Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 3 Розв'язування трикутників

У розділі дізнаєтеся:

■ про співвідношення між сторонами й кутами трикутника;

■ про алгоритми знаходження невідомих сторін і кутів довільного трикутника за відомими його сторонами й кутами;

■ як застосовувати вивчені алгоритми до розв’язування геометричних задач і задач практичного змісту;

■ про нові формули для обчислення площі трикутника та як їх використовувати в розв’язуванні задач

§ 11. ТЕОРЕМА СИНУСІВ

Ви вже знаєте співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника. Тепер ознайомимось із співвідношенням між сторонами й кутами довільного трикутника.

Позначатимемо сторони трикутника через a, b, c, а протилежні їм кути — через а, , або ∠A, ∠B, ∠C.

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів:

Д а н о: ∠ABC, BC = a₁ AC = b₁ AB = c.

Д о в е с т и:

Д о в е д е н н я. Опишемо коло радіуса R навколо даного трикутника ABC (мал. 134). Через одну з вершин трикутника, наприклад A, проведемо діаметр AC₁ описаного кола. Трикутник ABC₁ — прямокутний (∠B — прямий, як вписаний кут, що спирається на діаметр), тому c = 2R ∙ sin C₁ або

Мал. 134

Мал. 135

Якщо кут C — гострий (мал. 134), то ∠C = ∠C₁ (як вписані кути, що спираються на одну дугу кола), і sin C₁ = sin C.

Якщо ж кут C — тупий (мал. 135), то кут C₁ — гострий, оскільки ∠C + ∠C₁ = 180°. Звідси ∠C₁ = 180° - ∠C. Отже, sin C₁ = sin (180° - ∠C) = sin C.

В обох випадках маємо, що

(1)

Якщо кут C — прямий (мал. 136), то c = 2R, sin C = sin 90° = 1 і рівність (1) також має місце.

Аналогічні рівності знайдемо для кутів A і B трикутника.

Отже, для будь-якого трикутника ABC:

Мал. 136

НАСЛІДОК 1. У будь-якому трикутнику відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, описаного навколо цього

трикутника:

Чи можна знайти сторону трикутника за радіусом R описаного кола та кутом, що лежить проти цієї сторони? Так. За наслідком 1 з теореми синусів,

Звідси a = 2R sin A. Так само b = 2R sin B, c = 2R sin C.

НАСЛІДОК 2. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, проти більшого кута лежить більша сторона.

Спробуйте довести це самостійно, розглянувши гострокутний і тупокутний трикутники.

Задача 1. У трикутнику дано сторону а = 6 і прилеглі до неї кути: ∠B = 80°, ∠C = 30°. Знайдіть сторону b.

Розв’язання ∠A = 180° - (30° + 80°) = 70°. За теоремою синусів:

Задача 2. У трикутнику дано сторони а = 8, b = 4 і ZA = 48°, що лежить проти сторони а. Знайдіть ∠B.

Розв’язання За теоремою синусів:

Звідси

Цьому значенню синуса відповідають два кути: 22° і 180° - 22° = 158°. Оскільки a > b, то, за наслідком 2, ∠A > ∠B. Оскільки ∠A — гострий, то ∠B — гострий. Отже, ∠B = 22°.

Теорема синусів дає можливість за стороною і прилеглими до неї - кутами (задача 1) або за двома сторонами й кутом, протилежним до однієї з них (задача 2), знаходити інші сторони й кути трикутника.

Дізнайтеся більше

Розв’яжемо задачу.

Задача. Доведіть, що бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.

Розв’язання Нехай AD — бісектриса трикутника ABC (мал. 137). Позначимо ∠CAD = ∠BAD = a, ∠ADB = , тоді ∠ADC = 180° - . Застосуємо теорему синусів до трикутників ABDі ACD:

Із ∆ABD:

(1)

із ∆ACD:

Оскільки sin (180° - ) = sin , то

(2)

Поділимо почленно рівність (1) на рівність (2). Одержимо:

що й треба було довести.

Мал. 137

Поміркуємо. Розв’язуючи задачу, ми ввели допоміжні кути а і , яких не було дано в умові. Використавши теорему синусів, склали рівності (1) і (2). Потім, почленно поділивши ці рівності, позбулися синусів допоміжних кутів а і й одержали шукану пропорцію. Такий спосіб розв’язування інколи називають способом введення допоміжного кута.

Пригадайте головне

1. Сформулюйте теорему синусів.

2. Як знайти сторону трикутника за радіусом описаного кола й кутом, що лежить проти цієї сторони?

3. Яка залежність між величинами кутів трикутника та довжинами його сторін?

4. Сформулюйте дві задачі, які можна розв’язати за теоремою синусів.

Розв'яжіть задачі

494'. Який із записів правильний:

495'. Чи правильно, що в трикутнику АВС:

1) a = R sin В;

2) a = R sin A;

3) a = 2R sin A?

496'. Чи правильно, що в трикутнику проти більшої сторони лежить:

1) менший кут;   2) більший кут?

497'. Чи правильно, що в трикутнику проти меншого кута лежить:

1) менша сторона;  2) більша сторона?

498°. За даними на малюнку 138:

1) запишіть відношення кожної сторони трикутника до синуса протилежного кута;

2) знайдіть значення синусів цих кутів;

3) обчисліть кожне з відношень сторони трикутника до значення синуса протилежного кута і зробіть висновок.

499°. За даними на малюнку 139:

1) запишіть відношення заданої сторони до синуса протилежного кута;

2) знайдіть значення цього відношення.

500°. За даними на малюнках 140, 141 обчисліть:

1) сторону а трикутника (мал. 140);

2) кут а трикутника (мал. 141).

Мал. 138

Мал. 139

Мал. 140

Мал. 141

501°. Знайдіть сторону AC трикутника ABC, якщо:

1) с = 4 см, ∠B = 45°, ∠C = 30°;

2) а = 6 см, ∠A = 60°, ∠B = 45°.

502°. Знайдіть сторону АС трикутника АВС, якщо с = 4 CM, ∠A = 65°, ∠B = 75°.

503°. Знайдіть кут A трикутника ABC, якщо:

1) а = 2 см, b = 4 см, ∠B = 60°;

2) с = 8 см, а = 5 см, ∠C = 30°.

504°. Знайдіть кут А трикутника ABC, якщо b = 6 см, а = 4 CM, ∠B = 45°.

505°. Яка зі сторін трикутника ABC (мал. 142) найбільша, а яка — найменша?

506°. Який з кутів трикутника ABC (мал. 143) найбільший, а який — найменший?

507°. Який з кутів трикутника ABC найбільший, а який — найменший, якщо:

1) a = 6 см, b = 8 см, c = 7 см;

2) a = b = c;

3) a > b > c?

Мал. 142

508°. Яка зі сторін трикутника ABC найменша, а яка — найбільша, якщо:

1) ∠A = 50°, ∠B = 20°;

2) ∠B = 40°, ∠C = 85°;

3) ∠A = 105°, ∠C = 32°?

509°. Порівняйте катети АС і ВС прямокутного трикутника ABC, якщо:

1) ∠A = 46°;  2) ∠B = 51°; 3) ∠A = 65°.

510°. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 9 см. Чи може кут, протилежний до сторони завдовжки 7 см, бути:

1) тупим;

2) гострим;

3) прямим?

Мал. 143

511°. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 5 см і 6 см. Чи може кут, протилежний до сторони завдовжки 4 см:

1) бути більшим за 60°;

2) дорівнювати 60°;

3) бути меншим від 60°?

512°. ВС — найменша сторона трикутника ABC. Чи може кут А дорівнювати:

1) 61°;   2) 60°; 3) 59°?

513°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника, якщо проти сторони завдовжки 3 см лежить кут:

1) 120°;    2) 30°;  3) 135°.

514°. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює 8 см. Знайдіть сторону, яка лежить проти кута:

1) 150°;   2) 45°; 3) 60°.

515. Кути трикутника відносяться, як 1 : 2 : 3. Як відносяться його сторони?

516. У трикутнику ABC a = 12 см, b = 5 см. Чи може sin B дорівнювати:

1) 0,25;    2) 0,5;  3) 0,75?

517. Знайдіть сторони а і c трикутника ABC, якщо: b = 5 см, ∠A = 45°, ∠B = 30°.

518. Знайдіть сторони а і с трикутника ABC, якщо 6 = 1 см, ∠A = 100°, ∠C = 50°.

519. Сторона трикутника дорівнює а, а прилеглі до неї кути — і . Знайдіть дві інші сторони трикутника.

520. Знайдіть кути B і C трикутника ABC, якщо:

1) с = 20 см, а = 40 см, ∠A = 30°;

2) с = 30 см, а = 40 см, ∠A = 45°.

521. У паралелограмі ABCD AD = 8 см, BD = 4 см, ∠A = 22°. Знайдіть:

1) ∠BDC;    2) ∠DBC.

522. Діагональ d паралелограма ділить його кут на кути а і р. Знайдіть сторони паралелограма.

523. Обчисліть сторони трикутника ABC, якщо ∠A = 45°, ∠C = 30°, а висота AD дорівнює 3 см.

524. Знайдіть сторони b і c трикутника ABC, якщо: а = 8 см, ∠A: ∠B : ∠C = 4 : 2 : 3.

525. Знайдіть сторони b і с трикутника ABC, якщо а =6 см, ∠A : ∠B : ∠C = 3:5:4.

526. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює а, а кут при основі — а. Знайдіть довжину бісектриси кута при основі, якщо:

1) а = 6 см, а = 30°;

2) а = 7 см, а = 20°.

527. У трикутнику ABC ∠A = 45°, ∠C = 30°. Знайдіть сторони а і с, якщо а - с = 5.

528. У трикутнику ABC ∠A = 45°, ∠C = 30°. Знайдіть сторони а і с, якщо а + с = 4.

529. Що більше, основа чи бічна сторона рівнобедреного трикутника, якщо:

1) один з його кутів — тупий;

2) прилеглий до основи кут менший від 60°;

3) прилеглий до основи кут більший за 60°?

530. У паралелограмі ABCD діагональ BD утворює зі стороною AB більший кут, ніж зі стороною ВС. Доведіть, що ВС > АВ.

531. У трикутнику ABC медіана ВМ утворює зі стороною АВ більший кут, ніж зі стороною ВС. Доведіть, що ВС >АВ.

532. У прямокутному трикутнику ABC з вершини прямого кута C проведено медіану CM. ∠ACM > 45°. Який катет більший: AC чи BC?

533. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює а, а бічна сторона — b. Знайдіть радіус R кола, описаного навколо трикутника, якщо:

1) а = 24 см, b = 13 см;  2) а = 12 см, b = 10 см.

534. Діагональ трапеції, вписаної в коло, дорівнює 4 см. Знайдіть радіус кола, якщо один з кутів трапеції дорівнює:

1)135°;    2)30°.

535. Діагональ трапеції, вписаної в коло, дорівнює 4 см. Знайдіть радіус кола, якщо один з кутів трапеції дорівнює 120°.

536*. У рівнобічній трапеції менша основа дорівнює бічній стороні, більша основа дорівнює 10 см, а кут при основі — 70°. Знайдіть периметр трапеції.

537*. Знайдіть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють а і b (а > b), а прилеглі до основи а кути — а і .

538*. Виведіть формули для обчислення довжин відрізків, на які бісектриси кутів трикутника ABC ділять його протилежні сторони.

539*. Доведіть, що медіана трикутника ділить кут при вершині на частини, синуси яких пропорційні до синусів відповідних кутів при основі.

540*. Скориставшись теоремою синусів, доведіть, що медіани AA₁, BB₁ i CC₁ трикутника ABC точкою O їх перетину діляться у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини.

541*. Через точку K хорди AB кола проведено пряму, яка перетинає в точках C і D дотичні до кола, що проходять через точки A і B (мал. 144). Доведіть, що AC ∙ KD = BD ∙ KC.

542*. У трапеції ABCD з основами AB і CD кут A більший за кут B.

Доведіть, що якщо AB > CD, то BC > AD.

543*. Діагоналі трапеції ABCD (AB || CD) перетинаються в точці O.

Доведіть, що якщо AC > BD, то AO > BO і CO > DO.

544*. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює а, а кут при вершині — а. Знайдіть радіус кола, яке проходить через центр вписаного в цей трикутник кола та кінці основи.

545*. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 1 см і 3 см, а бічна сторона — 2 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції.

546*. Точка D лежить на стороні AC трикутника ABC. Доведіть, що відношення радіусів кіл, описаних навколо трикутників ABD і DBC, не залежить від вибору точки D.

547*. O — точка перетину діагоналей описаного чотирикутника ABCD. Доведіть, що сума радіусів кіл, описаних навколо трикутників AOB і COD, дорівнює сумі радіусів кіл, описаних навколо трикутників BOC і AOD.

Проявіть компетентність

548. Знайдіть відстань від точки А до недоступної точки B, якщо АС = 50 м, ∠CAB = 80° і ∠ACB = 72° (мал. 145).

Мал. 144