Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік

РОЗДІЛ 1 НЕРІВНОСТІ

§ 8. КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

Ви вже знаєте властивості функції у = х ². Це окремий вид квадратичної функції. Тому виявлення властивостей квадратичної функції будемо здійснювати шляхом узагальнення.

1. КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ ТА ЇЇ ОБЛАСТЬ ВИЗНАЧЕННЯ

Квадратичною функцією називається функція, яку можна задати формулою виду у = ax ² + bx + c, де x — незалежна змінна, a, b і c — деякі числа, a 0.

Наприклад, квадратичними функціями є функції: y = x ² + 2, y = x ² - 5x, y = - x ² + 5x - 1, y = 9x ² + 6x - 12.

Вираз ax ² + bx + c має зміст за будь-якого дійсного значення х. Тому область визначення квадратичної функції містить усі дійсні числа.

D(f) = (-∞; +∞).

Які властивості має квадратична функція? Поміркуємо. Для цього скористаємося графіком квадратичної функції.

2. ГРАФІК КВАДРАТИЧНОЇ ФУНКЦІЇ

Щоб побудувати графік квадратичної функції у = ах ² + bх + с, виділимо квадрат двочлена у виразі ах ² + bх + с, що задає квадратичну функцію:

Отже,

Позначивши

одержимо у = а(х - х ₀) ² + у ₀.

Отже, графік квадратичної функції у = а(х - х ₀) ² + у ₀ можна одержати такими перетвореннями параболи у = х ²:

у = х ² у = ах ² у = а(х - х ₀) ² у = а(х - х ₀) ² + у ₀.

Графіком квадратичної функції у = ах ² + bх + с є парабола.

Побудуємо графік функції у = 2х ² + 4х + 5. Для цього спочатку виділимо квадрат двочлена у виразі, що задає дану функцію:

2х ² + 4х + 5 = 2(х + 1) ² + 3.

Отже, графіком функції у = 2(х + 2) ² + 3 є парабола, яку можна побудувати шляхом перетворень параболи у = х ²: у = х ²(мал. 99, а)

у = 2х ² — розтяг у 2 рази уздовж осі ОУ (мал. 99, б)

у = 2(х + 1) ² — переміщення на 1 од. ліворуч уздовж осі ОХ (мал. 99, в)

у = 2(х + 1) ² + 3 — переміщення на 3 од. вгору уздовж осі ОУ (мал. 99, г).

Мал. 99

Узагалі, розміщення графіка квадратичної функції в системі координат щонайперше характеризують:

1) напрям віток (угору чи вниз);

2) розміщення вершини параболи.

За малюнком 99 бачимо:

1) вітки параболи у = 2х ² + 4х + 5 напрямлені вгору, оскільки а = 2 > 0;

2) вершина параболи у = 2х ² + 4х + 5 має координати (-1; 3). Їх легко визначити з рівності у = 2(х + 1) ² + 3, яку одержали, виділивши повний квадрат у виразі, що задає дану функцію.

Зверніть увагу:

1) вітки параболи у = ах ² + bх + с напрямлені вгору (вниз), якщо а > 0 (а < 0);

2) вершина параболи у = ах ² + bх + с має координати:

Знаючи напрям віток параболи та координати її вершини, можна побудувати параболу й по-іншому. Для цього користуються такою схемою.

     Схема побудови графіка квадратичної функції

1. Визначити напрям віток:

✵ якщо а > 0, то вітки напрямлені вгору;

✵ якщо а < 0, то вітки напрямлені вниз.

2. Знайти координати вершини параболи (х ₀; у ₀):

✵ абсциса вершини: х ₀ = - ;

✵ ордината вершини:

або у ₀ = ах2 + bх ₀ + с.

3. Знайти координати точок перетину параболи з осями координат:

✵ з віссю ОХ, тобто (х ₁; 0) і (х ₂; 0). Для цього накладають умову у = 0, тоді ах ² + bх + с = 0, звідки знаходять х ₁ і х ₂ — нулі квадратичної функції;

✵ з віссю ОУ, тобто (0; у). Для цього накладають умову х = 0, тоді одержують у = а · 0 + b · 0 + с, тобто у = с.

4. Знайти координати кількох інших точок параболи для більш точної побудови графіка. Зауважимо, що значення х доцільно обирати близькими до значення х ₀.

5. Позначити одержані точки в системі координат і з’єднати їх плавною лінією.

Задача 1. Побудуйте графік функції:

у = -х ² + 6х - 5.

Розв’язання.

Графіком функції у = -х ² + 6х - 5 є парабола. Для її побудови скористаємося схемою побудови графіка квадратичної функції.

1. Оскільки а = -1 < 0, то вітки параболи напрямлені вниз.

2. Знайдемо координати вершини параболи.

Тоді у ₀ = -З ² + 6 · 3 - 5 = 4. Точка (3; 4) — вершина параболи.

3. Знайдемо точки перетину графіка з осями координат.

Якщо у = 0, то -х ² + 6х - 5 = 0 або х ² - 6х + 5 = 0.

Звідси х ₁ = 1, х ₂ = 5. Отже, (1; 0), (5; 0) — точки перетину з віссю абсцис.

Якщо х = 0, то у = -5. Отже, (0; -5) — точка перетину з віссю ординат.

4. Для більш точної побудови параболи знайдемо ще кілька допоміжних точок.

Оскільки абсциса вершини х ₀ = 3, то знайдемо значення функції для х = 2 і х = 4.

Складемо таблицю 11.

Таблиця 11

5. У системі координат позначимо точки (мал. 100). З’єднаємо їх плавною лінією (мал. 101).

Мал. 100

Мал. 101

3. ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЇ у = ах ² + bх + с.

Виокремимо властивості квадратичної функції (таблиця 12), спираючись на її графік для а < 0 (мал. 102) і для а > 0 (мал. 103).

Мал. 102

Мал. 103

Таблиця 12

Зверніть увагу:

✵ якщо D < 0, то функція у = ах ² + bх + с не має нулів функції, парабола не перетинає вісь абсцис;

✵ якщо D = 0, то функція у = ах ² + bх + с має один нуль функції х = х ₂, парабола дотикається до осі абсцис у точці (х ₁; 0);

✵ якщо D > 0, то функція у = ах ² + bх + с має два нулі функції х ₁ і х ₂, парабола перетинає вісь абсцис у точках (х ₁; 0) і (х ₂; о).

Узагалі, залежно від знака дискримінанта D та коефіцієнта а, маємо різні розміщення параболи у = ах ² + bх + с в системі координат відносно осі абсцис (таблиця 13).

Таблиця 13

Як бачимо з таблиці 13, проміжки знакосталості квадратичної функції у = ах ² + bх + с залежать від кількості нулів функції та коефіцієнта а. У таблиці 14 подано проміжки знакосталості функції у = ах ² + bх + с.

Таблиця 14

Задача 2. Які властивості має квадратична функція

у = -х ² + 6х - 5?

Розв’язання.

За графіком (див. мал. 101) визначимо властивості функції

у = -х ² + 6х - 5.

Область визначення функції D(f) = (-∞; +∞).

Область значень функції Е(f) = ( -∞; 4].

Нулі функції: х ₁ = 1, х ₂ = 5.

Проміжки знакосталості: (1; 5) — проміжок, на якому у > 0; (-∞; 1) (5; +∞) — об’єднання проміжків, на яких у < 0. Функція є зростаючою, якщо х Є (-∞; 3].

Функція є спадною, якщо х [3; +∞).

Найбільше значення функції дорівнює 4, якщо х = 3. Найменшого значення функції не існує.

Задача 3. Побудуйте графік квадратичної функції у = х ² + 2х + 3 та визначте її властивості.

Розв’язання.

Графіком квадратичної функції у = х ² + 2х + 3 є парабола. Для її побудови скористаємося схемою.

1. Оскільки а = 1 > 0, то вітки параболи напрямлені вгору.

2. х ₀ =- = ^, x ₀ = -1. Тоді у ₀ = (-1) ² + 2 · (-1) + 3 = 2.

Точка (-1; 2) — вершина параболи.

3. Якщо у = 0, то х ² + 2х + 3 = 0. D < 0, тому рівняння не має коренів. Отже, парабола не перетинає вісь абсцис. (0; 3) — точка перетину з віссю ординат.

4. Оскільки абсциса вершини х ₀ = -1, то знайдемо значення функції, якщо х = -2, х = 0. Складемо таблицю 15.

Таблиця 15

5. У системі координат позначимо точки та з’єднаємо їх плавною лінією (мал. 104). Визначимо властивості функції у = х ² + 2х + 3.

Область визначення функції: D(f) = (-∞; ∞).

Область значень функції: Е(f) = [2; ∞).

Мал. 104

Нулі функції: немає. у > 0, якщо х (-∞; ∞).

Функція є зростаючою, якщо х [-1; +∞).

Функція є спадною, якщо х (-∞; -1].

Найбільшого значення функції не існує.

Найменше значення функції дорівнює 2, якщо х = -1.

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

У вас могло виникнути запитання: Як побудувати графік функції у = ах ² + b|х| + с?

Ви знаєте, що

Тоді

Для прикладу побудуємо графік функції у = х ² + 4|х| - 5.

Розкривши модуль, одержуємо

Це можна записати по-іншому:

Побудуємо спочатку параболу у = х ² + 4х - 5 (х > 0).

Вітки параболи напрямлені вгору. Вершина має координати х ₀ = -2, y ₀ = -9

Парабола перетинає осі координат у точках (0; -5), (1; 0), (-5; 0). Цю параболу зображено на малюнку 105. Умову х > 0 задовольняють точки тієї частини параболи, яку виділено червоним кольором (мал. 106). Тобто та точка, яка лежить на осі ординат, і ті, які розміщені праворуч від неї.

Мал. 105

Аналогічно міркуючи, будуємо параболу у = х ² - 4х - 5 (х < 0) і беремо ту її частину, яка лежить ліворуч від осі ординат (мал. 107). Остаточний графік функції у = х ² + 4|х| - 5 зображено на малюнку 108.

Мал. 106

Мал. 107

Мал. 108

Так само міркуємо, будуючи графіки функцій у = f(|х|): 1) функцію у = f(|х|) записуємо у вигляді :

2) будуємо графік функції у = f(х) і беремо ту його частину, яка відповідає х ≥ 0;

3) будуємо графік функції у =f(-х) і беремо ту його частину, яка відповідає х < 0.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Яка функція називається квадратичною?

2. Що є графіком квадратичної функції?

3. Яка область визначення функції у = ах ² + bx + с?

4. Як визначити координати вершини параболи?

5. За якої умови вітки параболи напрямлені вгору; вниз?

6. Як визначити область значень квадратичної функції?

7. Як знайти нулі квадратичної функції? Скільки нулів може мати квадратична функція?

8. За яких значень аргументу функція у = ах ² + bх + с є зростаючою; спадною?

9. За яких значень аргументу функція у = ах ² + bх + с набуває додатних значень; від’ємних значень?

Розв'яжіть задачі

292'. Яке з тверджень є правильним:

1) область визначення квадратичної функції — усі додатні числа;

2) область визначення квадратичної функції — усі числа, крім нуля;

3) область визначення квадратичної функції — усі числа;

4) область значень квадратичної функції — усі числа;

5) область значень квадратичної функції — число 0?

293'. Яке з тверджень є правильним:

1) графіком квадратичної функції є пряма;

2) графіком квадратичної функції є парабола;

3) графіком квадратичної функції є або пряма, або парабола?

294'. Дано параболу у = ах ² + bх + с. Яке з тверджень є правильним:

1) вітки параболи напрямлені вгору, якщо а > 0;

2) вітки параболи напрямлені вниз, якщо с < 0;

3) вітки параболи напрямлені вниз, якщо D < 0?

295'. Дано квадратичну функцію у = ах ² + bх + с. Яке з тверджень є правильним:

1) квадратична функція має три нулі, якщо а < 0;

2) квадратична функція має два нулі за будь-яких коефіцієнтів а, b і с;

3) квадратична функція не має нулів, якщо b ² - 4ас < 0;

4) квадратична функція може мати не більш ніж два нулі?

296°. Чи є квадратичною дана функція:

297°. Чи належить графіку функції у = 3х ² + 4х - 12 точка:

1) А(1; 7);

2) Б(-1; -19);

3) С(0; -8);

4) D(0; -12);

5) М(2; 8);

6)АГ(-3;3)?

298°. Чи належить графіку функції у = х ² - 5х + 7 точка:

1) К(1; 3);

2) L(-2; 13);

3) М(-1; 13);

4) N(0; 7)?

299°. Для функції у = х ² + 6х знайдіть:

1) значення функції, якщо х = 0; -1; 3; -4;

2) значення аргументу, якщо у = 0; 7; 16.

300°. Для функції у = -х ² + 2 знайдіть:

1) значення функції, якщо х = 0; -1; 3; -4;

2) значення аргументу, якщо у = 0; -2; -11.

301°. У якої з парабол вітки напрямлені вгору:

1) у = 2х ² - х - 6;

2) у = -0,1х ² - 6;

3) у = -х ²+ 12х;

4) у = -х - х ²;

5) у = -2 + х ² - х;

6) y = 2 + 10х ²?

302°. У якої з парабол вітки напрямлені вниз:

1) у = -х ² + х - 15;

2) у = 2х ² - х - 6;

3) y = -5х + х ² - 7;

4) у = х ² +16?

303°. Визначте нулі квадратичної функції:

304°. Знайдіть координати точок перетину з осями координат параболи:

305°. Знайдіть координати точок перетину з осями координат параболи:

306°. Знайдіть координати вершини параболи:

1) у = х ² - 4х;

2) у = х ² + 5х;

3) у = -х ² + 3;

4) у = 10х ² - 5;

5) у = х ² + 12х - 3;

6) у = х ² + 20х + 30;

7) у = -6х ² - 18х +1;

8) у = Зх ² - 24х + 5.

307°. Знайдіть координати вершини параболи:

1) у = х ² - 12х;

2) у = -х ² + 5;

3) у = 8х ² - 2;

4) у = х ² - 14х - 90;

5) у = х ² + 2х + 1;

6) у = -4х ² - 16х + 7.

308°. На малюнках 109, 110 зображено параболи. Визначте:

1) координати вершини параболи;

2) координати точок перетину параболи з осями координат;

3) проміжки знакосталості.

Мал. 109

Мал. 110

309°. На малюнках 111, 112 зображено параболи. Визначте:

1) координати вершини параболи;

2) координати точок перетину параболи з осями координат;

3) проміжки знакосталості.

Мал. 111

Мал. 112

310°. Побудуйте графік функції:

1) у = х ² - 6х;

2) y = x ²-4x;

3) у = х ² - 4х + 8;

4) у = Зх ² + 6х - 9;

5) у = -6х ² - 12х;

6) у = х ² - 2х + 1.

311°. Побудуйте графік функції:

1) у = х ² - 8х;

2) у = х ² - 6х + 8;

3) y = -х ² + 2х;

4) у = х ² - 4х + 4.

312°. На малюнках 113, 114 зображено графіки квадратичних функцій. За малюнком визначте:

1) нулі функції; 2) проміжки знакосталості; 3) проміжок зростання; 4) проміжок спадання; 5) найбільше й найменше значення функції.

Мал. 113

Мал. 114

313°. На малюнках 115, 116 зображено графіки квадратичних функцій. За малюнком визначте:1) нулі функції; 2) проміжки знакосталості; 3) проміжок зростання; 4) проміжок спадання; 5) найбільше й найменше значення функції.

Мал. 115

Мал. 116

314. Для функції у = -х ² + 3х + 5 знайдіть:

1) значення функції, якщо х = 0; -1; 0,5; 0,2;

2) значення аргументу, якщо у = 7; 5; 5,81.

315. Для функції у = 8х ² + 2х - 1 знайдіть:

1) значення функції, якщо х = 0; -0,5; ;

2) значення аргументу, якщо у = 5; 9.

316. Знайдіть коефіцієнти n і m у рівності, що задає квадратичну функцію у = х ² + mх + n, якщо:

1) х = 0, х = -1 — нулі функції;

2) х = -2, х = 2 — нулі функції;

3) х = 2, х = -3 — нулі функції;

4) х = -0,5, х = -4 — нулі функції.

317. Знайдіть коефіцієнти р, д в рівності, що задає квадратичну функцію у = х ² + рх + q, якщо:

1) х = 0, х = 9 — нулі функції;

2) х = -5, х = 5 — нулі функції;

3) х = 4, х = -3 — нулі функції.

318. Побудуйте графік квадратичної функції:

1) у = х ² - 2х - 3;

2) у =2х ² - 8х + 6.

Визначте:

1) область визначення функції;

2) область значень функції;

3) нулі функції;

4) проміжки знакосталості;

5) найменше значення функції;

6) проміжок зростання функції;

7) проміжок спадання функції.

319. Побудуйте графік квадратичної функції:

1) у = -х ² + 8х - 12;

2) у = -2х ² - 10х - 8.

Визначте:

1) область визначення функції;

2) область значень функції;

3) нулі функції;

4) проміжки знакосталості;

5) найбільше значення функції;

6) проміжок зростання функції;

7) проміжок спадання функції.

320. Побудуйте графік квадратичної функції:

а) у = х ² - 4х + 6;

б) у = -х ² + 6х - 5.

Визначте:

1) область визначення функції;

2) область значень функції;

3) нулі функції;

4) проміжки знакосталості функції;

5) проміжок спадання функції;

6) проміжок зростання функції;

7) найбільше значення функції;

8) найменше значення функції.

321. За яких значень параметра а парабола:

1) у = х ² + х + а не перетинає вісь абсцис;

2) у = х ² + ах + 16 дотикається до осі абсцис;

3) у = -ах ² + х + 5 проходить через точку (-1;2,5);

4) у = 5х ² - 2х + а + 4 перетинає вісь ординат у точці (0; 4)?

322. За яких значень параметра т парабола:

1) у = х ² + х + т не перетинає вісь абсцис;

2) у = -х ² + 2х + т дотикається до осі абсцис;

3) у = тх ² + х + 4 проходить через точку (1; 9);

4) у = х ² + 3х + т перетинає вісь ординат у точці (0; 6)?

323. На малюнках 117-120 зображено графіки функцій у = ах ² + bх + с. Для кожної з них визначте знаки коефіцієнта а і дискримінанта D.

Мал. 117

Мал. 118

Мал. 119

Мал. 120

324. Побудуйте схематично графіки функцій у = ах ² + bх + с, за умови, що:

1) а = 2, D = 18;

2) а = -3, D = 0;

3) а = 7, D = -8;

4) а = 5, D = 0;

5) а = 7, D = 49;

6) а = -8, D = -1;

7) а = 0,5, D = 36;

8) а = -7,3, D = 100.

325. Побудуйте схематично графіки функцій у = ах ² + bх + с, за умови, що:

1) а = 5, D = 5;

2) а = -2, D = -16;

3) а = 10, D = -4;

4) а = -1, D = 0.

326. Дано функцію у = -х ² + 8х - 12. Знайдіть значеннях х, за якого функція набуває:

1) найбільшого значення на проміжку [-1; 6];

2) найменшого значення на проміжку [3; 6].

327. Дано функцію у = 2х ² - 8х + 6. Знайдіть значеннях х, за якого функція набуває:

1) найбільшого значення на проміжку [-1; 3];

2) найменшого значення на проміжку [-1; 1].

328. Порівняйте з нулем коефіцієнти а, b і с функції у = ах ² + bх + с за малюнками 121, 122.

Мал. 121

Мал. 122

329. Порівняйте з нулем коефіцієнти а, b і с функції у = ах ² + bх + с за малюнками 123, 124.

Мал. 123

Мал. 124

330. В одній системі координат побудуйте графіки функцій:

1) у = 2х ² - 4х - 1 і х = -1;

2) у = х ² - 2х + 8 і у = -х ² + 8х - 4;

3) у = 2х ² - х і у = -х ² + х;

4) у = х ² + 4 і у = х ² - 6х + 4.

Скориставшись графіками функцій, знайдіть координати точок їх перетину.

331. В одній системі координат побудуйте графіки функцій:

1) у = х ² - 4х + 4 і х = 2;

2) у = 2х ² + 4х - 5 і у = х;

3) у = х ² -4х і у = -х ² + 4х.

Скориставшись графіками функцій, знайдіть координати точок їх перетину.

332. Знайдіть точки параболи у = х ² + 7х - 7, у яких абсциса дорівнює ординаті.

333. Знайдіть точки параболи у = -х ² + 4х, у яких абсциса вдвічі менша від ординати.

334. Знайдіть точки параболи у = х ² + 5х - 3, у яких абсциса втричі менша від ординати.

335. Скориставшись малюнком 125, порівняйте значення функції у = -х ² + 3х - 4 для таких значень аргументу:

1) х = 3 і х = 5;

2) х = -1,5 і х = 5;

3) х = -2,7 і х = 0,9;

4) х = -2 і х = 3.

Мал. 125

Мал. 126

336. Скориставшись малюнком 126, порівняйте значення функції у = х ² + 5х - 2 для таких значень аргументу:

1) х = 0 і х = 1,5;

2) х = -2 і х = -5;

3) х = -6 і х = 1.

337. Побудуйте графік функції у = -х ² + 6х - 5. Скориставшись графіком, порівняйте значення функції для таких значень аргументу:

1) х = 1 і х = 0,5;

2) х = -1,5 і х = 1,5;

3) х = -2 і х = 3;

4) х = 2 і х = 4.

338. Визначте коефіцієнти а, b і с функції у = ах ² + bх + с, якщо:

1) вітки параболи напрямлені вгору, вершина має координати (2; 5) і парабола перетинає вісь ординат у точці (0; 10);

2) вершина має координати (0; -1) і парабола перетинає вісь абсцис у точках (1; 0) і (-1; 0).

339. Визначте коефіцієнти b і с функції у = х ² + bх + с, якщо вершина параболи має координати:

1) (4; 0);

2) (0; -5);

3) (2; 2);

4) (-1; 3).

340. Визначте коефіцієнти b i c функції у = х ² + bх + с, якщо вершина параболи має координати:

1) (5; 0);

2) (4; -3).

341*. Скориставшись малюнками 127-130, знайдіть значення коефіцієнтів a, b і c функції y = ax ²+ bx + c.

Мал. 127

Мал. 128

Мал. 129

Мал. 130

342*. Для кожного значення параметра а знайдіть кількість розв’язків рівняння:

1) х ² - 4 = а;

2) -х ² + 8х = а;

3) х ² + 4х - 5 = а;

4) -4х ² + 12х - 3 = а.

343*. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

344*. Побудуйте графік функції:

345*. Побудуйте графік функції:

346*. Побудуйте графік функції:

1) у = х ²+ 6 |х| - 7;

2) у = 2х ² - 4|х| + 2;

3) у = х ² + 6|х + 2| - 12;

4) у = х ² + |х- 2|.

ПРОЯВІТЬ КОМПЕТЕНТНІСТЬ

347. На міліметровому папері побудуйте параболу у = х ² - 6х + 9. За одиницю масштабу прийміть 1 см. Знайдіть наближені значення функції для таких значень аргументу: -3,5; -2,7; -1,1; 1,2; 2,3; 3,6.

348. У кімнаті вирішили зробити арку у формі параболи (мал. 131). Для цього спочатку потрібно побудувати її на папері. Складіть

рівняння квадратичної функції, графіком якої є ця парабола. Побудуйте параболу (за одиничний відрізок, що відповідає 1 м, візьміть

1 см).

Мал. 131

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

349. Розв’яжіть нерівність:

350. Катет прямокутного трикутника дорівнює 8 см, а його гіпотенуза на 25 % більша за катет. Знайдіть площу трикутника.

351. Ціну товару спочатку підвищили на 50 %, а потім знизили на 50 %. Як змінилася ціна товару?