Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 2. КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

Моделюючи реальні процеси за допомогою функцій, доволі часто приходять до так званої квадратичної функції, частковим випадком якої є вже вивчена функція у = х².

У цьому параграфі ми з’ясуємо: що таке квадратична функція, які її властивості та графік; що таке квадратна нерівність, як розв’язувати квадратні нерівності, виходячи із властивостей квадратичної функції.

8. Функція. Область визначення та область значень функції

У сьомому класі ми почали вивчати одне з найважливіших понять математики — поняття функції. Нагадаємо й уточнимо основні відомості, які стосуються цього поняття.

1. Функції та способи їх завдання. Графік функції. Нагадаємо, що залежність змінної у від змінної х називають функцією, якщо кожному значенню змінної х із деякої множини відповідає одне певне значення змінної у. За таких умов змінну х називають незалежною змінною, або аргументом, а змінну у — залежною змінною, або функцією (від аргументу х).

Якщо змінна у є функцією від аргументу х, то записують: у = f(x) (читають: «у дорівнює f від x»). Значення функції для х = х₀ позначають через f(x₀). Так, якщо функцію задано формулою у = 2х - 3, то можна записати: f(x) = 2х - 3. Тоді, наприклад, f(1) = 2 ∙ 1 - 3 = -1, f(2,5) = 2 ∙ 2,5 - 3 = 2.

Щоб задати функцію, достатньо вказати, як для кожного значення аргументу знайти відповідне значення функції. Крім формул, ми задавали функції за допомогою таблиць, графіків.

Якщо функцію у = f(x) задано таблицею

то в першому рядку вказано значення аргументу, а в другому — відповідні значення функції. Тоді, наприклад, f(1) = 3, f(4) = 9.

Пригадаймо: графіком функції називають множину всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції. Точка M(x₀; у₀) належатиме графіку функції у = f(x) тоді й лише тоді, коли значення функції для х = x₀ дорівнює у₀: f(x₀) = у₀(див. рис. 23).

Задати функцію графічно означає задати її графік.

Функцію можна задати й словесним описом способу знаходження її значень за відомими значеннями аргументу. Наприклад, кожному натуральному числу поставимо у відповідність квадрат цього числа. Цим ми словесно задали функцію f для якої f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9 і т. д.

Рис. 23

2. Область визначення та область значень функції. Множину всіх значень, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції; множину всіх значень, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції.

Область визначення функції y = f(x) позначають D(f) або D(y), а область значень — E(f) або E(y).

Так, областю визначення функції у = f(x), графік якої зображено на рисунку 23, є проміжок [-4; 6], тобто D(f) = [-4; 6]. Найменше значення цієї функції дорівнює -1,5, а найбільше — 4, до того ж, функція набуває усіх значень від -1,5 до 4 включно. Тому областю її значень є проміжок [-1,5; 4], тобто E(f) = [-1,5; 4].

Для функції, яку ми задали таблицею, маємо: D(y) = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, E(y) = {3; 6; 9}.

Нехай функцію задано формулою так: у = 2х, де -1 ≤ х ≤ 3. Уточнення -1 ≤ х ≤ 3 означає, що областю визначення функції є проміжок [-1; 3], тобто D(y) = [-1; 3].

Якщо функцію задано формулою у = f(x) і не вказано, яких значень може набувати аргумент, то вважають, що областю визначення такої функції є множина всіх тих дійсних чисел, для яких вираз f(x) має зміст. Розглянемо, наприклад, функцію

Вираз має зміст для всіх значень х, крім х = 3. Тому областю визначення цієї функції є множина всіх дійсних чисел, крім х = 3, тобто D(y) = (-∞; 3) ∪ (3; +∞).

Області визначення та області значень функцій, які ми вивчали у 7 і 8 класах, а також їхні графіки наведено в таблицях.

3. Задания функції кількома формулами. Існують функції, які на окремих частинах області визначення задають різними формулами. Наприклад, якщо функцію у = f(x) задано у вигляді

то це означає, що для х ≤ -1 значення функції потрібно знаходити за формулою f(x) = 2х + 3, для -1 < х ≤ 2 — за формулою f(x) = х², а для х > 2 — за формулою f(x) = 4.

Так, f(-2) = 2 ∙ (-2) + 3 = -1; f(1) = 1² = 1; f(5) = 4.

Щоб побудувати графік такої функції, достатньо на проміжку (-∞; -1] побудувати графік функції у = 2х + 3, на проміжку (-1; 2] — графік функції у = х² і на проміжку (2; +∞) — графік функції у = 4 (див. рис. 24).

Рис. 24

Рис. 25

Описаним способом можна задати і функцію у = |х|:

Графік функції у = |х| зображено на рисунку 25.

Приклади розв’язання вправ

Вправа 1. Знайти область визначення функції

• Область визначення функції утворюють ті значення х, для яких вираз 4 - 2х набуває невід’ємних значень, а вираз 2х — додатних значень. Отже, потрібно розв’язати систему нерівностей

Матимемо:

Областю визначення функції є проміжок (0; 2].

Відповідь. (0; 2]. •

Вправа 2. Побудувати графік функції у = |х - 1| + |х + 1|.

• Знайдемо значення х, для яких значення виразів х - 1 та х + 1, які стоять під знаком модуля, дорівнюють нулю:

х - 1 = 0; х = 1; х + 1 = 0; х = -1.

Значення х = -1 та х = 1 розбивають координатну пряму на три проміжки (див. рис. 26).

Рис. 26

Враховуючи означення модуля числа, матимемо:

1) якщо х < -1, то х - 1 < 0, х + 1 < 0, тому |х - 1| = -(х - 1), |х + 1| = -(х + 1) та

у = -(х - 1) - (х + 1) = -2х;

2) якщо -1 ≤ х < 1, то х - 1 < 0, х + 1 ≥ 0, тому

У = -(х - 1) + (х + 1) = 2;

3) якщо х ≥ 1, то х - 1 ≥ 0, х + 1 > 0, тому

у = (х - 1) + (х + 1) = 2х.

Щоб одержати графік заданої функції, будуємо на проміжку (-∞; -1) графік функції у = -2х, на проміжку [-1; 1) — графік функції у = 2 і на проміжку [1; +∞) — графік функції у = 2х. Шуканий графік зображено на рисунку 27. •

Рис. 27

Усно

307. Функцію задано формулою f(x) = .

а) Знайдіть значення функції, якщо х = 1; х = -3; х = 10.

б) Укажіть область визначення функції.

308. На рисунку 28 зображено графік функції у = f(x).

а) Знайдіть: f(-3); f(0); f(1); f(2).

б) Укажіть область визначення та область значень функції.

Рис. 28

309. Функцію у = f(x) задано таблицею:

а) Знайдіть: f(-1); f(2).

б) Для яких значень аргументу значення функції дорівнює -1?

в) Укажіть область визначення та область значень функції.

310. Функція у = f(x) кожному дійсному числу х ставить у відповідність протилежне йому число.

а) Знайдіть: f(1); f(0); f(-5).

б) Укажіть область визначення функції та задайте функцію формулою.

311. Укажіть область визначення функції, заданої формулою:

Рівень А

312. Функцію задано формулою f(x) = 2x² - 2. Знайдіть: f(0); f(-3); f(4).

313. Функцію задано формулою f(x) = 5 - x². Знайдіть: f(-1); f(1); f(10).

314. Знайдіть значення функції якщо x = -1; x = 5.

315. Знайдіть значення аргументу, для яких значення функції у = -2х + 6 дорівнює: 4; -8.

316. Для яких значень аргументу значення функції у = 3х - 2 дорівнює: 7; -5?

317. Функцію задано формулою f(x) = 6x - 1. Знайдіть значення х, для яких:

а) f(x) = 11;

б) f(x) > -19.

318. Функцію задано формулою f(x) = 3x + 2. Знайдіть значення х, для яких:

а) f(x) = 17;

б) f(x) < -4.

Знайдіть область визначення функції:

319.

320.

Чи проходить графік функції через дану точку?

321.

а) у = 4х - 5; A(3; 6);

б) у = х² - 3х; B(2; -2).

322.

а) у = 2х + 8; М(4; 16);

б) у = 4х - х²; N(2; 2).

Побудуйте графік функції:

323. а) у = -3х;

б) у = 2х - 3;

в) у = 0,5х + 2;

г) у = - х +1.

324.

а) у = 2х;

б) у = -х + 3;

в) у = 2х + 1;

г) у = - x-2

Знайдіть абсциси точок перетину графіків функцій, не будуючи самих графіків:

325.

а) у = 4х - 1 та у = -х + 9;

б) у = 2 - х та у = х².

326.

а) у = 5х + 2 та у = 2х - 7;

б) у = х² та у = 5х - 4.

327. Знайдіть координати точки перетину графіка функції у = -3х + 9 з віссю абсцис; віссю ординат.

328. Знайдіть координати точки перетину графіка функції у = 2х + 16 з віссю абсцис; віссю ординат.

Рівень Б

Знайдіть область визначення функції:

329.

330.

331. Для яких значень аргументу значення функції у = х² + 6х - 2 дорівнює:

а) 5;

б) -11;

в) -15?

332. Для яких значень аргументу значення функції у = х² - 2х + 5 дорівнює:

а) 8;

б) 4;

в) -1?

333. Чи належить число 5 області значень функції у = 3х² - 2х + 6?

334. Пряма у = kх + 2 проходить через точку М(-1; -2). Чи проходить вона через точку N(2; 10)?

335. Пряма у = 2х + b проходить через точку А(2; 3). Чи проходить вона через точку В(-2; -3)?

336. Побудуйте графіки функцій у = - та у = 4 - 2х. Знайдіть координати точок перетину цих графіків.

337. Побудуйте графіки функцій у = та у = х - 3. Знайдіть координати точок перетину цих графіків.

338. Побудуйте графік функції

Укажіть область визначення та область значень функції.

339. Побудуйте графік функції

Укажіть область визначення та область значень функції.

340. Воду деякий час нагрівали. Залежність її температури t (у °С) від часу (у хвилинах) задано так:

Знайдіть:

t(5), t(9), t(10), t(15), початкову та кінцеву температури води. Протягом скількох хвилин вода кипіла?

341. Тіло рухалося прямолінійно. Залежність пройденого ним шляху s (у метрах) від часу t (у секундах) задано так:

Знайдіть: 5(1); 5(2); s(3,5); s(4); 5(6). З якою швидкістю рухалося тіло протягом перших двох секунд; між другою і четвертою секундами руху?

Рівень В

342. Знайдіть область визначення функції:

343. Побудуйте графік функції й укажіть область її визначення та область значень:

Побудуйте графік функції:

344.

345.

346. Дано функцію

а) Побудуйте графік функції.

б) Розв’яжіть рівняння f(x) = 2.

347.

а) Побудуйте графік функції y = |x - 4| + |х + 2|.

б) Знайдіть усі значення а, для яких рівняння |х - 4 + | х + 2| = а має два корені; не має коренів. Чи існують значення а, для яких рівняння має лише один корінь?

Вправи для повторення

348. Розв’яжіть рівняння:

349. Відомо, що a > b, до того ж а та b — додатні числа. Доведіть, що:

350. За 300 г цукерок і 500 г печива заплатили 38 грн. Скільки коштує 1 кг цукерок і скільки 1 кг печива, якщо 3 кг цукерок дорожчі, ніж 5 кг печива на 40 грн?

351*.Один з коренів рівняння х³ + 2х² - 9х + а = 0 дорівнює -2. Знайдіть решту коренів цього рівняння.

Поміркуйте

352. На дошці записано числа 1, 2, 3, 4, …, 999, 1000. Двоє гравців по черзі витирають по одному числу. Гра закінчується, коли на дошці залишаються два числа. Якщо їх сума ділиться на 3, то перемагає перший гравець, якщо ні — другий. Хто з гравців переможе за правильної гри?