Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 2 БОГОЛЮБОВ Микола Миколайович (1909-1992)

Всесвітньо відомий український математик і фізик-теоретик, засновник наукових шкіл нелінійної механіки (Київ), статистичної фізики та квантової теорії поля. Академік НАН України та багатьох іноземних академій наук. Лауреат міжнародної Премії Денні Хайнемана в галузі математичної фізики.

«А чи не існує кілька Боголюбових, кожнен із яких — найбільший спеціаліст у своїй галузі?»

Н. Вінер

Дитячі і юнацькі роки М. М. Боголюбова — це зразок того, як молода людина, наперекір обставинам, завдяки наполегливості й працелюбству може досягти значних успіхів й отримати

всесвітнє визнання.

Квадратична функція

Функція — зручна математична модель для дослідження багатьох процесів. Вивчення різноманітних явищ і процесів за допомогою функцій — один з основних методів сучасної науки. Функція, яку можна задати формулою y - ax² + bx + c, — квадратична. Її графік — парабола. Такі функції часто використовують в різних галузях науки. Вони пов’язані з квадратними рівняннями і нерівностями.

У цьому розділі розглянемо такі теми:

Навчальний проект № 2 «ФУНКЦІЇ НАВКОЛО НАС»

Використовуємо набуті компетентності

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:

— Що таке функція, область визначення і область значень функції.

— Способи задання функції:

формулою

графіком

таблицею

словесно тощо

— Що таке графік функції і як його будують.

— Види функцій:

лінійна обернена пропорційність квадратична інші

§ 8 Функції

Функція — одне з найважливіших понять математики і практики. Якщо добре поміркувати, то можна зрозуміти, що всі ми живемо у світі функцій — змін, залежностей і відповідностей. З плином часу день змінює ніч, весна — зиму. Під цей ритм підлаштовується все живе, зокрема і світ людини. Найбільш поширений графік роботи, розклад занять, робота розважальних центрів і навіть програма радіо і телебачення складається залежно від часу доби і пори року.

Можна навести чимало прикладів залежностей і відповідностей між змінними у різних галузях знань:

• геометрія — формула S = 4пR² виражає залежність площі поверхні кулі (S) від її радіуса (R);

• фізика формула встановлює відповідність між довжиною маятника (l) і його періодом коливання (T). Отже, T — функція від l (тут ≈ 3,14, g □ 9,8 м/с² — константи);

• економіка — формула T_R - p ∙ Q задає залежність загального доходу (T_R), який отримує підприємство, від ціни (p) проданого товару і обсягу продажу (Q).

Нагадаємо основні відомості про функції.

Якщо кожному значенню змінної x з деякої множини D відповідає єдине значення змінної y, то таку відповідність називають функцією.

При цьому x називають незалежною змінною, або аргументом, у — залежною змінною, або функцією, а множину D — областю визначення даної функції. Множину всіх значень у, яких може набувати функція, називають її областю значень і позначають буквою E.

Графіком функції називають множину всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції.

Задають функції найчастіше у вигляді формул, таблиць або графіків. Наприклад, формула у - x задає функцію, яка виражає відповідність між числами та їх квадратами. Якщо область визначення цієї функції — множина цілих чисел з проміжку [-3; 3], то її можна задати у вигляді таблиці:

Графік цієї функції — сім точок (мал. 46). Її область визначення — множина D - {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, а область значень — множина E = {0, 1, 4, 9}.

Якщо область визначення функції у = х² — проміжок [-2; 2], то її графіком є частина параболи, зображена на малюнку 47, а областю значень — проміжок [0; 4].

Графіком функції у = х , заданої на множині всіх дійсних чисел R, є вся парабола (мал. 48). Область визначення цієї функції — множина дійсних чисел R, а область значень — проміжок [0;∞].

Нагадаємо ще кілька прикладів функцій.

y = kx — пряма пропорційність (k ≠ 0). Її графік — пряма, що проходить через початок координат. Область визначення цієї функції — множина R, область значень — теж множина R.

Мал. 46

Мал. 47

Мал. 48

Мал. 49

Мал. 50

Мал. 51

Наприклад, графік функції у = 2x зображено на малюнку 49.

y = kx + b — лінійна функція. Її графік — пряма, не паралельна осі у. Область визначення — множина R, область значень — R, якщо k ≠ 0. Якщо k = 0, то область значень — одне число b.

Приклади: у = x + 2 (мал. 50), у = 3,5 (мал. 51).

— обернена пропорційність (k ≠ 0). Її графік — гіпербола.

Якщо k > 0, то вітки цієї гіперболи розміщені в І і III чвертях координатної площини, якщо k < 0, — у II і IV чвертях. Область визначення

Функції — множина R без числа 0, область значень — ця сама множина ( -∞;0) (0; ∞).

Приклади:

(мал. 52, а),

(мал. 52, б).

Графік функції y = x3 зображено на малюнку 53. Її область визначення і множина значень — множина R.

Графік функції — одна вітка параболи (мал. 54). Її область визначення [0;оо) і область значень — [0; ∞) .

Якщо змінна у залежить від х, то записують у = f(x) (читають: ігрек дорівнює еф від ікс). Символом f(a) позначають значення функції у = f(x), якщо х = а. Нехай, наприклад, функцію задано формулою у = 3x² - 5. Можна записати і так: f(x) = 3x² - 5. У цьому випадку f(0) = 3 ∙ 0² - 5 = -5; f(-2) = 3 ∙ (-2)² - 5 = 7.

Зауваження. Якщо у = f(x), то часто кажуть, що у — функція від x, тобто функцією називають змінну у. Однак здебільшого під функцією розуміють не одну залежну змінну, а відповідність між значеннями двох змінних. До того ж — не будь-яку відповідність, а однозначну, при якій кожному значенню змінної x відповідає єдине значення змінної у.

Мал. 52

Мал. 53

Мал. 54

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Деякі функції на окремих частинах області визначення задаються різними формулами. Такою є, наприклад, функція

Значення цієї функції при від’ємних значеннях аргументу знаходять, користуючись формулою f(x) = x², а при інших — за формулою f(x) = x. Її графік — на малюнку 55.

Існують також інші функції, які позначають новими для вас символами.

Цілою частиною дійсного числа x називають таке найбільше ціле число [х], яке не більше від х. Графік функції у = [х] — на малюнку 56.

Мал. 55

Мал. 56

Дробовою частиною дійсного числа x називають різницю між даним числом і його цілою частиною: {х} = x - [х]. Графік функції y = {x} — на малюнку 57.

Мал. 57

Перевірте себе

1. Сформулюйте означення функції.

2. Що таке аргумент функції? Наведіть приклад.

3. Як можна задати функцію?

4. Що таке область визначення і область значень функції?

5. Які функції називають лінійними? Які їх властивості?

6. Назвіть властивості оберненої пропорційності.

7. Що таке графік функції?

Виконаємо разом

1. Функцію задано формулою f(x) - х³ + 1. Знайдіть:

• Розв’язання. f(-3) = (-3)³ + 1 = -27 + 1 = -26, f(0) = 0³ + 1 = 0 + 1 = 1,

Відповідь.

2. У яких точках графік функції у - х² - 3х + 2 перетинає:

а) вісь у;

б) вісь х?

• Розв’язання. а) Якщо графік перетинає вісь у у деякій точці, то абсциса цієї точки дорівнює нулю, а координати точки задовольняють рівняння, що задає функцію.

Маємо: х = 0; у = 0² - 3 ∙ 0 + 2 = 2.

Отже, графік функції перетинає вісь у у точці з координатами (0; 2).

б) Якщо графік перетинає вісь х у деякій точці, то ордината цієї точки дорівнює нулю, а координати точки задовольняють рівняння, що задає функцію.

Маємо: у = 0; х² - 3х + 2 = 0; х₁ = 1; х₂ = 2.

Отже, графік функції перетинає вісь х у точках з координатами (1; 0) і (2; 0).

Відповідь. а) (0; 2); б) (1; 0) і (2; 0).

Виконайте усно

286. Провідміняйте слово: а) функція; б) аргумент; в) графік.

287. Задайте формулою функцію, яка виражає відповідність між числами та:

а) їхніми кубами;

б) протилежними до них числами;

в) оберненими до них числами;

г) їхніми модулями.

288. Яким є графік функції, заданої формулою:

289. Чи правильно, що:

290. Графік якої з функцій проходить через початок координат:

а) у = 2(х - 3);

б) у = 2х²;

в) у = х(х - 2)?

291. Знайдіть область визначення функції:

Рівень А

292. Функцію задано формулою на області визначення D - {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}. Задайте її таблично і графічно.

293. Побудуйте графік функції на проміжку [-4; 4]. Знайдіть її область значень.

294. Функцію задано на множині R. Знайдіть її область значень.

Чи належить графіку цієї функції точка A (-100; 5000)? 295. Функцію задано у вигляді таблиці:

Задайте її формулою. Вкажіть її область визначення і область значення

296. Функцію задано формулою f(x) - x² + 10. Обчисліть: f(2), 3f(2), 2f(3), 0,5f(10).

297. Функцію задано формулою f(x) = x³ - 5. Знайдіть:

298. Функцію задано формулою f(x) = x² - x. Обчисліть:

а) f(-2) + f(-1);

б) f(0) + f(1);

в) f(2) - f(30).

299. f(x) = x² - x + 1. Знайдіть:

а) f(0) + f(1) + f(2) + f(3);

б) f(10) - f(-9) + f(8) - f(-7).

300. На малюнку 55 зображено графік функції у = f(x).

Знайдіть:

а) область визначення і область значень даної функції;

б) f(-5), f(-1), f(0), f(4), f(5);

в) для яких значень аргументу f(x) = 4, f(x) = 3;

г) координати точок, у яких графік функції перетинає осі координат;

ґ) для яких x значення f(x) найбільше, найменше.

Мал. 58

Знайдіть область визначення функції (301—302).

301.

302.

303. Побудуйте графік функції:

а) у = 3x - 2;

б) y = 0,5x - 1;

в) y = -3x;

г) у = 7 - 2x;

ґ) у = 5;

д) у = 3 - х.

304. Побудуйте графік функції, заданої формулою:

а) f(x) = 2 - 3х;

б) f(x) = -1;

в) f(x) = 3 - 2x;

г) f(x) = 0,5x.

305. Знайдіть область значень функції:

а) f(x) = 7;

б) f(x) = 2x;

в) у - x².

306. Чи належить графіку функції точка A (3; 4)? Точка B (-4; 3)?

307. Чи проходить графік функції у = x(x - 3) через точки A(2; -2); B(-1; 4); С(1,5; -2,25)?

308. Яка з точок A(-2; -6); B(1,5; 8); С(-3; 4); D(2; 6); E(3; 4) належить графіку функції:

309. У яких точках перетинає вісь x і вісь у графік функції:

а) у - 2,5x;

б) у - 3 - 2x;

в) у - 2(x - 1)?

310. Температуру за шкалою Цельсія, Фаренгейта і Кельвіна позначимо відповідно t_C, t_F, t_K. Формули перерахунку мають вигляд:

Для довільних 10 значень температури за Цельсієм знайдіть відповідні значення температури за Фаренгейтом і Кельвіном. Дані занесіть до таблиці. Зобразіть графічно одержані залежності.

Рівень Б

311. Функцію задано формулою f(x) = x². Чи правильно, що для кожного числа а виконується рівність f(-a) = f(a)?

312. Функцію задано формулою f(x) = x³. Чи для кожного значення її аргументу x правильна рівність f(-x) = -f(x)?

313. Знайдіть f(-2); f(-1); f(0); f(1); f(2), якщо функцію задано формулою:

314. Функцію задано формулою на множині натуральних чисел першого десятка. Задайте її у вигляді таблиці.

315. Функцію задано формулою на області визначення D = {-4; -2,75; -1; 1,25; 4; 11}. Задайте її у вигляді таблиці і графіка.

316. Не будуючи графіка рівняння 9x - 2y = 14, знайдіть його точку, ордината якої дорівнює абсцисі.

317. Не будуючи графіка функції y = x² - 2, знайдіть його точку, абсциса та ордината якої — протилежні числа.

318. Кожному натуральному числу відповідає протилежне йому число. Чи є така відповідність функцією? Якщо так, то задайте її формулою та графіком.

319. Кожному цілому числу відповідає рівне йому число. Чи є така відповідність функцією? Якщо так, то що є її графіком?

320. Функцію y = f(x) задано графіком (мал. 59). Для яких значень аргументу:

Мал. 59

321. У яких точках перетинає вісь x і вісь у графік функції:

Побудуйте в одній системі координат графіки функцій (322—324).

322. y = х², y = х² + 3 і y = х² - 2.

323.

324. y = |х|, у = |х| +11 і у = |х| - 2.

325. При якому значенні m графік функції проходить через точку P (5; 5)? Чи проходить цей самий графік через точку Q(-4; 4)?

326. Відомо, що точка А (3; 1) належить графіку кожної функції у = f(x). Установіть відповідність між функціями f(x) (1-4) і точками (А-Д), через які проходять графіки цих функцій.

327. Побудуйте графік функції:

А. М. Колмогоров

328*. Знайдіть область визначення функції:

«Математика — це те, за допомогою чого люди керують природою і собою».

А. М. Колмогоров

329*. Задача А. М. Колмогорова. Яку додаткову умову потрібно накласти на значення х у формулі f(x) = 1, щоб одержати визначення

Функції

330*. Побудуйте графік функції:

331.

332*. Функція попиту на товар: Q_D = 9 - p. Функція пропозиції товару: Q_S = 2p - 6. Тут QD — обсяг попиту і Q_S — обсяг пропозиції (мільйон штук за рік), p — ціна (грошові одиниці). Визначте рівноважну ціну (попит дорівнює пропозиції) і обсяг продажу. Як вплине на значення рівноважної ціни товару зменшення попиту на 20 % ?

Вправи для повторення

333. Порівняйте значення виразів:

334. За один місяць роботи службовцю Н нараховують зарплату в розмірі 5430 грн. Із усіх нарахувань утримують податок на доходи фізичних осіб, який становить 18 %, та інші відрахування у розмірі 2,5 %. Скільки грошей службовець Н отримує за місяць? Яку суму складають його відрахування за рік?

335. Розв’яжіть нерівність:

Скарбничка досягнень

ü Знаю, як позначають функції.

ü Можу навести приклади вивчених функцій:

лінійної у - 2х + 3;

прямої пропорційності у = -0,5 х;

оберненої пропорційності

інші у = x².

ü Умію обчислювати значення функції в точці.

ü Умію будувати графіки функцій і знаю назву графіків:

ü Хочу навчитися детальніше характеризувати функцію за її графіком.

ВИКОРИСТОВУЄМО НАБУТІ КОМПЕТЕНТНОСТІ

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:

— Які характеристики функції можна визначати за її графіком:

область визначення, область значень, додатні значення, від’ємні значення тощо.

— Види функцій, їх графіки та основні характеристики: