Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік

Розділ 1 ЧОТИРИКУТНИКИ

§9. ТЕОРЕМ ФАЛЕСА

Т е о р е м а Ф а л е с а. Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні між собою відрізки, то вони відтинають рівні між собою відрізки і на другій його стороні.

Д о в е д е н н я. Нехай паралельні прямі A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃ перетинають сторони кута з вершиною O (мал. 101), причому A₁A₂ = A₂A₃. Доведемо, що B₁B₂ = B₂B₃.

1) Проведемо через точки A₁ і A₂ прямі A₁M і A₂N, паралельні прямій OB₃. A₁A₂ = A₂A₃ (за умовою), ∠ A₂A₁M = ∠ A₃A₂N (як відповідні кути при паралельних прямих A₁M і A₂N), ∠A₁A₂M = ∠A₂A₃N (як відповідні кути при паралельних прямих A₂M і A₃N). Тому ∆A₁A₂M = ∆A₂A₃N (за стороною і двома прилеглими кутами), а значить A₁M = A₂N (як відповідні сторони рівних трикутників).

2) Чотирикутник A₁MB₂B₁ - паралелограм (за побудовою). Тому A₁M = B₁B₂.

Аналогічно A₂NB₃B₂ - паралелограм, тому A₂N = B₂B₃. Отже, A₁M = A₂N, A₁M = B₁B₂, A₂N = B₂B₃. Звідки B₁B₂ = B₂B₃, що й треба було довести.

Мал. 101

Н а с л і д о к. Паралельні прямі, які перетинають дві дані прямі і відтинають на одній з них рівні відрізки, відтинають рівні відрізки і на другій прямій.

За теоремою Фалеса можна поділити відрізок на будь-яку кількість рівних частин, використовуючи лінійку без поділок.

Задача. Поділіть відрізок AB на 6 рівних частин.

Р о з в’ я з а н н я. 1) Нехай AB - даний відрізок (мал. 102). Проведемо довільний промінь AC і відкладемо на ньому циркулем послідовно 6 відрізків:

AC₁ = C₁C₂ = C₂C₃ = C₃C₄ = C₄C₅ = C₅C₆.

2) Через точки C₆ і B проведемо пряму.

3) Через точки С₁, С₂, С₃, С₄, С₅ проведемо за допомогою косинця і лінійки прямі, паралельні прямій BC₆. За теоремою Фалеса ці прямі поділять відрізок AB на 6 рівних між собою частин:

AD₁= D₁D₂= D₂D₃= D₃D₄ = D₄D₅ = D₅B.

Мал. 102

А ще раніше…

Фалес Мілетський - давньогрецький математик і астроном. За давньою традицією його вважають одним з так званих семи мудреців світу, адже він був одним з найвидатніших математиків свого часу.

Ще в молоді роки допитливий юнак вирушив у подорож до Єгипту, щоб ознайомитися з єгипетською культурою та вивчити природничі науки. Будучи здібним та обдарованим, Фалес не тільки швидко вивчив те, що на той час уже було відомо єгипетським вченим, а й зробив низку власних наукових відкриттів. Він самостійно визначив висоту єгипетських пірамід за їхньою тінню, чим дуже здивував єгипетського фараона Амазіса. А повернувшись на батьківщину, заснував у Мілеті філософську школу.

Історики вважають, що Фалес був першим, хто ознайомив греків з геометрією, і став першим грецьким астрономом. Фалес передбачив сонячне затемнення, яке відбулося 28 травня 585 року до н. е.

На гробниці Фалеса вирізьблено: «Наскільки є малою ця гробниця, настільки великою є слава цього царя астрономії в галузі зірок».

Фалес Мілетський (бл. 625-548 до н. е.)

Сформулюйте і доведіть теорему Фалеса.

1

Початковий рівень

267. (Усно.) На малюнку 103 A₁B₁ || A₂B₂ || A₃B₃, A₁A₂ = 3 см, А₂А₃ = 3 см, B₁B₂ = 5 см. Знайдіть B₂B₃.

268. На малюнку 103 A₁B₁ || A₂B₂ || A₃B₃, B₁B₂ = B₂B₃, A₂A₃ = 7 см. Знайдіть A₁А₂.

269. На малюнку 104 M₁N₁ || M₂N₂, OM₁ = M₁M₂, ON₁ = 4 см. Знайдіть ON₂.

270. На малюнку 104 M₁N₁ || M₂N₂, ON₁ = 6 см, N₁N₂ = 6 см, OM₁ = 3,5 см. Знайдіть OМ₂.

Мал. 103

Мал. 104

2

Середній рівень

271.¹ Поділіть даний відрізок на 5 рівних частин.

272. Поділіть даний відрізок на 7 рівних частин.

¹ Задачі 271-274 необхідно розв’язати із застосуванням лінійки без поділок.

3

Достатній рівень

273. Поділіть даний відрізок на дві частини, відношення яких дорівнює 2 : 5.

274. Поділіть даний відрізок на дві частини у відношенні 3 : 2.

275. На малюнку 103 A₂B₂ || A₃B₃. A₁A₂ : B₁B₂ = 3 : 5, B₂B₃ - A₂A₃ = 8 см. Знайдіть A₁A₂, A₂A₃, B₁B₂, B₂B₃.

276. На малюнку 104 ON₁ = N₁N₂, M₁N₁ || M₂N₂, ON₁ : OM₁ = = 7 : 4, N₁N₂ + M₁M₂ = 33 см. Знайдіть ON₂ і OM₂.

4

Високий рівень

277. M і N - відповідно середини сторін AB і CD паралелограма ABCD. Відрізки MD і BN перетинають діагональ AC у точках L і K відповідно. Доведіть, що AL = LK = KC.

278. Точки E, F і G ділять медіану AD трикутника ABC на чотири рівні частини (AE = EF = FG = GD). Доведіть, що пряма CG ділить сторону AB у відношенні 3 : 2, починаючи від вершини A.

279. Точки M і N ділять медіану AD трикутника ABC на три рівні частини (AM = MN = ND). Доведіть, що пряма BN містить медіану трикутника.

280. Точка K - середина медіани AD трикутника ABC. Відрізок BK перетинає сторону AC у точці M. Знайдіть AM : MC.

Вправи для повторення

281. Побудуйте відрізок АВ завдовжки 5 см та геометричне місце точок, рівновіддалених від його кінців.

282. З точки кола проведено дві взаємно перпендикулярні хорди, які віддалені від центра на відстані 5 см і 7 см. Знайдіть довжини цих хорд.

Цікаві задачі для учнів неледачих

283. (Всеукраїнська олімпіада з математики, 1976 р.) Усередині гострокутного трикутника ABC дано точку P таку, що ∠APB = ∠ACB + 60°, ∠BPC = ∠BAC + 60°, ∠CPA = ∠CBA+ 60°. Доведіть, що основи перпендикулярів, проведених з точки P до сторін трикутника ABC, є вершинами рівностороннього трикутника.