Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 4 Основи комбінаторики, теорії ймовірностей та статистики

На практиці люди постійно мають справу з різними випадковими подіями або їх очікуванням. Щоразу виникає запитання, чи відбудеться та чи інша подія і за яких умов. У сучасному інформаційному суспільстві важливо вміти швидко отримувати потрібні відомості з різних джерел і правильно їх аналізувати. Під час розв’язування багатьох практичних задач виникає проблема вибору деякої сукупності об’єктів із заданих за певними їх властивостями, підрахування можливих комбінацій тощо. Ці та інші питання розглядаються в окремих математичних галузях — теорії ймовірностей, статистиці та комбінаториці.

Вивчаючи цей розділ, ви маєте можливість ознайомитися з основними поняттями комбінаторики, теорії ймовірностей та статистики.

У цьому розділі розглянемо такі теми:

Використовуємо набуті компетентності

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:

— Що таке множина і підмножина.

— Що таке цифра і число.

— Що таке сума чисел а і с.

— Що таке добуток чисел а і с.

§ 19 Основні правила комбінаторики

Комбінаторика — розділ математики, присвячений розв’язуванню задач вибору та розташування елементів деякої скінченної множини відповідно до заданих правил.

Розглянемо два основних правила, за допомогою яких розв’язується багато задач із комбінаторики.

Приклад 1. У місті N є два університети — політехнічний і економічний. Абітурієнту подобаються три факультети в політехнічному університеті і два — в економічному. Скільки можливостей має абітурієнт для вступу в університет?

Розв’язання. Позначимо буквою А множину факультетів, які обрав абітурієнт в політехнічному університеті, а буквою В — в економічному. Тоді А = {m, n, k}, В = {p, s}. Оскільки ці множини не мають спільних елементів, то загалом абітурієнт має 3 + 2 = 5 можливостей вступати до університету.

Описану ситуацію можна узагальнити у вигляді твердження, яке називається правилом суми.

Якщо елемент деякої множини А можна вибрати m способами, а елемент множини В — n способами, то елемент із множини А або ж із множини В можна вибрати m + nспособами.

Правило суми поширюється і на більшу кількість множин.

Приклад 2. Плануючи літній відпочинок, родина визначилася з місцями його проведення: в Одесі — 1, в Скадовську — 3, в Яремчі — 2, у Затоці — 2. Скільки можливостей вибору літнього відпочинку має родина?

Розв’язання. Оскільки всі бази відпочинку різні, то для розв’язання задачі досить знайти суму елементів усіх множин, про які йдеться: 1 + 3 + 2 + 2 = 8. Отже, родина може обирати відпочинок з 8 можливих. Розглянемо задачі, що стосуються іншого правила.

Приклад 3. Від пункту А до пункту В ведуть три стежки, а від В до С — дві. Скількома маршрутами можна пройти від пункту А до пункту С? Розв’язання. Щоб пройти від пункту А до пункту В, треба вибрати одну з трьох стежок: 1, 2 або 3 {мал. 134). Після того слід вибрати одну з двох інших стежок: 4 чи 5.

Усього від пункту А до пункту С ведуть 6 маршрутів, бо 3 ∙ 2 = 6. Усі ці маршрути можна позначити за допомогою пар: (1; 4), (1; 5), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5).

Узагальнимо описану ситуацію.

Мал. 134

Якщо перший компонент пари можна вибрати mn способами, а другий — способами, то таку пару можна вибрати mn способами.

Це — правило добутку, його часто називають основним правилом комбінаторики. Зверніть увагу: ідеться про впорядковані пари, складені з різних компонентів.

Правило добутку поширюється і на впорядковані трійки, четвірки та будь-які інші впорядковані скінченні множини. Зокрема, якщо перший компонент упорядкованої трійки можна вибрати m способами, другий — n способами, третій — k способами, то таку впорядковану трійку можна вибрати m ∙ n ∙ k способами. Наприклад, якщо їдальня на обід приготувала

2 перші страви — борщ (б) і суп (с), 3 другі — котлети (к), вареники (в), голубці (г) і 2 десертні — тістечка (т) і морозиво (м), то всього із трьох страв їдальня може запропонувати 12 різних наборів, оскільки 2 ∙ 3 ∙ 2 = 12.

Описаній ситуації відповідає діаграма, зображена на малюнку 135. Такі діаграми називають деревами.

Мал. 135

Приклад 4. Скільки різних поїздів можна скласти з 6 вагонів, якщо кожний з вагонів можна поставити на будь-якому місці?

Розв’язання. Першим можна поставити будь-який із 6 вагонів. Маємо 6 виборів. Другий вагон можна вибрати з решти 5 вагонів. Тому за правилом множення два перших вагони можна вибрати 6 ∙ 5 способами. Третій вагон можна вибрати з 4 вагонів, що залишились. Тому три перших вагони можна вибрати 6 ∙ 5 ∙ 4 способами. Продовжуючи подібні міркування, приходимо до відповіді: усього можна скласти 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 різних поїздів.

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Зверніть увагу на розв’язання останньої задачі. Воно звелося до обчислення добутку всіх натуральних чисел від 1 до 6. У комбінаториці подібні добутки обчислюють часто.

Добуток усіх натуральних чисел від 1 до n називають n-факторіалом і позначають п!

Наприклад:

5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120, 7! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 5040.

Домовились вважати, що 1! = 1 і 0! = 1.

Перевірте себе

1. Які задачі називають комбінаторними?

2. Що таке комбінаторика?

3. Сформулюйте правило суми.

4. Сформулюйте основне правило комбінаторики.

5. Наведіть приклад діаграми-дерева.

6. Що таке факторіал? Як його позначають?

Виконаємо разом

1. У розіграші на першість міста з баскетболу беруть участь команди з 12 шкіл. Скількома способами можуть бути розподілені перше і друге місця?

• Розв’язання. Перше місце може одержати одна з 12 команд. Після того, як визначено володаря першого місця, друге місце може отримати одна з 11 команд. Отже, загальна кількість способів, якими можна розподілити перше і друге місця, дорівнює 12 ∙ 11 = 132. Відповідь. 132.

2. Скільки чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо жодна цифра не повторюється?

• Розв’язання. Першою цифрою числа може бути одна з 5 цифр: 1, 2, 3, 4, 5. Якщо перша цифра обрана, то друга може бути обрана

5-ма способами, третя — 4-ма, четверта — 3-ма. Згідно з правилом множення загальне число способів дорівнює: 5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 300. Відповідь. 300.

Виконайте усно

791. Є дві цифри: 1 і 9. Скількома способами з цих цифр можна скласти: а) одноцифрове число; б) двоцифрове число, щоб цифри у числі не

повторювались; в) двоцифрове число, якщо цифри у числі можуть повторюватися?

792. У класі 11 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати одного учня в шкільний комітет самоврядування?

793. У класі 11 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати двох учнів у шкільний комітет самоврядування?

794. У класі 11 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати одну дівчину і одного хлопця в шкільний комітет самоврядування?

Рівень А

795. У магазині є три види печива і десять видів цукерок. Сергій хоче купити сестрі печиво чи цукерки. Скількома способами він може це зробити?

796. Для завершення формування експедиції в Антарктиду додатково розглядалися заяви 10 претендентів на посаду лікаря, 5 претендентів на посаду повара і 3 претенденти на посаду техніка. Жоден кандидат не претендував одночасно на дві чи більше посад. Скількома способами можна заповнити одне вільне місце в експедиції?

797. Скількома способами можна посадити чотирьох дітей на лавці?

798. На вершину гори ведуть 4 стежки. Скількома маршрутами турист може піднятись на гору і спуститися з неї, обираючи для спуску і підйому різні стежки?

799. Оленка має 2 спіднички і 3 вишиті блузки. Скільки різних наборів вбрання можна вибрати для виступу в хорі.

800. Їдальня приготувала на сніданок 3 другі страви (А, В, С) і два напої (М, K). Скільки різних наборів із таких страв і напоїв можна вибрати на сніданок? Складіть відповідну діаграму-дерево.

801. Скількома способами 5 осіб можуть утворити чергу до каси?

802. Скільки різних речень можна скласти зі слів «ми», «любимо», «читати»? А зі слів «ми», «дуже», «любимо», «читати»?

803. Скількома способами дівчинка може нанизати на нитку 8 різних намистин?

804. Скільки трицифрових чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4, 5?

805. Відкрита задача. Складіть задачу за малюнком 136 і розв’яжіть її.

806. Вісім друзів вирішили провести турнір з шашок так, щоб кожний зіграв з кожним одну партію. Скільки партій буде зіграно?

807. Їдальня приготувала на обід 3 перші страви (А, В, С), 3 другі (а, б, с) і 3 треті (х, р, у). Скільки різних наборів із трьох страв можна вибрати на обід? Складіть відповідну діаграму-дерево.

808. Створюють емблему школи, елементом якої має бути многокутник певного кольору. Скільки таких емблем можна створити, якщо розглядати три фігури (трикутник, квадрат, шестикутник) і 4 кольори (синій, зелений, жовтий, червоний)?

Мал. 136

Мал. 137

809. Скільки різних «кортежів» може створити хлопчик з чотирьох іграшкових автомобілів: білого, жовтого, синього і червоного? Складіть відповідну діаграму-дерево.

810. Відкрита задача. Складіть задачу за малюнком 137 і розв’яжіть її.

811. До моря веде 7 доріг. Скількома способами відпочиваючий може дістатися моря і повернутися назад? Розгляньте випадки, коли рух до моря і від моря відбувається:

а) однією дорогою;

б) різними шляхами;

в) одним із двох попередніх способів.

812. На пошті є три види конвертів, два види марок до них і чотири види поздоровчих листівок, що вкладаються в ці конверти. Скільки існує різних способів оформлення одного привітання?

813. У середу за розкладом в 11-А класі є 6 різних уроків, серед яких — алгебра і геометрія. Скількома способами можна скласти розклад так, щоб алгебра і геометрія стояли поруч?

814. У вівторок за розкладом в 11-Б класі є 7 різних уроків, серед яких — фізика і астрономія. Скількома способами можна скласти розклад так, щоб:

а) фізика і астрономія стояли поруч;

б) фізика і астрономія не стояли поруч?

815. Скільки:

а) парних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо цифри не можуть повторюватися.

б) непарних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо цифри не можуть повторюватися?

816. У піцерії готують велику і маленьку піцу з товстою і тонкою основою. Скільки різних видів піци можна замовити в цій піцерії, якщо для тонкої піци використовують три види наповнення, а для товстої — чотири?

817. Обчисліть:

а) 10! : 5!;

б) 13! : 10!;

в) 20! : 25!;

г) 100! : 97!.

818. Спростіть вираз:

а) n! : (n - 1);

б) (n - 1)! : n!;

в) (n + 1)! : (n - 1)!.

Вправи для повторення

819. Виручка книжкового магазину становила в І кварталі 700,46 тис. грн. Відомо, що у січні виручка була на 49,8 тис. грн. більше, ніж у лютому, а у березні — на 178,92 тис. грн. менше, ніж у лютому. Який дохід був у магазина в березні?

820. Розв’яжіть рівняння:

а) х² = 5;

б) х⁴ - 5х² + 4 = 0.

821. Спростіть вираз:

Скарбничка досягнень

ü Знаю основні правила комбінаторики.

ü Розрізняю правило суми і правило добутку.

ü Умію використовувати комбінаторне правило суми.

ü Умію використовувати комбінаторне правило добутку.

Використовуємо набуті компетентності

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:

— що таке відношення чисел m і n

— властивість правильного дробу