Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 1 Метод координат на площині

§ 3. СИНУС, КОСИНУС І ТАНГЕНС КУТІВ ВІД 0° ДО 180°

Досі ми розглядали синус, косинус і тангенс гострого кута як відношення відповідних сторін прямокутного трикутника. Дамо їм означення для будь-якого кута від 0° до 180°. Для цього використаємо систему координат XOY.

У I і II чвертях системи координат XOY проведемо півколо із центром у початку координат і радіусом R = 1 (мал. 21). Таке півколо називають одиничним. Будемо відкладати кути від додатної півосі ОХ проти руху годинникової стрілки. Нехай ∠AOB = а — гострий і точка B (кінець радіуса OB) має координати x і у. Проведемо BK OX (мал. 21).

У прямокутному трикутнику OBK гіпотенуза OB = 1, а катети дорівнюють координатам x і у точки B. Значення sin а, cos а і tg а виразимо через координати точки B:

За цими формулами можна визначити синус, косинус і тангенс тупого кута (мал. 22).

Мал. 21

Якщо радіус одиничного півкола утворює з додатною піввіссю ОХ кут а, то:

sin а дорівнює ординаті кінця цього радіуса;

cos а дорівнює абсцисі кінця цього радіуса;

tg а дорівнює відношенню ординати й абсциси кінця цього радіуса.

Чому синуси тупих кутів додатні, а косинуси й тангенси — від’ємні? Тому що ординати в другій чверті додатні, а абсциси — від’ємні.

Мал. 22

Задача 1. Скориставшись одиничним півколом, побудуйте кут, синус якого дорівнює .

Розв’язання. Проведемо одиничне півколо із центром у початку координат (мал. 23). Позначимо на осі OY точку C

Через точку C проведемо пряму l II ОХ. Вона перетне одиничне півколо в точках B і B ₁, ординати яких дорівнюють .

Сполучивши точки B і B ₁ з початком координат, одержимо два кути, синуси яких дорівнюють ; гострий — ∠AOB і тупий — ∠AOB ₁.

Мал. 23

Знайдемо значення sin а, cos а і tg а для кутів 0°, 90° і 180°. Проведемо радіуси OA, OB і OC, які утворюють ці кути з додатною піввіссю OX (мал. 24). Точки A, B і C мають такі координати:

A(1; 0), з іншого боку A(cos 0°; sin 0°),

В (0; 1), з іншого боку B(cos 90°; sin 90°),

C(-1; 0), з іншого боку C(cos 180°; sin 180°).

Тоді

Мал. 24

Для кута а = 90° tg а не існує, оскільки tg 90° = , а на нуль ділити не можна.

Слід запам’ятати дані таблиці 4.

Таблиця 4

Задача 2. Доведіть, що для будь-якого кута а від 0° до 180° виконуються нерівності:

0 ≤ sin а ≤ 1, -1 ≤ cos а ≤ 1.

Розв’язання Координати x і у точок одиничного півкола змінюються в межах: 0 ≤ у ≤ 1, -1 ≤ x ≤ 1. Оскільки у = sin a, x = cos а, то 0 < sin а < 1, -1 ≤ cos а ≤ 1.

Дізнайтеся більше

У вас може виникнути кілька запитань.

1. Чи існують кути від 180° до 360° та їх значення синуса, косинуса й тангенса? Так. Кут можна розглядати як результат обертання радіуса кола. Нехай коло радіуса R = 1 із центром у початку координат перетинає вісь OX у точці A (мал. 25). Вважатимемо, що ∠AOB = 210° утворено обертанням радіуса OB проти руху годинникової стрілки. Точка Bмає координати

Повний оберт радіуса OB утворить кут 360°.

2. Чи можуть кути бути більшими за 360°? Поміркуємо. Нехай радіус OB, що утворює кут 60° (мал. 26), продовжуючи свій рух проти годинникової стрілки, зробив один повний оберт. Тоді ∠AOB = 360° + 60° = 420°.

3. Чи можуть градусні міри кутів бути від’ємними? Так. Кут вважають від’ємним, якщо його утворено обертанням радіуса кола за годинниковою стрілкою. На малюнку 27 зображено два кути зі спільними початковою стороною OA і кінцевою стороною OB. Один кут дорівнює -270°, а другий дорівнює 90°.

Мал. 25

Мал. 26

Мал. 27

Пригадайте головне

1. Поясніть, що таке синус, косинус і тангенс для довільного кута від 0° до 180°.

2. Для якого кута тангенс не існує й чому?

3. Чому синуси тупих кутів додатні, а косинуси й тангенси — від’ємні?

4. Назвіть значення синуса й косинуса для кутів 0°, 90°, 180°.

5. Назвіть значення тангенса для кутів 0° і 180°.

Розв'яжіть задачі

76'. 1) Чи може абсциса точки одиничного півкола дорівнювати: 2; 0,5; -1? 2) Чи може ордината точки одиничного півкола дорівнювати: 0,8; 1,4; 1?

77'. Радіус одиничного півкола утворює з додатною піввіссю OX кут а. Чи правильно, що sin а дорівнює:

1) абсцисі кінця радіуса;

2) ординаті кінця радіуса;

3) відношенню ординати й абсциси кінця радіуса?

78'. Радіус одиничного півкола утворює з додатною піввіссю OX кут а. Чи правильно, що cos а дорівнює:

1) абсцисі кінця радіуса;

2) ординаті кінця радіуса;

3) відношенню ординати й абсциси кінця радіуса?

79'. Радіус одиничного півкола утворює з додатною піввіссю ОХ кут а. Чи правильно, що tg а дорівнює:

1) абсцисі кінця радіуса;

2) ординаті кінця радіуса;

3) відношенню ординати й абсциси кінця радіуса?

80°. На малюнку 28 зображено одиничне півколо.

1) Назвіть абсциси й ординати точок B, C і D.

2) Дайте назви (а, р, у) кутам, які утворюють з додатною піввіссю ОХ радіуси OB, OC і OD.

3) Виразіть значення синуса, косинуса й тангенса цих кутів через координати точок B, C і D.

Мал. 28

81°. На малюнку 29 зображено одиничне півколо.

1) Назвіть абсциси й ординати точок К і L.

2) Дайте назви (а, Р) кутам, які утворюють з додатною піввіссю ОХ радіуси OK і OL.

3) Виразіть значення синуса, косинуса й тангенса цих кутів через координати точок K і L.

Мал. 29

82°. 1) Назвіть радіус одиничного півкола (мал. 30), який утворює з додатною піввіссю OX кут: 0°, 90°, 180°.

2) Запишіть значення: а) sin 0°, sin 90°, sin 180°; б) tg 0°, tg 180°.

Мал. 30

83°. 1) Назвіть радіус одиничного півкола (мал. 30), який утворює з додатною піввіссю ОХ кут: 0°, 90°, 180°.

2) Запишіть значення: cos 0°, cos 90°, cos 180°.

84°. Накресліть систему координат, узявши за одиницю довжини відрізок завдовжки 5 см. Проведіть у I і II чвертях одиничне півколо із центром у початку координат.

1) За допомогою транспортира позначте на одиничному півколі точки A, B, C, D, E так, щоб кути між радіусами OA, OB, OC, OD, OE і додатною піввіссю OX дорівнювали відповідно 35°, 70°, 115°, 130° і 165°.

2) За допомогою лінійки знайдіть координати точок A, B, C, D і E.

3) Знайдіть наближене значення синуса, косинуса й тангенса для кутів 35°, 70°, 115°, 130° і 165°. Накресліть у зошиті та заповніть таблицю 5.

Таблиця 5

85°. Який знак мають sin а, cos а і tg а, якщо 0° < а < 90°? Відповідь поясніть.

86°. Який знак мають sin a, cos а і tg а, якщо 90° < а < 180°? Відповідь поясніть.

87°. Накресліть у зошиті таблицю 6. У таблиці поставте знак «+», якщо sin a, cos а або tg а — додатний, і знак «-», якщо від’ємний.

Таблиця 6

88°. Гострим чи тупим є кут а, якщо:

1) його косинус від’ємний;

2) його косинус додатний;

3) його тангенс від’ємний? Відповідь поясніть.

89°. Гострим чи тупим є кут а, якщо: 1) його тангенс додатний; 2) його косинус від’ємний? Відповідь поясніть.

90°. Обчисліть:

1) 3 cos 0° - 2 sin 90°;

2) 4 sin 0° - 5 cos 180°;

3) 6 sin 90° - 3 tg 180°.

91°. Обчисліть: 8 sin 180° + 2 cos 90°.

92°. Знайдіть sin а, якщо:

1) cos а = -1;

2) cos а = 0;

3) cos a = 1.

93°. Знайдіть cos а, якщо:

1) sin a = 1;

2) sin а = 0.

94. Чи можуть синус або косинус кута дорівнювати:

1) -0,6;

2) 0,8;

3) 3?

Відповідь поясніть.

95. Чи може тангенс кута дорівнювати:

1) 8;

2) 0,01;

3) 200?

Відповідь поясніть.

96. а — кут трикутника. Які з величин sin а, cos а, tg а можуть бути від’ємними та за яких умов?

97. Скориставшись малюнком 31, обґрунтуйте твердження:

1) якщо кут а зростає від 0° до 90°, то синус цього кута зростає від 0 до 1, а косинус — спадає від 1 до 0;

2) якщо кут а зростає від 90° до 180°, то синус цього кута спадає від 1 до 0, а косинус — спадає від 0 до -1.

98. Якщо а, , — кути трикутника, то який знак має сума:

1) sin а + sin + sin ;

2) cos а + cos + cos ?

Відповідь поясніть.

99. Якщо а, , — кути трикутника, то який знак має сума:

Мал. 31

Відповідь поясніть.

100. Гострий чи тупий кут а, якщо:

1) sin а ∙ cos а > 0;

2) sin а ∙ cos а < 0?

Відповідь поясніть.

101. Гострий чи тупий кут а, якщо sin а ∙ tg а < 0? Відповідь поясніть.

102. Який з кутів (а чи ) більший, якщо:

1) cos а = 0,8, cos = 0,2;

2) cos а = -0,3, cos = -0,6?

103. Який з кутів (а чи ) більший, якщо sin а = 0,4, sin = 0,7?

104. Яких значень може набувати сума:

1) sin а + 1;

2) cos а + 0,5?

105. Яких значень може набувати сума sin а + 0,2?

106. Запишіть у порядку зростання:

1) sin 66°, sin 20°, sin 75°, sin 15°, sin 5°;

2) cos 9°, cos 80°, cos 46°, cos 75°, cos 16°.

107. Запишіть у порядку спадання:

1) sin 176°, sin 92°, sin 101°, sin 125°, sin 150°;

2) cos 97°, cos 175°, cos 165°, cos 102°, cos 91°.

108. Визначте знак різниці:

1) sin 145° - sin 169°;

2) cos 178° - cos 153°;

3) tg 163° - tg 121°.

109. Який знак має добуток:

1) cos 10° ∙ sin 120° ∙ tg 105°;

2) sin 40° ∙ cos 153° ∙ tg 15°?

110. Який знак має добуток: tg 110° ∙ tg 160° ∙ sin 150°?

111. Обчисліть:

112. Обчисліть: 8 cos 60° + 2sin 90° - 10cos 180°.

113. Знайдіть tg а, якщо:

114. Побудуйте кут а, якщо:

Скільки розв’язків має задача?

115. Побудуйте кут а, якщо:

1) cos а = 0,4;

2) cos а = -0,5.

116*. Доведіть, що коли sin а = sin , то або а = , або а = 180° - .

117*. Чи існує кут а, для якого:

1) sin а = cos а;

2) sin а = -cos а?

118*. Користуючись одиничним півколом, доведіть:

1) sin (90° - а) = cos а;

2) cos (90° - а) = sin а.

119*. Доведіть нерівність | sin а | + | cos а | ≤ 1.

120*. Які з рівностей можливі:

121*. У прямокутному трикутнику ABC гіпотенуза AB дорівнює 1. З вершини C проведено висоту CD. Знайдіть AC, BC, AD, BD і CD, якщо ∠BAC = а.

Проявіть компетентність

122. Визначте, який кут утворюється внаслідок обертання хвилинної стрілки протягом 25 хв.

123. Маховик дизеля робить 40 обертів за хвилину. Який кут опише його спиця OA (мал. 32) через 0,5 секунди?

Мал. 32