Підручник Геометрія 8 клас - Істер О. С. - Генеза 2016 рік
Розділ 1 ЧОТИРИКУТНИКИ
§2. ПАРАЛЕЛОГРАМ, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ Й ОЗНАКИ
Паралелограмом називають чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.
На малюнку 16 зображено паралелограм ABCD, де AB || CD, AD || BC.
Розглянемо властивості паралелограма.
1. Сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°.
Справді, наприклад кути A і B паралелограма ABCD (мал. 16) є внутрішніми односторонніми кутами для паралельних прямих AD і BC та січної AB. Тому ∠A + ∠B = 180°. Аналогічно цю властивість можна довести для будь-якої іншої пари сусідніх кутів паралелограма.
Мал. 16
2. Паралелограм є опуклим чотирикутником.
Оскільки ∠A + ∠B = 180°, то ∠A < 180°, ∠B < 180°. Аналогічно ∠C < 180°, ∠D < 180°. Тому паралелограм - опуклий чотирикутник.
3. У паралелограмі протилежні сторони рівні й протилежні кути рівні.
Д о в е д е н н я. Розглянемо паралелограм ABCD (мал. 17). Діагональ AC розбиває його на два трикутники ABC і ADC. AC - спільна сторона цих трикутників й ∠CAD = ∠ACB, ∠CAB = ∠ACD (як внутрішні різносторонні кути при перетині
січною AC паралельних прямих AD і BC, AB і CD відповідно). Тоді ∆ABC = ∆CDA (за стороною і двома прилеглими кутами). Отже, AB = CD, BC = AD і ∠B = ∠D (як відповідні елементи рівних трикутників). Оскільки ∠BAC + ∠CAD = ∠BCA + ∠DCA, то ∠BAD = ∠BCD.
Мал. 17
4. Периметр паралелограма РАВСО = 2(АВ + ВС).
5. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.
Д о в е д е н н я. Нехай O - точка перетину діагоналей AC і BD паралелограма ABCD (мал. 18). AD = BC (як протилежні сторони паралелограма), ∠CAD = ∠ACB, ∠BDA = ∠DBC(як внутрішні різносторонні кути при перетині паралельних прямих AD і BC січними AC і BD відповідно). Отже, ∆AOD = ∆COB (за стороною і двома прилеглими кутами). Тоді AO= OC, BO = OD (як відповідні сторони рівних три - кутників).
Мал. 18
Мал. 19
Задача 1. Дано: ABCD паралелограм, AK - бісектриса кута A, BK = 5 см, KC = 3 см (мал. 19). Знайдіть: PABCD.
Р о з в’ я з а н н я. 1) BC = BK + KC = 5 + 3 = 8 (см);
2) ∠ KAD = ∠BKA (як внутрішні різносторонні кути при перетині паралельних прямих AD і BC січною AK);
3) ∠KAD = ∠KAB (за умовою), тоді ∠BKA = ∠KAB. Отже, за ознакою рівнобедреного трикутника: ∆ABK - рівнобедрений, AB = BK = 5 (см);
4) PABCD = 2(AB + BC) = 2(5 + 8) = 26 (см).
В і д п о в і д ь. 26 см.
Висотою паралелограма називають перпендикуляр, проведений з будь-якої точки сторони паралелограма до прямої, що містить протилежну сторону.
На малюнку 20 MN - ви сота паралелограма; MN ⊥ AD, MN ⊥ BC.
З кожної вершини паралелограма можна провести дві висоти. Наприклад, на малюнку 21 BF і BT - висоти паралелограма, проведені відповідно до сторін AD і CD.
Мал. 20
Мал. 21
Розглянемо ознаки паралелограма.
Т е о р е м а (ознаки паралелограма). Якщо в чотирикутнику: 1) дві сторони рівні і паралельні, або 2) протилежні сторони попарно рівні, або 3) діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, або 4) протилежні кути попарно рівні, — то чотирикутник є паралелограмом.
Д о в е д е н н я. 1) Нехай у чотирикутнику ABCD AD = BC і AD || BC (мал. 22). Проведемо діагональ AC. Розглянемо ∆CAD і ∆ACB. ∠CAD = ∠BCA (як внутрішні різносторонні кути при перетині паралельних прямих AD і BC січною AC). AC - спільна сторона, AD = BC (за умовою). Отже, ∠CAD = ∠ACB (за двома сторонами і кутом між ними). Тоді ∠ACD= ∠CAB (як відповідні). Але це різносторонні кути, що утворилися при перетині прямих AB і CD січною AC. Тому AB || CD (за ознакою паралельності прямих). Отже, у чотирикутнику ABCD протилежні сторони попарно паралельні. Тому ABCD - паралелограм.
2) Нехай у чотирикутнику ABCD: AD = BC і AB = CD (мал. 22). Проведемо діагональ AC. Тоді ∆CAD = ∆ACB (за трьома сторонами). Тому ∠ACD = ∠CAB, а отже, AB || CD (за ознакою паралельності прямих). Аналогічно доводимо, що AD || BC. Отже, ABCD - паралелограм.
Мал. 22
Мал. 23
3) Нехай у чотирикутнику ABCD діагоналі AC і BD перетинаються в точці O і AO = OC, BO = OD (мал. 23). ∠AOD = ∠COB (як вертикальні). Тому ∆AOD = ∆COB (за двома сторонами і кутом між ними). Звідси AD = BC. Аналогічно доводимо, що AB = CD. Зважаючи на п. 2) цієї теореми, приходимо до висновку, що ABCD - паралелограм.
4) Нехай у паралелограмі ABCD: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D (мал. 16). Оскільки ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°, то ∠A + ∠B + ∠A + ∠B = 360°, 2(∠A + ∠B) = 360°; ∠A + ∠B = 180°. Але ∠A і ∠B - внутрішні різносторонні кути для прямих AD і BC та січної AB. Тому AD || BC (за ознакою паралельності прямих). Аналогічно доводимо, що AB || CD. Отже, ABCD - паралелограм.
Задача 2. У чотирикутнику ABCD, AD = BC, ∠CAD = ∠ACB. Доведіть, що ABCD - паралелограм.
Д о в е д е н н я. Нехай ABCD - даний чотирикутник (мал. 22). Розглянемо ∆CAD і ∆ACB. AC - їх спільна сторона, AD = BC, ∠ CAD = ∠ACB (за умовою). Отже, ∆CAD = ∆ACB (за двома сторонами і кутом між ними). Тому AB = CD. Але тоді у чотирикутнику ABCD протилежні сторони попарно рівні, тому він є паралелограмом.
Про деякі види чотирикутників (квадрати, прямокутники, рівнобічні та прямокутні трапеції) знали ще давньоєгипетські та вавилонські математики.
Термін «паралелограм» грецького походження, вважають, що його уведено Евклідом (близько 300 р. до н. е.). Також відомо, що про паралелограм і деякі його властивості було відомо учням школи Піфагора («піфагорійцям») ще раніше.
В «Началах» Евкліда доведено наступну теорему: у паралелограмі протилежні сторони рівні і протилежні кути рівні, а діагональ поділяє його навпіл, але не згадується про те, що точка перетину діагоналей паралелограма ділить кожну з них навпіл.
Евклід також не згадує ані про прямокутник, ані про ромб.
Повну теорію паралелограмів було розроблено лише в кінці Середньовіччя, а в підручниках вона з'явилася в XVII ст. Усі теореми та властивості паралелограма в цих підручниках ґрунтувалися на аксіомі паралельності Евкліда.
Термін «діагональ» - грецького походження; «діа» означає «через», а «гоніос» - «кут», що можна розуміти як відрізок, що сполучає вершини кутів.
Слід зазначити, що Евклід, як і більшість математиків того часу, для назви відрізка, що сполучає протилежні вершини чотирикутника, зокрема прямокутника, використовував інший термін - «діаметр». Це можна пояснити тим, що перші геометри свої міркування ґрунтували на вписаних у коло прямокутниках. У Середні віки для назви згаданого відрізка використовували обидва терміни. Лише у XVIII ст. термін «діагональ» став загальновживаним.
1. Яку фігуру називають паралелограмом?
2. Сформулюйте і доведіть властивості паралелограма.
3. Що називають висотою паралелограма?
4. Сформулюйте і доведіть ознаки паралелограма.
1
Початковий рівень
34. Серед чотирикутників, зображених на малюнках 24-29, укажіть паралелограми.
Мал. 24
Мал. 25
Мал. 26
Мал. 27
Мал. 28
Мал. 29
35. Накресліть паралелограм ABCD, у якого кут D тупий.
36. Накресліть паралелограм KLMN, у якого кут K гострий.
37. (Усно.) Одна зі сторін паралелограма дорівнює 5 см. Яка довжина сторони, що їй протилежна?
38. Один з кутів паралелограма дорівнює 70°. Знайдіть інші його кути.
39. Знайдіть кути паралелограма, якщо один з них дорівнює 100°.
2
Середній рівень
40. Знайдіть периметр паралелограма, у якого одна сторона дорівнює 12 см, а друга - на 3 см більша за неї.
41. Знайдіть периметр паралелограма, у якого одна сторона дорівнює 18 см, а друга - удвічі від неї менша.
42. Знайдіть усі кути паралелограма, якщо:
1) сума двох з них дорівнює 120°;
2) один з них на 20° більший за другий;
3) один з них утричі менший від другого;
4) два з них відносяться як 2 : 3.
43. Знайдіть усі кути паралелограма, якщо:
1) сума двох з них дорівнює 200°;
2) один з них на 40° менший від другого;
3) один з них удвічі більший за другий;
4) градусні міри двох з них відносяться як 4 : 5.
44. У паралелограмі ABCD ∠BAD = 80°, ∠ACD = 50°. Знайдіть ∠ACB і ∠ABC.
45. У паралелограмі ABCD ∠BAC = 35°, ∠BCA = 40°. Знайдіть кути паралелограма.
46. (Усно.) Які помилки допущено в зображенні паралелограма на малюнках 30-32?
Мал. 30
Мал. 31
Мал. 32
47. Периметр паралелограма дорівнює 40 см. Знайдіть його сторони, якщо:
1) одна з них на 4 см більша за другу;
2) вони відносяться як 3 : 7.
48. Периметр паралелограма дорівнює 36 дм. Знайдіть його сторони, якщо:
1) одна з них на 2 дм менша від другої;
2) одна з них у 5 разів більша за другу.
49. O - точка перетину діагоналей паралелограма ABCD. Знайдіть діагональ AC, якщо BD = 20 см, AB = 15 см, а периметр трикутника AOB дорівнює 32 см.
50. У чотирикутнику ABCD (мал. 33) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. Доведіть, що ABCD - паралелограм.
51. ∆ABC = ∆CDA (мал. 33). Доведіть, що ABCD - паралелограм.
52. Побудуйте паралелограм за двома сторонами і кутом між ними.
Мал. 33
53. Побудуйте паралелограм за двома сторонами і діагоналлю.
3
Достатній рівень
54. Бісектриса кута паралелограма перетинає його сторону під кутом 48°. Знайдіть кути паралелограма.
55. У паралелограмі ABCD бісектриса куга A ділить сторону BC на відрізки BM = 5 см і MC = 7 см. Знайдіть периметр паралелограма.
56. У паралелограмі ABCD AB = 4 см, BC = 12 см. Бісектриса кута A перетинає сторону BC у точці P. Знайдіть BP і PC.
57. Побудуйте паралелограм за стороною і діагоналями.
58. Побудуйте паралелограм за двома діагоналями і кутом між ними.
59. На сторонах AD і BC паралелограма ABCD (мал. 34) позначено точки M і K так, що ∠ABM = ∠CDK. Доведіть, що BMDK - паралелограм.
60. На сторонах AD і BC паралелограма ABCD (мал. 34) позначено точки M і K так, що AM = KC. Доведіть, що BMDK - паралелограм.
Мал. 34
61. Доведіть, що бісектриси двох сусідніх кутів паралелограма взаємно перпендикулярні.
62. У паралелограмі гострий кут дорівнює 60°. Висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, ділить протилежну сторону на відрізки 3 см і 5 см, починаючи від вершини гострого кута. Знайдіть периметр паралелограма.
63. У паралелограмі ABCD AB = 6 см, ∠B = 120°. Висота BK ділить сторону AD на два рівних відрізки. Знайдіть периметр паралелограма.
64. У паралелограмі ABCD з вершини гострого кута A проведено висоти AL і AK. ∠LAK = 140°. Знайдіть кут C паралелограма.
65. У паралелограмі ABCD з вершини тупого кута B проведено висоти BM і BN. ∠MBN = 70°. Знайдіть кут D паралелограма.
4
Високий рівень
66. Бісектриса кута B паралелограма ABCD ділить сторону AD на два відрізки AK і KD так, що AK - KD = 1 см. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 40 см.
67. Бісектриса кута A паралелограма ABCD ділить сторону BC на два відрізки BK і KC так, що BK : KC = 3 : 7. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 78 см.
68. Два кути паралелограма відносяться як 5 : 7. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини: 1) тупого кута; 2) гострого кута.
69. Один з кутів паралелограма на 12° більший за другий. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини:
1) гострого кута; 2) тупого кута.
70. Доведіть, що три висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці (ортоцентрі трикутника).
Д о в е д е н н я. 1) Нехай AH1, BH2, CH3 - висоти гострокутного трикутника ABC (мал. 35). Проведемо через вершини трикутника прямі, паралельні протилежним сторонам. Одержимо трикутник A1B1C1. Чотирикутник ABA1C - паралелограм (за побудовою). Тому BA1 = AC. Аналогічно ACBC1 — паралелограм і C1B = AC. Отже, C1B = BA1, точка B - середина A1C1. Оскільки BH2 ⊥ AC і AC || A1C1, то BH2 ⊥ A1C1. Тому BH2 належить серединному перпендикуляру до сторони A1C1 трикутника A1B1C1. Аналогічно AH1 і CH3належать серединним перпендикулярам до двох інших сторін цього трикутника. Як відомо, серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці. Отже, AH1, BH2і CH3перетинаються в одній точці.
Мал. 35
2) Якщо ∆ABC - прямокутний, наприклад ∠C = 90°, то очевидно, що три висоти перетинаються в точці C.
3) Якщо ∆ABC - тупокутний, то продовження трьох висот трикутника перетинаються в одній точці. Доведення аналогічне до доведення у п. 1.
Вправи для повторення
71. Знайдіть другий гострий кут прямокутного трикутника, якщо перший дорівнює: 1) 20°; 2) 65°.
72. Дві сторони трикутника дорівнюють 7,2 см і 2,5 см. Якому найбільшому цілому числу сантиметрів може дорівнювати третя сторона?
73. Зовнішній кут трикутника у 2 рази більший за один з внутрішніх кутів, не суміжний з ним. Доведіть, що трикутник є рівнобедреним.
74. Чи можна побудувати чотирикутник зі сторонами 6 см, 6 см, 4 см і 2 см та кутом 60° між рівними сторонами?
Розв'яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
75. Знайдіть периметр і площу прямокутника, сторони якого дорівнюють: 1) 5 см і 7 см; 2) 2 дм і 14 см.
Цікаві задачі для учнів неледачих
76. Видатні українці. Запишіть по горизонталях прізвища видатних українців (за потреби використайте додаткову літературу та Інтернет) і отримаєте у виділеному стовпчику ім’я давньогрецького філософа, математика, релігійного та політичного діяча.
1. Видатний український наукознавець у галузі зварювальних процесів, доктор технічних наук, Герой України.
2. Український політик, публіцист, літературний критик, провідник національно-демократичного визвольного руху кінця 1980-1990-х років, Герой України.
3. Український письменник, поет, публіцист, перекладач, учений, громадський і політичний діяч (1856-1916).
4. Видатний український лікар світового рівня, учений у галузях медицини, біокібернетики; його ім’ям названо Інститут серцево-судинної хірургії, який він очолював протягом двадцяти років.
5. Політичний діяч і публіцист, організатор української науки; Голова Центральної Ради Української Народної Республіки.
6. Видатний український поет, письменник, художник, громадський і політичний діяч, фольклорист, етнограф.
7. Український просвітитель-гуманіст, філософ, поет, педагог.