Дві точки A і A' називають симетричними відносно точки O, якщо O є серединою відрізка AA' (мал. 162).

Точкою, симетричною точці O, буде сама точка O.

На малюнку 163 точки B і B' симетричні відносно точки O, а точки C і C' не є симетричними відносно точки O.

Мал. 162

Мал. 163

Щоб побудувати точку А', симетричну точці А відносно точки O:

1) проводимо промінь AO;

2) по інший бік від точки O відкладаємо на ньому відрізок OA' = OA (див. мал. 162).

Задача 1. Точки А(х; 2) і А'(-3; у) симетричні відносно точки O(4; -5). Знайти х і у.

Р о з в’ я з а н н я. Точка O - середина відрізка AA.

За формулами середини відрізка:

звідси: x = 11, у = -12.

В і д п о в і д ь. х = 11, у = -12.

Якщо кожна точка фігури F симетрична деякій точці фігури F' відносно точки O, і навпаки, то фігури F і F' називають симетричними відносно точки O (мал. 164). Таке перетворення фігури F у фігуру F' називають перетворенням симетрії відносно точки O.

Мал. 164

Якщо перетворення симетрії відносно точки O переводить фігуру F у себе, то фігуру F називають центрально-симетричною, а точку O - її центром симетрії.

Мал. 165

Прикладами центрально-симетричних фігур є коло і паралелограм (мал. 165). Центром симетрії кола є центр кола, а центром симетрії паралелограма - точка перетину його діагоналей.

Симетрію відносно точки називають ще центральною симетрією.

Т е о р е м а (про перетворення симетрії відносно точки). Перетворення симетрії відносно точки є переміщенням.

Д о в е д е н н я. Нехай X і Y - дві довільні точки фігури F, а перетворення симетрії відносно точки O переводить їх у точки X' і Y' (мал. 166).

Оскільки XO = X'O, YO = Y’O (за означенням симетрії) і ∠XOY = ∠X'OY' (як вертикальні), то ∆X'OY' = ∆X'OY' (за двома сторонами і кутом між ними).

Тому XY = X'Y'. Це означає, що симетрія відносно точки O є переміщенням. (Випадок, коли точки X, Y і O лежать на

одній прямій, розгляньте самостійно).

Мал. 166

Приклади центрально-симетричних фігур трапляються у природі, техніці, побуті (мал. 167). Наприклад, центрально симетричними є орнаменти на килимах, вишивках тощо (мал. 168). В алгебрі, наприклад, графіком функції y = є гіпербола, симетрична відносно початку координат (мал. 169).

Мал. 167

Мал. 168

Мал. 169

1. Які точки називають симетричними відносно даної точки?

2. Яке перетворення називають симетрією відносно даної точки?

3. Яку фігуру називають центрально-симетричною?

4. Яку точку називають центром симетрії фігури?

5. Доведіть, що перетворення симетрії відносно точки є переміщенням.

6. Наведіть приклади фігур, що мають центр симетрії.

1. Початковий рівень

906. (Усно.) На якому з малюнків 170-173 точки C і C' симетричні відносно точки O?

Мал. 170

Мал. 171

Мал. 172

Мал. 173

907. Дано дві точки O і A. Побудуйте точку А', симетричну точці А відносно точки O.

908. Дано дві точки O і B. Побудуйте точку В', симетричну точці В відносно точки O.

2. Середній рівень

909. Дано відрізок AB, А(-2; 3), В(4; 5). Побудуйте відрізок, симетричний відрізку AB відносно початку координат, та запишіть координати його кінців.

910. Дано відрізок MN, кінці якого мають координати M(-2; -1), N(4; -3). Побудуйте відрізок, симетричний відрізку MN відносно початку координат, та запишіть координати його кінців.

911. Серед точок А(-2; 3), B(2; 3), С(-2; -3), D(2; -3) укажіть пари точок, які симетричні відносно початку координат.

912. Чи симетричні точки А(-2; 3) і B(4; -7) відносно точки O(1; 2)?

913. Які координати має точка O, відносно якої симетричні точки М(-4; 5) і N(8; -1)?

914. Точки А(х; -3) і А'(5; у) симетричні відносно точки 0(7; 1). Знайдіть x і у.

915. Точки B(5; у) і В'(х; -7) симетричні відносно точки 0(-3; 4). Знайдіть x і у.

916. Чи має центр симетрії:

1) відрізок; 2) промінь; 3) пряма; 4) коло?

Якщо так, то вкажіть центр симетрії.

3. Достатній рівень

917. ABCD - паралелограм (мал. 174). Точка E симетрична точці А відносно точки D. Доведіть, що:

1) точки C і D симетричні відносно точки О;

2) точки B і E симетричні відносно точки О.

Мал. 174

918. ABCD - паралелограм (мал. 174). Точка E симетрична точці В відносно точки О. Доведіть, що:

1) точки C і D симетричні відносно точки O;

2) точки А і E симетричні відносно точки D.

919. Запишіть рівняння кола, яке симетричне колу (х - 2)² + (у + 3)² = 16 відносно:

1) початку координат; 2) точки O(-1; 5).

920. Запишіть рівняння кола, яке симетричне колу (х + 1)² + (у - 5)² = 9 відносно:

1) початку координат; 2) точки O(2; -3).

4. Високий рівень

921. Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій 2х - у + 5 = 0 відносно:

1) початку координат; 2) точки O(1; 3).

922. Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій x + 2у - 3 = 0 відносно:

1) початку координат; 2) точки O(-1; -2).

Вправи для повторення

923. З точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу, що вдвічі більша за перпендикуляр. Знайдіть кут між похилою і прямою.

924. Знайдіть кути рівнобічної трапеції, бічна сторона якої перпендикулярна до діагоналі й дорівнює меншій основі.

925. Площа прямокутного трикутника в 4 рази менша за площу квадрата, який побудовано на гіпотенузі. Знайдіть гострі кути трикутника.

Цікаві задачі для учнів неледачих

926. Знайдіть довжини сторін AB і AC трикутника ABC, якщо BC = 8 см, а довжини висот, проведених до AC і BC, дорівнюють відповідно 6,4 см і 4 см. Скільки випадків слід розглянути?