорівнює R, а центральний кут становить 60°, вписано круг. Знайдіть площу цього круга.

8.27. Знайдіть площу розетки (заштрихованої фігури), яка зображена на рисунку 8.18, якщо сторона квадрата ABCD дорівнює а.

8.28. При побудові чотирьох дуг із центрами у вершинах квадрата ABCD і радіусами, які дорівнюють стороні квадрата, утворилася фігура, обмежена червоною лінією (рис. 8.19). Знайдіть довжину цієї лінії, якщо довжина сторони квадрата дорівнює a.

Рис. 8.19

8.29. Знайдіть довжину червоної лінії (рис. 8.20), де точки O₁, O₂, O₃, … — центри рівних кіл радіуса R.

Рис. 8.20

8.30. Дано два кола, радіуси яких дорівнюють R і r (R > r). Центр меншого кола лежить на більшому колі. Довжина дуги меншого кола, розміщеної всередині більшого кола, дорівнює І. Знайдіть довжину дуги більшого кола, розміщеної всередині меншого кола.

8.31. На гіпотенузі і катетах прямокутного трикутника як на діаметрах побудовано півкруги (рис. 8.21). Доведіть, що площа зафарбованої фігури дорівнює площі трикутника.

Рис. 8.21

Рис. 8.22

Рис. 8.23

8.32. Знайдіть площу спільної частини двох кругів з радіусами 1 см і см, якщо відстань між їхніми центрами дорівнює 2 см.

8.33. Три кола, радіус кожного з яких дорівнює R, попарно дотикаються. Обчисліть площу зафарбованої фігури (рис. 8.22).

8.34. На відрізках AB, BC і AC як на діаметрах побудовано пів-круги (рис. 8.23). Відрізки MB і AC перпендикулярні. Доведіть, що площа зафарбованої фігури (її називають арбелос Архімеда) дорівнює

8.35. Хорда AB більшого з двох концентричних кіл дотикається до меншого кола (рис. 8.24). Знайдіть площу зафарбованого кільця, якщо AB = а.

Рис. 8.24

Рис. 8.25

Рис. 8.26

8.36. Побудуйте круг, площа якого дорівнює сумі площ двох даних кругів.

8.37. Два кола, радіуси яких дорівнюють 4 см і 12 см, дотикаються зовнішнім чином. Знайдіть площу фігури, обмеженої цими колами та їхньою спільною дотичною (рис. 8.25).

8.38. Два квадрати зі сторонами 1 см мають спільний центр (рис. 8.26). Доведіть, що площа їхньої спільної частини більша за .

ГРАЙ ЩОБ ЗАРОБЛЯТИ

Ігри в які можна грати та заробляти крипту не вкладаючи власні кошти