Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 1 МИТРОПОЛЬСЬКИЙ Юрій Олексійович (1916-2008)

§ 4. Розв'язування нерівностей з однією змінною

Як відомо з попередніх класів, рівності зі змінними бувають двох видів: тотожності й рівняння. Тотожності доводять, а рівняння розв’язують. Аналогічно розрізняють два види нерівностей зі змінними: тотожні нерівності й нерівності з невідомими. Тотожні нерівності доводять (див. § 7), а нерівності з невідомими — розв’язують.

Розглянемо нерівність 5х - 2 > 8 зі змінною х. Якщо замість х підставимо число 1, то дістанемо неправильну числову нерівність 5 - 2 > 8. Говорять, що значення х - 1 дану нерівність не задовольняє. Якщо замість х підставимо число 3, то дістанемо правильну числову нерівність 5 ∙ 3 - 2 > 8. Значення х - 3 дану нерівність задовольняє, число З — розв’язок нерівності 5х - 2 > 8.

Розв’язком нерівності з однією змінною називають значення цієї змінної, яке задовольняє дану нерівність.

Розв’язати нерівність — означає знайти всі її розв’язки або показати, що їх немає.

Розв’язують нерівність, замінюючи її іншими нерівностями, простішими і рівносильними даній.

Дві нерівності називають рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі розв’язки, тобто якщо кожний розв’язок першої нерівності задовольняє другу, а кожний розв’язок другої нерівності задовольняє першу. Нерівності, які не мають розв’язків, також вважають рівносильними.

Наприклад, нерівність 5х - 2 > 8 рівносильна кожній з нерівностей: 5Х > 2 + 8, 5х > 10, х > 2.

Нерівності зі змінними мають багато властивостей, аналогічних до властивостей рівнянь.

1. Якщо з однієї частини нерівності перенесемо в іншу доданок з протилежним знаком, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

2. Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на одне й те саме додатне число, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

3. Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

Ці властивості нерівностей зі змінними випливають з теорем, доведених у § 2. Користуючись цими властивостями, нерівності зі змінними можна розв’язувати подібно до рівнянь.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність 5х < 2х + 15.

Розв’язання. Перенесемо доданок 2х у ліву частину нерівності:

5х - 2х < 15.

Зведемо подібні члени:

3х < 15.

Поділимо обидві частини нерівності на 3:

х < 5.

Відповідь. Нерівність задовольняє кожне дійсне число, менше від 5. Приклад 2. Розв’яжіть нерівність 7(2 - х) ≤ 3х + 44.

Розв’язання.

Відповідь. Нерівність задовольняє кожне число, не менше ніж -3.

З а у в а ж е н н я. Множини розв’язків нерівностей зручно записувати у вигляді проміжків. Множину всіх дійсних чисел, менших від 5, називають проміжком від мінус нескінченності до 5 і позначають (-оо;5). На малюнку 14 цей проміжок позначено штриховкою, значення 5, що не входить до множини розв’язків, — світлим кружком.

Мал. 14

Множину всіх дійсних чисел, не менших від -3, називають проміжком від -3 до нескінченності, включаючи -3. Позначають його [-3; ∞), наочно зображають, як показано на малюнку 15; значення -3, що входить до множини розв’язків, позначено темним кружком.

Мал. 15

Отже, відповіді до розв’язаних нерівностей можна записати і за допомогою проміжків: (-∞;5), [-3; ∞).

Як ви вже знаєте, з усіх рівнянь найпростішими є лінійні рівняння виду ax = b. Найпростішими нерівностями з однією змінною також є лінійні.

Якщо а і b — дані числа, а x — невідома змінна, то кожна з нерівностей

називається лінійною нерівністю з однією змінною х.

Приклади лінійних нерівностей:

2х < 3, -7х > 14, 0,5x ≤ 1, 9x ≥ 0.

Лінійні нерівності часто записують і так:

ax - b < 0, ax - b > 0, ax - b ≤ 0, ax - b ≥ 0.

Якщо число a відмінне від нуля, то кожна з нерівностей (*) має множину розв’язків, якій відповідає нескінченний числовий промінь (або промінь без вершини).

Залежність розв’язків лінійної нерівності від значення коефіцієнтів при змінній і знака нерівності наведено в таблиці.

Якщо a = 0, то кожна з нерівностей (*) або не має розв’язків (наприклад, 0x > 5), або множиною її розв’язків є множина всіх дійсних чисел (наприклад, 0x < 5).

Зверніть увагу! Зображати числові проміжки можна й іншим способом — дугами — як зображено на малюнках 16-17.

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

До розв’язування лінійних нерівностей зводиться розв’язування найпростіших нерівностей з модулями.

Розв’яжемо нерівності:

а) |х| < 5;

б) |х| > 3;

в) |х| ≤ -2;

г) |х| > -0,5.

а) Нерівність задовольняють усі значення х, модулі яких менші за 5. Такими є всі додатні числа, менші за 5, всі від’ємні числа, більші за -5, і число 0. Таку множину чисел можна записати за допомогою подвійної нерівності -5 < х < 5. На числовій прямій цій множині чисел відповідає проміжок, показаний на малюнку 16, а. Числа -5 і 5 не належать цьому проміжку, вони не задовольняють дану нерівність, а нерівність |х| ≤ 5 — задовольняють (мал. 16, б). Цей проміжок позначають [-5; 5].

б) Нерівність |x| > 3 задовольняють усі числа, більші за 3, і всі числа, менші за -3 (мал. 17).

Мал. 16

Мал. 17

в) Модуль кожного числа — число невід’ємне, воно не може бути менше, ніж від’ємне число -2, або дорівнювати -2. Тому дана нерівність розв’язків не має.

г) Кожне невід’ємне число більше за -0,5. Тому дану нерівність задовольняє кожне дійсне число.

Перевірте себе

1. Наведіть приклади нерівностей зі змінними.

2. Що називають розв’язком нерівності зі змінною?

3. Скільки розв’язків може мати нерівність з однією змінною?

4. Як записують множини розв’язків нерівності зі змінною?

Виконаємо разом

1. Розв’яжіть нерівність 2х + 3 < 2(x + 3).

• Розв’язання.

2х + 3 < 2х + 6,

2х - 2х < 6 - 3,

0х < 3.

Нерівність 0х < 3 правильна при кожному значенні х.

Відповідь. ( -∞; +∞).

2. Розв’яжіть нерівність 6z + 7 ≥ 2(3z + 4).

• Розв’язання. 6z + 7 ≥ 6z + 8,

6z - 6z ≥ 8 - 7,

0z ≥ 1.

Нерівність 0z ≥ 1 не задовольняє жодне значення z. Відповідь. Розв’язків немає.

Розв’яжіть нерівність

• Розв’язання. Помножимо обидві частини нерівності на 6 (найменше спільне кратне чисел 6, 3 і 2):

x - 5 + 2(x - 8) > 3 ∙ 5x - 6,

x - 5 + 2x - 16 > 15x - 6,

x + 2x - 15x > -6 + 5 + 16,

- 12x > 15,

Відповідь. (-∞; -1,25).

4. Розв’яжіть подвійну нерівність: -2 ≤ 10x - 3 ≤ 5.

Розв’язання. -2 + 3 ≤ 10x - 3 + 3 ≤ 5 + 3,

1 ≤ 10x ≤ 8,

0,1 ≤ x ≤ 0,8.

Відповідь. [0,1; 0,8].

Виконайте усно

126. Які з чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5 задовольняють нерівність:

а) 2x - 5 > 0;

б) 4x + 1 ≤ 13;

в) 3x + 4 ≥ 5?

127. Розв’яжіть нерівності:

а) 2x < 6;

б) -3x > 9;

в) 0,5z > 2;

ґ) x + 3 < x;

г) 3y < 10;

д) x -3 ≤ x.

128. Скільки розв’язків має нерівність:

129. Відкрита задача. Складіть нерівності, розв’язки яких зображено на малюнку 18.

Мал. 18

Рівень А

130. Зобразіть на координатній прямій у вигляді проміжків множини чисел, що задовольняють нерівність:

а) x < 4;

б) x > -1;

в) x ≤ 0,5.

Розв’яжіть нерівність (131—134).

131.

а) x + 2 > 5; в) 2 + x ≥ 3; ґ) 4у < 36;

б) x - 4 > 0; г) 3x > 15; д) 5z ≥ 35.

132.

а) 3x > 15; в) 2x - 5 > 0; ґ) x - 1,5 ≤ 0;

б) x + 7 > 0; г) -4x ≥ 20; д) 10 + 5x < 0.

133.

а) -x < 5; в) -x < 0; ґ) -3x > -3;

б) -z ≥ -4; г) -5x ≤ 15; д) 5z ≤ -1.

134.

а) 3x + 2 < 5; в) 9x + 5 > 5; ґ) 6z + 1 > 2z;

б) 7x - 4 ≥ 8; г) 5x - 4 < 3x; д) y + 5 < 2у.

135. Чи рівносильні нерівності:

а) 2x + 3 > x + 8 і x > 5;

б) 2x - 3 ≥ 2 і 2x - 4 ≥ 1;

в) 3 - 5x < x і 6x > 3;

г) 3x - 1 < 6 - 2x і 1 - 3x < 2x - 6?

Розв’яжіть нерівність (136—139).

136.

а) 8x - 3 > 5x + 6; ґ) 3 + x > 2x - 3;

б) 7y - 13 < 5y - 9; д) 5 - 2y < y + 8;

в) 2x - 3 ≤ 3x - 8; e) 3 - 5x > 4 - 5x;

г) x - 15 ≥ 4x + 3; є) 8 + 6z < 13 + 6z.

137.

а) 6x + 21 ≤ 5x + 8; ґ) x - 15 < 6x - 10;

б) 3x + 7 < 7x + 3; д) 11x - 3 ≤ 8x - 15;

в) 7x - 5 > 3x + 7; e) 18 - 7x ≥ 5x + 30;

г) 2x - 9 ≥ 9x + 5; є) 17 - x > 10 - 6x.

138.

а) 3(x + 1) > x + 5; г) 3(x + 2) - 4 > x + 2;

б) 2(x - 1) + 4 < x + 7; ґ) 2(x + 3) ≥ 5x - 9;

в) 4(x - 2) < x + 1; д) 4(x + 3) - 3x ≤ x - 5.

139.

а) - 5(x - 1) < 3 - 7x; г) - 3(2 + x) + 5x ≤ 2x + 1;

б) 2(3 - x) - x < 7 + 3x; ґ) 8 — 3 (x - 2) > 4x;

в) 3(2 - x) > x - 6; д) 5y < 12 - 4 (y + 5).

140. За якої умови набуває від’ємних значень вираз:

141. За якої умови набуває невід’ємних значень вираз:

а) 2,5 + 0,5x;

б) 3,9 + 1,5x;

в) 1,2 - 3x?

142. За якої умови значення даного виразу більше за 10:

143. За якої умови значення виразу 3х - 7 більше за відповідне значення виразу:

а) 2х + 1;

б) 5х - 2;

в) 3х - 5?

Розв’яжіть нерівність (144—147).

144.

145.

146.

147.

148. Відкрита задача. Напишіть три різні нерівності, множини розв’язків яких відповідали б проміжку, зображеному на малюнку 19. Складіть аналогічну задачу та розв’яжіть її.

Мал. 19

149. Яке найбільше натуральне значення n задовольняє нерівність:

а) 18 - 3(n - 15) > 11n;

б) 0,3(n - 2) < 1,2 - 0,5(n + 2)?

150. Яке найменше ціле значення m задовольняє нерівність:

а) 3m + 8(2m - 1) > 5m + 35;

б) m² + 4m < (m + 3)²?

Рівень Б

151. Для яких значень х значення функції

а) додатні;

б) невід’ємні;

в) більші від 5;

г) не менші від - ?

152. Для яких значень х значення функції у = 5,2 - 2,5х:

а) від’ємні;

б) додатні;

в) не більші від 7,7?

153. При яких значеннях змінної x має зміст вираз:

Розв’яжіть нерівність (154—161).

154.

155.

156.

157.

158.

159.

«Геній — це один відсоток натхнення і дев’яносто дев’ять відсотків поту". Т. А. Едісон

160.

161.

162. На малюнку 20 зображено графіки функцій

Дивлячись на них, укажіть множину розв’язків нерівності

Мал. 20

163. Розв’яжіть графічно нерівність:

164. Відкрита задача. Напишіть нерівність зі змінною х:

а) яка не має жодного розв’язку;

б) яку задовольняє кожне дійсне число;

в) яку задовольняє тільки одне число 5;

г) яку задовольняють усі числа з проміжку (-2; 3).

165. Туристи мають повернутися на базу не пізніше ніж через 3 год. На яку відстань вони можуть відплисти за течією річки на моторному човні, якщо його власна швидкість 18 км/год, а швидкість течії — 4 км/год?

166*. Розв’яжіть нерівність:

167. Розв’яжіть подвійну нерівність:

168. Розв’яжіть подвійну нерівність і вкажіть її найбільший цілий розв’язок:

Розв’яжіть нерівність (169—170).

169*.

а) |x| < 5;

б) |х - 3| ≤ 7;

в) |2х — 3| < 1.

170*.

а) |3х| ≤ 1;

б) |х + 7| < 3;

в) |1 - 5х| ≤ 2.

171*. Для кожного значення параметра а розв’яжіть нерівність.

Вправи для повторення

172. 1) Юрій Олексійович Митропольський очолював Інститут математики НАН України 30 років з 1958 по 1988 рік. Його наступником став відомий український математик, учень Ю. О. Митропольського, прізвище якого ви дізнаєтеся, якщо правильно встановите відповідність між цифрами першої таблиці і буквами другої. У другому рядку першої таблиці містяться абсциси, а у першому рядку другої таблиці — відповідні ординати точок, що належать графіку функції.

2) Використовуючи отримані точки і формулу, побудуйте графік заданої функції.

3) Складіть аналогічну задачу про вчителя Ю. О. Митропольського.

173. Виконайте дії:

174. Побудуйте графік рівняння:

а) ху + 6 = 0;

б) у² - х = 0.

175. Раніше 3 кг м’яса коштували стільки, скільки тепер коштують 2 кг. На скільки відсотків подорожчало м’ясо?

Скарбничка досягнень

ü Можу навести приклади:

— нерівностей зі змінними х² <1 х + у ≥ 0;

— лінійних нерівностей з однією змінною 2х < 3 -х ≥ 5.

ü Розрізняю тотожні нерівності і нерівності з невідомими.

ü Розумію і вмію формулювати властивості нерівностей зі змінною.

ü Умію:

— розв’язувати лінійні нерівності з однією змінною;

— записувати розв’язки нерівностей.

Використовуємо набуті компетентності

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:

— Як позначають множини А, В, С,…, N, Z, Q… .

— Що таке підмножина

Множина

K — частина множини М. N С Z С R.

K с M K — підмножина М.

— На основі яких властивостей розв’язують нерівності (с. 32).

— Як зображають розв’язки лінійної нерівності (с. 33).

— Що означають записи а ≤ b і а ≥ b?

а ≤ b

а < b або а = b

a ≥ b

а > b або а = b