Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 4. ОСНОВИ КОМБІНАТОРИКИ, ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ І СТАТИСТИКИ

23. Випадкові події. Імовірність випадкової події

1. Випадкові події. У житті доволі часто доводиться мати справу з явищами, результати яких передбачити неможливо. Наприклад, ми підкидаємо монету; завчасно не можна сказати, як вона впаде: догори гербом чи цифрою. Виймаючи навмання кульку з лототрону, завчасно не можна сказати, яке число буде на ній написано. Підійшовши до зупинки тролейбуса, заздалегідь не можна передбачити, скільки хвилин доведеться чекати потрібного тролейбуса. Наведені у прикладах явища називають випадковими.

Є випадкові явища, усі можливі результати яких можна передбачити. Так, після підкидання монети обов’язково відбудеться одна із двох можливих подій: «випаде герб», «випаде число». Заздалегідь невідомо, яка з цих подій відбудеться, тому їх називають випадковими подіями.

Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування (або спостереження). Якщо з партії деталей вибирають навмання 5 деталей для контролю якості, то вибір деталей — випробування, встановлення факту, що вибрана деталь є бракованою (небракованою) — подія.

Події позначатимемо великими буквами латинського алфавіту А, В, С і т. д. Розрізнятимемо елементарні та складні події. Розглянемо приклад.

Підкидають гральний кубик. На його верхній грані може випасти число 1, 2, 3, 4, 5 або 6. Отже, може відбутися одна із шести подій:

A1: випаде число 1;

А₂: випаде число 2;

А₃: випаде число 3;

А₄: випаде число 4;

А₅: випаде число 5;

А₆: випаде число 6.

Ці події мають такі властивості:

1) унаслідок кожного випробовування одна з цих подій обов’язково відбудеться;

2) жодні дві з них не можуть відбутися разом;

3) події є рівноможливими (серед них жодна не має переваг у появі перед іншими).

Події, які мають такі три властивості, називають елементарними подіями, або випадками.

Можна говорити про наслідки підкидання грального кубика, які не є елементарними подіями. Наприклад, поява парного числа, поява числа, меншого від 4, поява одного із чисел 1, 2 або 3 тощо. Такі події називають складними. Кожну складну подію можна розкласти на елементарні. Нехай А — згадана вище складна подія «випаде парне число». Подію А можна розкласти на елементарні події А₂, А₄, А₆ («випаде число 2», «випаде число 4», «випаде число 6»). Кажуть, що події А сприяють 3 елементарні події А₂, А₄, А₆ або 3 випадки А₂, А₄, А₆.

Вірогідною називають подію, яка внаслідок випробування обов’язково має відбутися, а неможливою — подію, яка не може відбутися.

Наприклад, після підкидання грального кубика хоча б одне з чисел 1, 2, 3, 4, 5 або 6 обов’язково випаде, а число 7 випасти не може. Тому подія «випаде одне із чисел 1, 2, 3, 4, 5 або 6» є вірогідною, а подія «випаде число 7» — неможливою.

2. Імовірність випадкової події. Нехай у кошику є 40 яблук, з них 25 червоних і 15 зелених. Навмання беруть з кошика одне яблуко. Позначимо буквою А подію «вийняте яблуко — червоне», а буквою В подію «вийняте яблуко — зелене». Червоних яблук більше, ніж зелених. Тому має більше можливостей («шансів») відбутися подія А. Можливості здійснення подій А і В характеризують певними числами, які визначають так.

У кошику є 40 яблук, тому всіх випадків узяти одне яблуко є 40. Події А сприяють 25 випадків — якщо вийняли одне із 25 червоних яблук, а події В — 15 випадків. Можливість настання події А характеризують числом а події В — числом Ці числа називають імовірностями по дій А і В. Пишуть: P(A) = , P( B) = (Р — перша буква латинського слова probabilities, що означає ймовірність).

Означення

Імовірністю події А називають відношення числа рівно- можливих випадків, які сприяють події А, до числа всіх можливих випадків.

Отже,

де n — загальна кількість рівноможливих випадків, m — число випадків, які сприяють події А .

Якщо подія А є вірогідною, то їй сприяють усі n можливих випадків.

Для такої події m = n і P(A) = = 1.

Якщо подія А є неможливою, то m = 0 і P(A) = = 0.

Якщо подія А випадкова, тобто така, яка може або відбутися, або не відбутися, то її ймовірність задовольняє нерівність 0 < P(A) < 1.

3. Частота випадкової події. Ми знаємо, що після підкидання монети обов’язково відбудеться одна із двох подій: «випаде герб», «випаде число».

Тому ймовірність кожної з цих подій дорівнює = 0,5.

Багато дослідників проводили серії випробувань з підкиданням монети. Виявилося, що за багаторазового підкидання монети відношення кількості випадань герба до кількості всіх підкидань наближено дорівнює ймовірності події «випаде герб» — числу 0,5. Для кожної серії випробувань указане відношення називають частотою події «випаде герб».

Узагалі, частотою випадкової події називають відношення кількості появ цієї події до кількості випробувань (спостережень).

Наприклад, якщо в місті серед 1000 новонароджених за рік виявилося 514 хлопчиків, то частота події «народився хлопчик» дорівнює

Приклади розв’язання вправ

Вправа 1. Яка ймовірність того, що після підкидання грального кубика випаде число, кратне 2?

• Нехай подія А — випаде число, кратне 2. Після підкидання грального кубика може випасти будь-яке із шести чисел 1, 2, 3, 4, 5 або 6, тому n = 6. Події А сприяють 3 випадки — якщо випаде число 2, 4 або 6, тому m = 3. Отже, P(A) =

Відповідь.

Вправа 2. У партії з 1000 деталей є 600 деталей першого сорту, 370 — другого і 30 бракованих деталей. Яка ймовірність того, що навмання вибрана деталь буде не бракованою?

• Нехай подія А — вибрана деталь не бракована. У партії є 1000 деталей, тому n = 1000. Не бракованих деталей є 600 + 370 = 970, тому m = 970.

Отже,

Відповідь. 0,97. •

Вправа 3. У шухляді лежать 5 зошитів, з них 3 — у клітинку і 2 — в лінійку. Учень бере навмання два зошити. Яка ймовірність того, що серед них буде хоча б один зошит у лінійку?

• Нехай подія А — серед вибраних зошитів буде хоча б один зошит у лінійку. Позначимо зошити в клітинку: к₁ к₂, к₃; зошити у лінійку: л₁, л₂. Після виймання двох зошитів можливі такі випадки:

Усіх пар зошитів, а, значить, усіх можливих випадків, є 10, тому n = 10. Події А сприяють 7 випадків (к₁, л₁; к₁, л₂; к₂, л₁; к₂, л₂; к₃, л₁; к₃, л₂; л₁, л₂), тому m = 7. Отже, P(A) = = 0,7.

Відповідь. 0,7. •

Усно

976. Біатлоніст робить 5 пострілів по 5 мішенях. За кожного пострілу він може влучити в мішень, а може й не влучити. Яка з поданих подій є випадковою; неможливою:

а) буде влучено в 4 мішені;

б) не буде влучено в жодну мішень;

в) буде влучено в 6 мішеней?

977. В урні є 5 білих і 5 чорних куль. Білі кулі мають номери від 1 до 5, а чорні — від 6 до 10. З урни навмання виймають одну кулю. Розглянемо події:

а) вийнята куля матиме номер 3;

б) вийнята куля матиме номер 7;

в) вийнята куля буде білою;

г) номер вийнятої кулі буде кратний 4.

Які з даних подій є елементарними; складними? Укажіть усі елементарні події цього випробування. Які елементарні події (випадки) сприяють кожній з даних складних подій?

978. Із п’яти чисел 2, 3, 5, 10, 15 навмання вибирають одне число. Яка ймовірність того, що вибране число виявиться:

а) числом 3;

б) числом 15;

в) парним;

г) непарним;

д) одноцифровим;

е) двоцифровим?

Рівень А

979. Для лотереї випущено 1000 білетів, з яких 400 є виграшними. Яка ймовірність того, що перший придбаний білет виявиться виграшним?

980. З урни, у якій є 5 білих і 10 червоних куль, навмання виймають одну кулю. Знайдіть імовірність того, що вийнята куля виявиться білою.

981. У кошику лежать 3 білі гриби, 7 сироїжок і 8 маслюків. Яка ймовірність того, що навмання вийнятий з кошика гриб буде сироїжкою?

982. Яка ймовірність того, що після підкидання грального кубика випаде:

а) число 4;

б) число 8;

в) число, відмінне від 4.

983. У гаманці є 6 монет по 5 к. і 2 монети по 50 к. Знайдіть імовірність того, що навмання вийнята монета матиме вартість:

а) 50 к.;

б) 5 к.;

в) 10 к.

984. У ящику лежать 50 лампочок, з них 2 браковані. Забрали 20 не бракованих лампочок. Яка ймовірність того, що після цього навмання взята лампочка буде бракованою?

985. У вазі лежать 12 шоколадних цукерок і 15 льодяників. З неї навмання взяли 2 цукерки, які виявилися шоколадними. Після цього з вази беруть навмання ще одну цукерку. Яка ймовірність того, що ця цукерка буде шоколадною?

986. Партія із 60 виробів має 5% браку. Знайдіть імовірність того, що навмання взятий виріб виявиться бракованим? Якою буде відповідь, якщо кількість усіх деталей дорівнюватиме 80? Зробіть висновок.

987. У парку росте 360 дерев, з них — хвойні. Знайдіть імовірність того, що навмання вказане дерево буде хвойним. Якою буде відповідь, якщо кількість усіх дерев дорівнюватиме 450? Зробіть висновок.

988. Досліджуючи схожість насіння огірків, установили, що із 250 посаджених насінин проросло 225. Знайдіть частоту події «насіння проросло».

989. Серед перевірених 150 деталей виявилось 6 бракованих. Знайдіть частоту події «перевірена деталь є бракованою».

990. Біатлоніст зробив серію пострілів по мішені. Скільки було зроблено пострілів, якщо частота влучень дорівнює 0,9, а кількість влучень — 27?

991. Знайдіть частоту події «випаде герб», провівши випробування, що складається із 20 підкидань монети; зі 100 підкидань.

Рівень Б

992. В урні є 25 однакових кульок, пронумерованих числами від 1 до 25. З урни навмання беруть одну кульку. Яка ймовірність того, що номер кульки виявиться:

а) меншим від 10;

б) кратним 3;

в) кратним 2 і 3;

г) кратним 2 або 3?

993. Знайдіть імовірність того, що навмання взяте двоцифрове число виявиться:

а) більшим від 90;

б) кратним 10;

в) кратним 25;

г) меншим від 10.

994. На складі є вироби двох сортів, до того ж виробів другого сорту в 1,5 разу більше, ніж першого. Знайдіть імовірність того, що навмання взятий виріб виявиться виробом першого сорту.

995. Якість деталей перевіряють два контролери. Перший контролер перевірив 55% усіх деталей, а другий — 45%. Навмання беруть одну деталь. Яка ймовірність того, що її перевіряв другий

контролер?

996. У першій коробці лежать 3 картки з номерами 1, 2, 3, а в другій — 3 картки з номерами 4, 5, 6. З кожної коробки беруть навмання по одній картці. Яка ймовірність того, що сума номерів вибраних карток дорівнюватиме 7?

997. Із чотирьох чисел 2, 3, 5, 6 навмання вибирають два числа, використовуючи які записують правильний дріб. Яка ймовірність того, що цей дріб виявиться скоротним?

998. На трьох картках написано по одній букві: М, О, С. Картки перемішують і розкладають у ряд. Яка ймовірність того, що утвориться слово СОМ?

999. Троє друзів придбали квитки на літак в одному ряді крісел із трьох місць і випадковим чином зайняли ці місця. Знайдіть імовірність того, що кожний із друзів зайняв своє місце.

1000. Для збирання телевізорів надійшло 900 мікросхем від двох постачальників. Імовірність того, що навмання взята мікросхема надійшла від першого постачальника, дорівнює 0,6 Скільки мікросхем надійшло від кожного постачальника?

1001. У класі навчається 28 учнів. Імовірність того, що навмання вказаний учень виявиться дівчиною, дорівнює . Скільки у класі є дівчат і скільки хлопців?

Рівень В

1002. Учень забув три останні цифри номера потрібного телефону. Пам’ятаючи, що ці цифри різні, він набирає їх навмання. Знайдіть імовірність того, що один раз набрані цифри будуть правильними.

1003. Про деякий трицифровий код відомо, що: він не містить цифри 0, 1, 2, 3 і 4; цифри коду можуть повторюватися. Яка ймовірність того, що навмання названий код із такими властивостями збіжиться з даним?

1004. На п’яти картках написано по одній букві: Д, Е, С, Н, А. Навмання одна за одною вибирають три картки і розташовують в ряд у порядку появи. Яка ймовірність того, що утвориться слово САД?

1005. Використовуючи цифри 1, 2, 3, 4, 5 не більше одного разу, навмання пишуть деяке трицифрове число. Знайдіть імовірність того, що це число виявиться парним.

1006. Знайдіть імовірність того, що навмання взяте трицифрове число буде кратне 2 або 5.

1007. Партію деталей виготовили на двох станках: на першому станку — 300 деталей, а на другому — 200. Частота виготовлення бракованої деталі на першому станку дорівнює 0,02, а на другому — 0,025. Серед усіх деталей навмання вибирають одну. Яка ймовірність того, що вибрана деталь виявиться бракованою?

1008. У класі навчається 29 учнів. На екскурсію в музей ходили 24 учні, в музей і зоопарк — 16 учнів, а 2 учні не ходили ні в музей, ні в зоопарк. Яка ймовірність того, що навмання вказаний учень класу ходив на екскурсію в зоопарк?

1009. Одночасно підкидають два гральні кубики. Яка ймовірність того, що випадуть числа, сума яких не менша від 7?

1010. Монету підкидають чотири рази. Яка ймовірність того, що «герб» випаде:

а) двічі;

б) хоча б двічі?

Вправи для повторення

1011. Побудуйте графік функції y = 2x² - 3x. Користуючись графіком, знайдіть: а) область значень функції; б) проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень; в) проміжок, на якому функція спадає.

1012. П’ятий член арифметичної прогресії дорівнює 10, а сума семи її перших членів дорівнює 42. Знайдіть перший член і різницю прогресії.

1013. Доведіть, що вираз набуває того самого значення для всіх допустимих значень змінних.

1014. У двох мішках було по 60 кг цукру. Цукор одного мішка розфасували у малі упаковки, а іншого — у великі. Кожна мала упаковка містить цукру на 2 кг менше, ніж кожна велика, тому малих упаковок знадобилося на 8 більше, ніж великих. Скільки кілограмів цукру містить мала упаковка?

Поміркуйте

1015. Для додатних чисел а і b виконується рівність a² - 4b² = 3ab. Доведіть,

що для цих чисел виконується також рівність 4а² + 4b² = 17ab.