Підручник Геометрія 9 клас - О. С. Істер - Генеза 2017 рік

Розділ 1 МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ

§3. КООРДИНАТИ СЕРЕДИНИ ВІДРІЗКА. ВІДСТАНЬ МІЖ ДВОМА ТОЧКАМИ ІЗ ЗАДАНИМИ КООРДИНАТАМИ

Кожній точці координатної площини відповідає єдина пара чисел (х; у), і навпаки, кожній парі чисел (х; у) відповідає єдина точка координатної площини. У такому випадку кажуть, що існує взаємно однозначна відповідність між точками координатної площини і їх координатами (х; у). Це дає можливість розв’язувати деякі задачі методом координат, тобто подавати геометричні співвідношення розташування точок та фігур через алгебраїчні співвідношення між їх координатами. Розділ геометрії, що вивчає такі методи розв’язування, називають аналітичною геометрією.

Аналітична геометрія - розділ геометрії, у якому досліджують геометричні фігури та їх властивості засобами алгебри на основі методу координат.

Далі розглянемо найпростіші задачі аналітичної геометрії, повний курс якої вивчають у вищих навчальних закладах.

Координати середини відрізка

Задача 1. Дано точки A(x₁; у₁) і В(х₂; у₂). Точка M - середина відрізка AB. Знайти координати точки M.

Р о з в’ я з а н н я. 1) Розглянемо спочатку випадок, коли відрізок AB не паралельний осі у, тобто х₁ ≠x₂. Проведемо через точки А, В і M прямі, паралельні осі у (мал. 11). Вони перетинають вісь х у точках A_x(x₁; 0), B_x(x₂; 0) і М_х(х_M; 0).

Оскільки прямі AA_x, BB_x і MM_x паралельні між собою і M - середина AB, то, за теоремою Фалеса, M_x- середина A_xB_x.

Мал. 11

Маємо А_хMх = M_xBx, тобто |х₁ - х_M| = |х_M - x₂|.

Тому х₁ - х_M = х_M - х₂ або х₁ - х_M = -(х_M - х₂).

З першої рівності маємо формулу а друга - не має змісту, оскільки х₁ ≠ х₂.

2) Якщо відрізок AB паралельний осі у, то х₁ = х₂ = х_M і формула також справджується.

3) Аналогічно доводимо, що

Отже,

координати точки M - середини відрізка AB, де A(x₁; у₁) і B(x₂; у₁), знаходимо за формулами:

Задача 2. Знайти координати точки M - середини відрізка, кінцями якого є точки А(-5; 8) і В(3; -12).

Р о з в’ я з а н н я.

В і д п о в і д ь. м(-1; -2).

Задача 3. Точка C - середина відрізка AB. Знайти координати точки А, якщо В(-2; 4), С(8; 0).

Р о з в’ я з а н н я. Нехай С(хC; уC). Тоді тобто звідки х_А = 18.

Аналогічно, тобто звідки у_А = -4.

Отже, А(18; -4).

В і д п о в і д ь. А(18; -4).

Задача 4. Довести, що чотирикутник з вершинами в точках А(5; -4), В(-4; 1), С(-3; 2) і D(6; -3) - паралелограм.

Р о з в’ я з а н н я. Нехай точка O - середина діагоналі AC чотирикутника ABCD. Тоді

Отже, 0(1; -1).

Нехай точка Q - середина діагоналі BD чотирикутника ABCD. Тоді

Отже, Q(1; -1).

Маємо, що середини діагоналей чотирикутника ABCD збігаються і точка 0(1; -1) ділить кожну з діагоналей навпіл. Отже, діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Тому ABCD - паралелограм.

Відстань між двома точками Задача 5. Знайти відстань між точками A(x₁; у₁) і В(х₂; у₂).

Р о з в’ я з а н н я. 1) Розглянемо спочатку випадок, коли відрізок AB не паралельний жодній з осей координат, тобто х₁ ≠ х₂ і у₁ ≠ у₂. Проведемо через точки А і В прямі, паралельні осям координат (мал. 12). Вони перетинають вісь х у точках A_x(x₁; 0) і B_x(x₂; 0), а вісь у у точках А_у(0; у₁) і В_у(0; у₂).

Оскільки A_xB_xBC - прямокутник, то

BC = A_xB_x = |x₁ - x₂|.

Аналогічно АС = А_уВ_у= |у₁ - у₂|.

Мал. 12

У прямокутному трикутнику ABC за теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу AB:

2) Якщо відрізок AB паралельний осі у, то х₁ = х₂, у₁ ≠ у₂ і AB = |у₁ - у₂|. Той самий результат матимемо і за отриманою в попередньому пункті формулою:

3) Якщо відрізок AB паралельний осі х, то х₁ ≠ х₂, у₁ = у₂ і AB = |х₁ - х₂|. Той самий результат матимемо і за наведеною для AB формулою.

4) Якщо ж точки А і В збігаються, тобто х₁ = х₂ і у₁ = у₂, то AB = 0 і отримана формула для AB знову ж таки справджується.

Отже, відстань між точками A(x₁; у₁) і В(х₂; у₂) можна знайти за формулою

Задача 6. Знайти відстань між точками А і В, якщо: 1) А(4; -2), B(1; 2); 2) A(3; 5), В(7; -1).

Р о з в’ я з а н н я.

В і д п о в і д ь.

Задача 7. Знайти на осі абсцис точку, яка рівновіддалена від точок А(2; 7) і В(6; 1).

Р о з в’ я з а н н я. Нехай С(х; 0) - шукана точка. Оскільки за умовою AC = BC, то AC² = BC². Маємо:

AC² = (2 - x)²+ (7 - 0)² = 53 - 4х + х²;

BC² = (6 - х)² + (1 - 0)² = 37 - 12х + х².

Враховуючи, що AC² = BC², маємо рівняння:

53 - 4х + х² = 37 - 12х + х², звідки х = -2.

Отже, шуканою є точка С(-2; 0).

В і д п о в і д ь. (-2; 0).

А ще раніше…

Метод координат у математиці запропонували французькі математики П. Ферма та Р Декарт у XVII ст.

Про перше наукове пояснення координатного методу стало відомо в 1637 р. завдяки праці Рене Декарта «Геометрія». Саме тому описану Декартом систему координат почали називати декартовою, а координати точок у цій системі - декартовими координатами.

У своїй праці Декарт навів велику кількість прикладів, що ілюстрували дієвість методу координат для розв'язування геометричних задач, та отримав результати, про які не знали давні математики. Декарт також висунув припущення про можливість застосування координатного методу не тільки на площині, а й у просторі, проте саме цій ідеї не надав подальшого розвитку.

Р. Декарт (1596-1650)

Аналітичний метод, який запропонував Декарт, взяли на озброєння ван Схоутен, Валліс та багато інших математиків. Вони коментували «Геометрію» Декарта, виправляли його помилки, застосовували метод координат для розв'язування нових математичних задач, у тому числі й у тривимірному просторі. Так, наприклад, Валліс у 1655 р. вперше розглянув конічні перерізи як плоскі криві.

Приблизно в той самий час, коли Декарт опублікував працю «Геометрія», П'єр Ферма оприлюднив мемуари «Вступ до вивчення плоских і тілесних місць», де, зокрема, описав рівняння кривих 2-го порядку (тобто кривих, рівняння яких містять одночлени 2-го степеня відносно х і у), та використав революційний на той час метод перетворення координат для спрощення вигляду рівнянь. Проте робота Ферма не набула такої популярності, як «Геометрія» Декарта, яка більш повно розвивала ті самі ідеї.

Видатний математик та вчений Ісаак Ньютон спирався на координатний метод у своїх роботах з математичного аналізу та геометрії, у яких продовжив дослідження Декарта і Ферма. Зокрема, Ньютон увів класифікацію кривих 3-го порядку, а для кожної кривої 2-го порядку визначив такі характеристики, як діаметр, вісь симетрії, вершини, центр, асимптота, особливі точки тощо.

1. У чому полягає суть координатного методу?

2. Запишіть і доведіть формули координат середини відрізка.

3. Запишіть і доведіть формулу відстані між двома точками на координатній площині.

П. Ферма (1601-1665)

1. Початковий рівень

67. Знайдіть координати середини відрізка CD, якщо:

1) С(-5; 4), D(7; 0); 2) С(2; -8), D(-2; 6).

68. Знайдіть координати середини відрізка MN, якщо:

1) М(4; -5), N(2; 1); 2) М(7; -3), N(-1; 3).

69. Знайдіть відстань від початку координат до точки:

1) А(3; -4);  2) В(5; 12).

70. Знайдіть відстань від початку координат до точки:

1) Р(-6; 8);  2) М(8; 15).

2. Середній рівень

71. M - середина відрізка AB. Знайдіть координати:

1) точки В, якщо А(-2; 5), М(4; -7);

2) точки А, якщо B(0; -2), М(5; 1).

72. D - середина відрізка AB. Знайдіть координати:

1) точки А, якщо B(4; 5), D(-1; 7);

2) точки B, якщо А(3; 0), D(4; -2).

73. Знайдіть відстань між точками A і B, якщо:

1) А(-2; 4), B(4; 12); 2) А(4; -5), В(6; -11).

74. Знайдіть відстань між точками A і B, якщо:

1) А(4; -1), B(1; -5); 2) A(1; 7), В(-5; 1).

75. Яка відстань більша, АВ чи AC, якщо:

1) А(4; -3), B(0; 0), С(2; -1);

2) А(2; 5), В(8; -3), С(-6; -1)?

76. Яка відстань більша, MN чи ML, якщо:

1) М(2; -3), N(2; 2), L(-2; 0);

2) М(3; -1), N(1; 0), L(5; -1)?

77. Знайдіть периметр трикутника LMN, якщо L(4; -3), М(4; 5), N(1; 1).

78. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо A(0; -2), B(0; -8), C(4; -5).

3. Достатній рівень

79. А(-1; 2), B(0; 6), С(-5; 3) - вершини трикутника ABC. Доведіть, що трикутник ABC - рівнобедрений.

80. K(-2; 2), L(3; -4), М(4; 7) - вершини трикутника KLM. Доведіть, що трикутник рівнобедрений.

81. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(2; -5), B(-7; 0), С(-6; 1), D(3; -4) - паралелограм.

82. Доведіть, що чотирикутник KLMN з вершинами в точках K(-2; 8), L(3; -3), M(6; 2), N(1; 13) - паралелограм.

83. Точки K(-4; 2), L(3; 5), M(2; 8) - вершини паралелограма KLMN. Знайдіть координати його четвертої вершини.

84. Точки А(3; -8), B(0; 11), C(1; -12) - вершини паралелограма ABCD. Знайдіть координати його четвертої вершини.

85. Чи є чотирикутник ABCD паралелограмом, якщо:

1) А(-7; -2), В(-5; 4), С(5; 2), D(3; -4);

2) А(2; 6), В(3; 1), С(-3; 0), D(-4; 4)?

86. У трикутнику ABC А(-4; 2), B(4; 7), С(-2; 12). Знайдіть довжину середньої лінії, яка паралельна стороні AC.

87. У трикутнику PLK Р(4; -6), L(2; -11), K(6; -7). Знайдіть довжину середньої лінії, яка паралельна стороні KL.

88. Знайдіть довжину відрізка AB, кінці якого лежать на осях координат, а серединою його є точка N(-5; 12).

89. Знайдіть довжину відрізка MN, кінці якого лежать на осях координат, а серединою його є точка А(8; -15).

90. Знайдіть довжину медіани AM трикутника ABC, якщо A(6; 0), B(-3; 4), С(7; 2).

91. Знайдіть довжину медіани BN трикутника ABC, якщо А(2; -1), B(-9; 0), С(4; 11).

92. ABCD - квадрат, А(-2; 4), С(4; 10). Знайдіть периметр квадрата.

93. ABCD - квадрат, А(4; 5), B(10; -3). Знайдіть довжину діагоналі квадрата.

94. Відстань між точками А(5; 7) і B(-3; у) дорівнює 17. Знайдіть у.

95. Відстань між точками M(3; 0) і N(x; 24) дорівнює 25. Знайдіть х.

96. Знайдіть на осі абсцис точку, рівновіддалену від точок М(2; 5) і N(4; 1).

97. Знайдіть на осі ординат точку, рівновіддалену від точок А(3; 1) і B(7; 5).

4. Високий рівень

98. Дано точки А(2; 3) і B(8; 11). Знайдіть координати точки N, яка ділить відрізок AB у відношенні 1 : 3, рахуючи від точки А.

99. Дано точки Р(5; 0) і N(13; 6). Знайдіть координати точки D, яка ділить відрізок PN у відношенні 3 : 1, рахуючи від точки P.

100. Доведіть, що точки А(-1; -2), B(3; 2) і С(8; 7) лежать на одній прямій. Яка з точок лежить між двома іншими?

101. Доведіть, що точки Р(-1; -5), L(4; 5) і М(2; 1) лежать на одній прямій. Яка з точок лежить між двома іншими?

102. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(-4; -1), B(-1; 2), С(3; -2) і D(0; -5) - прямокутник.

103. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A(1; 3), B(-1; 9), С(5; 7) і D(7; 1) - ромб.

104. Знайдіть значення х, при якому трикутник з вершинами А(-4; 0), B(0; 4), C(x; -х) - рівносторонній.

105. Доведіть, що трикутник ABC з вершинами в точках А(-4; 16), B(6; -4), С(3; -5) - прямокутний. Знайдіть гострі кути трикутника з точністю до мінути.

106. Доведіть, що трикутник KLM з вершинами в точках K(6; -1), L(9; -4) і М(12; 5) - прямокутний. Знайдіть гострі кути трикутника.

Вправи для повторення

107. Знайдіть периметр і площу прямокутника, одна зі сторін якого дорівнює 8 см, а діагональ - 17 см.

108. Основи рівнобічної трапеції з кутом при основі 60° дорівнюють 16 см і 6 см. Знайдіть діагональ трапеції.

109. Хорда завдовжки 30 см перпендикулярна до діаметра і ділить його на відрізки, різниця між якими 40 см. Знайдіть діаметр кола.

110. Одна зі сторін трикутника та висота, проведена до неї, дорівнюють по 20 см. Знайдіть дві інші сторони трикутника, якщо висота, проведена до однієї з них, дорівнює 16 см.

4. Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

111. Виділіть квадрат двочлена у виразі:

1) x² + 6х - 7; 2) x² - 4x;

3) y² - 8x + 13; 4) y² + 3у - 1.

112. Точка Q - центр кола, точка A - належить цьому колу. Знайдіть радіус кола, якщо:

1) Q(0; 0), A(-3; 0); 2) Q(-2; 3), A(2; 6).

113. Відрізок MN - діаметр кола, M(-4; 2), N(8; 10). Знайдіть координати центра кола.

Цікаві задачі для учнів неледачих

114. Видатні українці. Запишіть по горизонталі прізвища видатних українців (за потреби використайте додаткову літературу та Інтернет) та отримайте у виділеному стовпчику назву геометричної фігури, з якою ви ознайомитеся в наступному розділі.

1. Видатний український футбольний тренер, багаторічний наставник команди «Динамо» (Київ).

2. Видатна українська письменниця та поетеса, лауреатка Шевченківської премії, премії Антоновичів, премії Петрарки.

3. Український композитор і поет, один із засновників української естрадної музики.

4. Український поет, перекладач, прозаїк, літературознавець, правозахисник.

5. Український письменник, кінорежисер, кінодраматург, художник, класик світового кінематографа.

6. Видатний український учений у галузі ракетобудування й космонавтики, конструктор. Його вважають основоположником практичної космонавтики.