Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 2. КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ

11. Функція у = ах2

Розглянемо приклад. Нехай тіло вільно падає. Шлях S м, який тіло проходить за час t с, можна знайти за формулою S = 4,9t².

Перейшовши до прийнятих позначень аргументу і функції, матимемо функцію, яку задають формулою виду у = ax², де а ≠ 0.

Рис. 55

Рис. 56

На рисунках 55 і 56 зображено графіки функцій у = х², у = 2х², y = -2х², які є окремими випадками функції у = ax², якщо а дорівнює відповідно 1, 2, , -2 і -.

Графік функції у = ax², де а ≠ 0, як і графік функції у = x², називають параболою.

Функція у = ах², де а ≠ 0, має такі властивості:

1. Областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел.

2. Якщо а > 0, то областю значень функції є проміжок [0; +∞); якщо а < 0 — проміжок (-∞; 0].

3. Графік функції (парабола) симетричний відносно осі у.

4. Якщо х = 0, то у = 0. Графік проходить через точку (0; 0). Цю точку називають вершиною параболи.

5. Якщо а > 0, то всі точки параболи, крім її вершини, розташовані вище від осі х; якщо а < 0, — нижче від цієї осі. Кажуть: якщо а > 0, то вітки параболи напрямлені вгору; якщо а < 0, — вниз.

6. Якщо а > 0, то функція зростає на проміжку [0; +∞) і спадає на проміжку (-∞; 0]. Якщо а < 0, то функція зростає на проміжку (-∞; 0] і спадає на проміжку [0; +∞).

Доведення властивостей 3 і 6 подано в рубриці «Для тих, хто хоче знати більше».

Для тих хто хоче знати більше

Доведення властивості 3.

• Нехай (m; n) — довільна точка, яка належить графіку функції у = ax², де а ≠ 0. Тоді виконується рівність n = am². Оскільки m² = (-m)², то правильною є й рівність n = a(-m)², з якої випливає, що графіку належить і точка (-m; n) — точка, симетрична точці (m; n) відносно осі у. Це означає, що графік функції симетричний відносно осі у. •

Доведення властивості 6.

• Покажемо, що функція у = ах², де а > 0, спадає на проміжку (-∞; 0].

Нехай х₁ та х₂ — два довільні значення аргументу із проміжку (-∞; 0], до того ж, х₂ > х₁, а у₁ та у₂ — відповідні їм значення функції, тобто

Покажемо, що у₂ < у₁. Для цього розглянемо різницю:

Оскільки х₂ > х₁, то х₂ - х₁ > 0. Значення х₁ та х₂ належать проміжку (-∞; 0], тому х₂ < 0, х₁ < 0 (бо х₁ < х₂), звідки х₁ + х₂ < 0. Урахувавши, що а > 0, матимемо: a(x₂- х₁)(х₂ + х₁) < 0; >2 -у₁ < 0; >2 < у₁

Більшому значенню аргументу з проміжку (-да; 0] відповідає менше значення функції. Отже, якщо а > 0, то функція у = ах² на проміжку (-да; 0] спадає.

Доведення властивості 6 для інших випадків проводять аналогічно. •

Усно

426. Які властивості має функція:

а) у = 2х²;

б) у = -2х²?

427. Які з тверджень І-ІІІ щодо функції у = 5х² є неправильними?

I. Областю значень функції є проміжок (0; +∞).

II. Функція зростає на проміжку [0; +∞).

III. Графік функції проходить через точку (5; 1).

а) Лише І;

б) лише ІІ;

в) лише ІІІ;

г) лише І і ІІІ.

Рівень А

428. Чи належить графіку функції у = 8х² точка: A (2; 32); B(3; 24); C(-1; -8)?

429. Дано функціюf(x) = -4х². Знайдіть значення виразу:

а) f(-1) + f(3);

б) 0,5f(2);

в)f(-1,5) -f(1,5).

430. Дано функцію f(x) = 0,5х². Знайдіть значення виразу:

а) f(-2) + f(2);

б) 4f(2);

в) f(-4) - f(4).

Побудуйте графік функції:

431. а) у = 3х²;

в) у = -1,5х².

432. а) у = 2,5x²;

в) у = -3х².

433. Побудуйте графік функції у = -2,5х². Укажіть проміжки, на яких функція зростає; спадає.

434. Побудуйте графік функції у = 1,5х² та вкажіть область її значень.

Рівень Б

435. Побудуйте графік функції у = -2х², де -1 < х < 2. Укажіть найменше та найбільше значення функції, область її значень.

436. Побудуйте графік функції у = 1,5х2, де -2 < х < 1. Укажіть проміжки, на яких функція зростає; спадає.

437. Графік функції у = ах² проходить через точку М(2; -2). Побудуйте графік цієї функції.

438. Графік функції у = ах² проходить через точку М (0,5; 1). Чи проходить цей графік через точку K(-4; 64)?

439. Знайдіть координати спільних точок графіків функцій:

а) у = 2х² та у = 5х - 3;

б) у = -2х² та у = 8 - 8х.

440. Доведіть, що пряма у = -4х + 5 і парабола у = -х² не мають спільних точок.

441. Знайдіть координати точок перетину параболи у = 3х² і прямої у = 4х + 4.

Розв’яжіть графічно рівняння:

442.

443.

Рівень В

444. Побудуйте графік функції:

445. Розв’яжіть графічно нерівність:

446. Знайдіть усі значення а, для яких парабола у = ах² перетинає пряму у = 2х - 1 у двох різних точках.

447. Доведіть, що функція у = ах², де а < 0, спадає на проміжку [0; +∞).

Вправи для повторення

448. Побудуйте графік функції:

а) у = (х - 1,5)²;

б) у = (х + 1)² - 2.

449. Доведіть нерівність:

а) х² + 4х + 5 > 0;

б) 4х² - 4х + 1 > 0.

450. Спростіть вираз:

451. Від міста A до міста B автомобіль рухався деякий час зі швидкістю 60 км/год. Решту шляху він проїхав за такий самий час, але зі швидкістю 80 км/год. Знайдіть середню швидкість автомобіля.

452*.Першу половину шляху автомобіль їхав зі швидкістю 60 км/год, а другу — зі швидкістю 80 км/год. Знайдіть середню швидкість автомобіля.

Поміркуйте

453. 10 учнів обмінювалися за допомогою електронної пошти новорічними вітаннями. Виявилося, що кожний з них надіслав 5 вітань. Доведіть, що знайдуться двоє учнів, які привітали один одного.

Завдання для самоперевірки № 2

Початковий рівень

1. Чому дорівнює значення функції f(x) = 2х² - 5, якщо х = 4?

а) 11;

б) 3;

в) 27;

г) -27.

2. Знайдіть нуль функції у = 5х + 8.

а) 1,6;

б) -1,6;

в) -16;

г) -0,625.

3. На рисунку зображено графік функції у = f(x), де -2 < x < 3. Укажіть твердження, яке для цієї функції є правильним.

а) Найменше значення функції дорівнює -2.

б) Функція набуває додатних значень на проміжку (0; 3].

в) Областю значень функції є проміжок [-1; 3].

г) Функція спадає на проміжку [0; 2].

4. Знайдіть проміжок, на якому функція у = 2х - 4 набуває від’ємних значень.

а) (-∞; 0);

б) (-∞; 2);

в) (-∞; 2];

г) (2; +∞).

5. На одному з рисунків зображено графік функції

Укажіть цей Малюнок.

6. Укажіть твердження, які для функції у = 3х² є правильними.

I. Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вниз.

II. Функція зростає на проміжку [0; +∞).

III. Графік функції симетричний відносно осі у.

а) Лише І;

б) лише ІІ;

в) лише ІІІ;

г) лише ІІ і ІІІ.

Середній рівень

7. Доберіть до кожного твердження (1-4) ту функцію (А-Д), для якої це твердження є правильним.

8. Знайдіть область визначення функції

9. Знайдіть нулі функції у = х² + 6х - 16.

10. Знайдіть координати точки перетину графіка функції у = -4х + 8 з віссю абсцис; віссю ординат.

11. Побудуйте графік функції у = (х - 3)² - 1. Користуючись графіком, знайдіть область її значень.

Достатній рівень

12. Знайдіть область визначення функції

13. Чи належить число 3 області значень функції у = х² + 15х +48?

14. Знайдіть усі значення т, для яких функція у = (2m - 8)х + 3 є спадною.

15. Побудуйте графік функції у = -2(x + 1)² + 2. Користуючись графіком, знайдіть: а) область значень функції; б) проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень; в) проміжок, на якому функція спадає.

16. Розв’яжіть графічно рівняння

Високий рівень

17. Знайдіть область визначення функції

18. Доведіть, що функція у = спадає на проміжку (0; +∞).

19. Знайдіть усі значення а, для яких функція у = х² - 2ах + а² + 2а + 4 має хоча б один нуль.

20. Побудуйте графік функції у = |2х - 4| - 4. Користуючись графіком, знайдіть: а) область значень функції; б) проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень.

21. За допомогою графіків функцій установіть, чи має корені рівняння