Дві точки A і A’ називають симетричними відносно прямої l, якщо ця пряма є серединним перпендикуляром до відрізка AA’ (мал. 175).

Якщо точка А лежить на прямій l, то її вважають симетричною самій собі відносно прямої l.

Мал. 175

Мал. 176

На малюнку 176 точки B і B' симетричні відносно прямої l, точки C і C' не симетричні відносно прямої l, а точка D симетрична сама собі відносно прямої l.

Щоб побудувати точку А', симетричну точці А відносно прямої l:

1) проводимо перпендикуляр AO з точки А до прямої l;

2) на його продовженні з іншого боку від прямої l відгадаємо відрізок OA' = OA (див. мал. 175).

Задача 1. Знайдіть координати точок, симетричних точці А(-2; 3) відносно осей координат.

Р о з в’ я з а н н я. Нехай точка А' симетрична точці А відносно осі x (мал. 177). Тоді AA' L x і точка M середина відрізка AA'. Тому абсциса точки А' дорівнює абсцисі точки А, а ординати цих точок - протилежні числа. Отже, А'(-2; -3).

Нехай точка А" симетрична точці А відносно осі у. Міркуючи аналогічно, матимемо А"(2; 3).

В і д п о в і д ь. А'(-2; -3) і А"(2; 3).

Якщо кожна точка фігури F відносно прямої І симетрична деякій точці фігури F', і навпаки, то фігури F і F' називають симетричними відносно прямої l (мал. 178).

Якщо перетворення симетрії відносно прямої l переводить фігуру F у себе, то фігуру F називають симетричною відносно прямої l, а пряму l - її віссю симетрії.

Мал. 177

Мал. 178

Мал. 179

Прикладами фігур, які мають вісь симетрії, є ромб і рівносторонній трикутник (мал. 179). Ромб має дві осі симетрії, а рівносторонній трикутник - три.

Симетрію відносно прямої називають ще осьовою симетрією.

Т е о р е м а (про перетворення симетрії відносно прямої). Перетворення симетрії відносно прямої є переміщенням.

Д о в е д е н н я. Виберемо систему координат так, щоб вісь симетрії збігалася з віссю у. Нехай А(х₁; y₁) і B(x₂; у₂) - дві довільні точки фігури F, а А’ і В' - точки, симетричні відповідно точкам А і В відносно прямої у (мал. 180).

Тоді можемо вказати координати точок A’ і В': А(-x₁; y₁) і В'(-х₂; y₂) (див. розв’язання задачі 1 цього параграфа).

Маємо:

AB² = (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²;

AB'² = (-x₁ + x₂)² + (y₁ - y₂)² = (x₁ - x₂)² + (y₁ - y2)².

Тому AB² = А'В' ², отже, AB = A'B', тобто симетрія відносно прямої є переміщенням.

Мал. 180

Мал. 181

Фігури, симетричні відносно прямої, оточують нас у повсякденному житті, є у природі, техніці тощо (мал. 181).

В алгебрі симетрія відносно прямої трапляється під час побудови графіків. Наприклад, графік функції у = x² симетричний відносно осі ординат (мал. 182).

Мал. 182

Слово «симетрія» - грецького походження (сим - з, метрон - міра) і дослівно означає «співмірність». У давнину цей термін застосовували в архітектурі та мистецтві, маючи на увазі гармонійність, рівновагу, красу.

Пізнаючи в буденному житті явища природи, люди помічали симетричну форму листя та метеликів, спіралі раковин, будови кристалів тощо, а також симетрію будови тіла людини.

Вчення про симетрію веде свій початок з давнини, про що свідчать геометричні орнаменти, які збереглися на кам'яних плитах, посудинах

тощо. Багатовікові спостереження людини за симетрією мінералів, рослин, тварин та досвід застосування симетрії в будівництві і мистецтві привели до створення вчення про симетрію.

Про симетрію у трактаті «Про архітектуру» писав римський інженер Вітрувій (I ст.). Симетрію вивчали і застосовували архітектори й художники епохи Відродження, зокрема видатні італійські живописці Леонардо да Вінчі та Рафаель Санті; нею займалися вчені Луї Пастер (1822-1895), П'єр і Жак Кюрі та інші.

У геометрію елементи вчення про симетрію ввів французький математик А.М. Летанур (1752-1833).

У наші часи вчення про симетрію є основою науки кристалографії та широко застосовується в науці, техніці й промисловості.

1. Які точки називають симетричними відносно даної прямої?

2. Яке перетворення називають симетрією відносно прямої?

3. Яку фігуру називають симетричною відносно даної прямої?

4. Як називають пряму, відносно якої фігура є симетричною?

5. Доведіть, що перетворення симетрії відносно прямої є переміщенням.

6. Наведіть приклади фігур, що мають вісь симетрії.

1. Початковий рівень

927. (Усно.) На якому з малюнків 183-186 точки А і А' симетричні відносно прямої l?

Мал. 183

Мал. 184

Мал. 185

Мал. 186

928. Дано пряму l і точку M, що їй не належить. Побудуйте точку, симетричну точці M відносно прямої l.

929. Дано пряму l і точку N, що їй не належить. Побудуйте точку N', симетричну точці N відносно прямої l.

2. Середній рівень

930. Дано відрізок CD, кінці якого мають координати С(-4; 1), D(2; -3). Побудуйте відрізок, симетричний відрізку CD відносно осі абсцис, та запишіть координати його кінців.

931. Дано відрізок AB, кінці якого мають координати А(2; 5), В(3; -1). Побудуйте відрізок, симетричний відрізку AB відносно осі ординат, та запишіть координати його кінців.

932. Серед точок А(-2; 5), В(-2; -5), С(2; 5), D(2; -5) укажіть пари точок, симетричних відносно осі ординат.

933. Серед точок М(3; -4), N(-3; 4), K(-3; -4), L(3; 4) укажіть пари точок, симетричних відносно осі абсцис.

934. Накресліть трикутник ABC. Побудуйте трикутник, симетричний трикутнику ABC відносно прямої BC.

935. Накресліть прямокутний трикутник ABC з гіпотенузою AB. Побудуйте трикутник, симетричний трикутнику ABC відносно прямої АС.

936. Скільки осей симетрії має:

1) відрізок; 2) промінь;  3) пряма;

4) коло;  5) прямокутник, що не є квадратом;

6) квадрат?

3. Достатній рівень

937. Знайдіть x і у, якщо точки А(х; -2) і А'(3; у) симетричні відносно:

1) осі абсцис; 2) осі ординат.

938. Знайдіть х і у, якщо точки А(-5; у) і А'(х; 6) симетричні відносно:

1) осі абсцис; 2) осі ординат.

939. На малюнку 187 AD = AB, CD = CB. Доведіть, що точки B і D симетричні відносно прямої АС.

940. На малюнку 188 AB = BC, AD = DC. Доведіть, що точки A і C симетричні відносно прямої BD.

Мал. 187

Мал. 188

941. Осі координат є осями симетрії ромба. Середина однієї зі сторін ромба - точка N(-2; 3). Знайдіть координати вершин ромба.

942. Осі координат є осями симетрії квадрата. Середина однієї зі сторін квадрата - точка М(2; -2). Знайдіть координати вершин квадрата.

4. Високий рівень

943. Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій 2х - 3у - 6 = 0 відносно:

1) осі абсцис; 2) осі ординат.

944. Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій 4х - у + 8 = 0 відносно:

1) осі абсцис; 2) осі ординат.

Вправи для повторення

945. Периметр ромба дорівнює 24 см, а один з його кутів дорівнює 60°. Знайдіть діагоналі ромба.

946. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, периметр якого дорівнює 36 см, а основа менша за бічну сторону на 3 см.

947. Знайдіть відношення площі правильного шестикутника, вписаного в коло, до площі квадрата, описаного навколо цього кола.

Цікаві задачі для учнів неледачих

948. (Київська математична олімпіада, 1993 р.) Дано три ненульових вектори , i , які попарно неколінеарні. Довести, що коли вектор + колінеарний вектору , а вектор + колінеарний вектору , то вектор + колінеарний вектору . Знайдіть суму векторів + + .