Підручник Алгебра 7 клас - Тарасенкова Н.А. - Освiта 2015 рік

РОЗДІЛ 3 МНОГОЧЛЕНИ

§9. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ

Ви знаєте, як додавати й віднімати одночлени. Розглянемо властивості дій першого ступеня з многочленами.

Додати (відняти) многочлени — означає скласти вираз, що є сумою (різницею) даних многочленів, та спростити його, якщо це можливо.

Задача 1. Знайдіть суму многочленів 15у² - х²у + 3 і 6х³y² + 7х²у - 25у² - 5.

Розв’язання. Складемо вираз, що є сумою даних многочленів. Оскільки обидва многочлени є доданками, то при розкритті дужок знаки їх членів залишаються без змін:

(15у² - х²у + 3) + (6x³y² + 7х²у - 25у² - 5) =

= 15у² - х+ 3 + 6х³y² + 7х²у - 25у² - 5.

Зведемо подібні члени отриманого многочлена.

15у²- х²у + 3 + 6x³y² + 7x²у -25у² - 5 =

= -10 у² + 6х²y - 2 + 6х³у²

Упорядкуємо даний многочлен за степенями його членів:

-10у² + 6х²у - 2 + 6х³у² =

=6х³y² + 6х²у - 10у² - 2.

? Чи завжди сума многочленів має зміст? Так, оскільки многочлени-доданки і многочлен-сума не містять дію ділення на вираз зі змінними.

Задача 2. Знайдіть різницю многочленів 15у² - х²y + 3 і 6х³у² + 7х²у - 25у² - 5.

Розв’язання. Складемо вираз, що є різницею даних многочленів. Розкриваючи дужки, знаки членів многочлена-від’ємника змінимо на протилежні:

(15у² - х²у + 3) - (6х³y² + 7х²у - 25у²- 5) =

= 15у² - х²у + 3 - 6х³у²- 7х²у + 25 у² + 5 =

Зведемо подібні члени отриманого многочлена.

15у² - х²у + 3 - 6х³y² - 7x²у + 25у² + 5 =

= 40у² - 8х²у + 8 - 6х³y².

Упорядкуємо даний многочлен за степенями його членів:

= 40у² - 8х²у + 8 - 6х³y² =

= -6х³у² - 8х²у + 40у² + 8.

Зверніть увагу:

під час додавання (віднімання) двох многочленів знаки членів другого компонента дії:

— залишаємо без змін, якщо виконуємо додавання;

— змінюємо на протилежні, якщо виконуємо віднімання.

Додавання многочленів підкоряється переставному і сполучному законам. Якщо позначити многочлени літерами А, В і С, то коротко можна записати так:

А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С) для будь-яких А, В і С. Для віднімання многочленів ці закони не справджуються, так само, як і для віднімання одночленів.

Дізнайтеся більше

1. Щоб коротко записати число, v якого а сотень, й десятків і с одиниць, використовують запис:

Його розгортають у суму розрядних доданків так:

= 100а + 10b + с.

Скорочений запис числа використовують у розв’язуванні задач. Нерідко й умову задачі подають за допомогою такого запису числа. Розглянемо приклади.

Задача 3. Знайдіть усі трицифрові числа , для яких виконується умова

Розв’язання.

= 100а + 10с + с,

= 100с + 10а + а.

Тоді

= 100а + 10с + с + 100с + 10а +а = 111а + 111с . За умовою, 111а + 111с = 555. Звідси а + с = 5. Оскільки а і с — цифри, то можливі такі випадки: а = 1, с = 4; а = 3, с = 2; а = 2, с = 3; а = 4, с = 1. Отже, шуканими числами є: 144, 322,233, 411.

Задача 4. Знайдіть двоцифрове число, яке більше за суму своїх цифр на 18, а за добуток цифр — на 14.

Розв'язання. Нехай — шукане число, тоді = 10а + с, а + с — сума цифр шуканого числа, ас — добуток його цифр. За умовою, 10а + с - (а + с) = 18, звідси 10а + с - а - с = 18, 9а = 18, а = 2. За умовою, 10а + с - ас= 14. Ураховуючи, що а = 2, дістанемо: 20 + с - 2с = 14, с = 6 Отже, 26 — шукане число.

2. Система числення — це система запису чисел за допомогою певного набору знаків і правил їх утворення. У десятковій системі числення для запису чисел використовуються десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9. У цій системі будь-яке ціле невід’ємне число можна подати за допомогою степенів числа 10(10¹ =10; 10²= 100 і т.д.). Наприклад: 25 = 20 + 5 = 2 ∙ 10 + 5 = 2 - 10¹ + 5 = 25₁₀. Індекс внизу вказує систему числення, у якій записане дане число. Це число також називають основою системи числення. Отже, у десяткової системи числення основа 10.

Двійкова система числення — це система, у якій для запису чисел використовуються дві цифри: 0 і 1. Основою двійкової системи числення є число 2. Для запису числа у двійковій системі його подають за допомогою степенів числа 2. Наприклад, 4 = 22 = 1 ∙ 2² + 0 ∙ 2¹ + 0 = 100₂. Число 25 подають у вигляді такої суми чисел: 25 =16 + 8 + 1. Тобто 25 = 2⁴ + 2³ + 1 = 1 ∙ 2⁴ + 1 ∙ 2³ + 0 ∙ 2² + 0 ∙ 2¹ + 1. Звідси 25 = 11001₂.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Що означає — додати многочлени?

2. Як віднімають многочлени?

3. Які закони справджуються для дій першого ступеня з многочленами?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

422. Чи правильно виконано додавання двочлена a + х і одночлена х:

1) (а + х) + х = а + 2х;

2) (а + х) + х = а + x²?

423. Чи правильно виконано віднімання одночлена х і двочлена а + х:

1)(а + х) - х = а + х - х = а;

2)х - (а + х) = х - а + х = -а + 2х;

3)х - (а + х) = х - а - х = -а?

424. Назвіть знаки другого компонента дії, якщо шукаємо суму:

1)х і х + у, 2)х і х - у; 3) 2 і х - 3.

425. Назвіть знаки другого компонента дії, якщо шукаємо різницю:

1)2х і 3у + 4х;

2)2х і 6y - 2х;

3)4 і у² + 8у.

426. Чи правильно виконано дії з многочленами:

1) (1,8 + х) + (4х - 5) = 1,8 + х + 4х - 5 = 4,2 + 5х;

2) (2х² + х) - (х² + х - 4) = 2х² + х - х² - х + 4 = х² + 4?

427. Знайдіть суму одночлена і двочлена:

1)m i m + m²;

2) k² і k^{2 -} 3;

3) mn i nm +m²;

4) 10 і 5d + 0,4.

428. Знайдіть суму многочленів:

1) x² + 3x i x² + 2,

2) у² + 5у i x - 5y;

3) x + 4 i -x - 6;

4) x² + 3x i x - x²;

5) 1,25x і 0,25x + 1,5x²;

6) x і -x + у;

7) 3с і 4d - 3c;

8) cd i 3 + 2cd - c²;

9)-5d i -d + (-d²) + 1;

10) -5z і z² - 5z + 8;

11) k² + k + 1 і k² - 0,5k;

12) 7k² + 2k + 2 і -3k² - k + 4.

429. Знайдіть суму многочленів:

1) х + у і -х + у;

2) m + 3n і -m - n;

3) х² + у і х² - у;

4) х² + y і -х² - у;

5) a + 3с і а² - 2а + 3;

6) 3а - 7 і -3а + 7;

7) 4k² - k і -4k² + k;

8) 4х² + 2х + ху і -х + 4ху.

430. Спростіть вираз:

1) (-3аb + 2a²b) + (6аb - 2а²b + 5b);

2) (0,5a + b) + (a + b);

3) (1a² + 6,3b²) + (a² — 4b²) + (-a² - 2²).

Знайдіть степінь отриманого многочлена.

431. Спростіть вираз:

1) (2а²+ 3а + 4b) + (2а - 3а² - b);

2) (7хy² + х²у - 5Х² + 3у² + 2) + (3ху + 3ху² - х² - 3у²).

Знайдіть степінь отриманого многочлена.

432. ЯКИМИ даними треба доповнити таблицю 7?

Таблиця 7

433. Знайдіть різницю многочленів:

1) n i n + n²;  5) 1,25х і 0,25х + 2,45х²;

2) k² - 5 і 2k² + 8; 6) х і -х + у;

3) 2n² + n³ і n² - 3m³; 7) -5d + d² i -d + 2d² + 1;

4) 10 - с і с² - с;  8)-3z + 8 і -9z² - 3z + 8.

434. Знайдіть різницю многочленів:

1) 0,9a + 0,8b i 0,1a - 0,2b; 3)0,2m³ + m + i 0,5 + m;

2) + m i m + + n;  4) 100 + k² + 1,4k і 1,2k²- 0,6k - 100.

435. Якими даними треба доповнити таблицю 8?

Таблиця 8

436. Знайдіть значення виразу:

1) (4x + 9) - (3х - 4) - 63, якщо х =-100;

2) (3х + 2) - (х - 7) + (-2х - 14) + 5, якщо х = 0,643;

3) (х⁴ + х³ + х² +3х) -(х⁴ + х³ + х² - 2х - 25) - 10, якщо х = 5.

437. Знайдіть значення виразу (2,5mn + 3,5m + n) - (2,5mn + 3,5m + 3n), якщо m = 3,705, n =-0,98

438. Запишіть многочлен 3а + а² - 4 - а³ як суму двох многочленів, один з яких дорівнює:

1) а² - 4; 2) 2а + а².

439. Доведіть тотожність: (2х + у) - (3х - у) + (х - 2у) = 0.

440. Запишіть у вигляді многочлена різницю чисел, перше з яких має а тисяч, 7 сотень, b десятків і 4 одиниці, а друге — 2а тисяч, 9 сотень, 9 десятків і b одиниць.

441. Запишіть у вигляді многочлена суму чисел, перше з яких має х тисяч, у сотень і 2 десятків, а друге — z тисяч, у сотень, 5 десятків і 8 одиниць.

442. Знайдіть суму многочленів:

1) 4,8а² + 5,6b², 3,7а² - 3b², -3,5а² - 2, -4,34 - 0,1b² і -5а² + 3,1b² + 2;

2)- а² + 8,5b² + 6, -4a²- 2 b², а² + 4 - b², -a² + 3 - b² i -а² + 7,2b²;

3) a²bc² + a²cb² - abc², -bac² + acb, -c²a²b + a²b²c і -abc + 100;

4) x⁸ⁿ + x⁶ⁿ, -(x²)²ⁿ ∙ (хⁿ)⁴ + (-х)²ⁿ.

443. Знайдіть суму многочленів:

1) 0,24a² + b² + 4, 0,36а² + 2,3b² - 0,5, -0,3а + 0,41b + 0,4а²i 0,5 + 0,2b²;

2)a² + -b² + 5, а² + b² - 2,7 і -2а² - b² - ;

3) 3х²y² - х² + 3ух² + у²х, -5,4х²y + у² - 6у²х + у²х² і -4y²х² + 5у²х + х² + 2,4x²y.

444. Якими даними треба доповнити таблицю 9?

Таблиця 9

445. Нехай А = ух² + 2у²х - 2,4ух - 2, В = 3ху² - 5,2ху + 15 + у,

С = 17 - 5ху² + ху. Спростіть вираз: 1)A + В + С; 2)А - В + С.

446. Доведіть тотожність: а² + 2b² + (3а² + с - b²) - (c +2а²) = 2a² + b².

447. Доведіть, що сума многочленів аm - а, -0,5аm + + 2a і -1,25а - 6 не залежить від значень змінних, що входять до них.

448. Доведіть, що сума многочленів mn² + 1 m²n + 3, mn² + 2,5m²n і і mn² - 4m²n + 4 не залежить від значень змінних, що входять до них.

449. Запишіть многочлен -3а³ - 1 + 3а як суму двох многочленів, один з яких дорівнює:

1) 0,4а²+ 1,6а³;

2) а²+ 6;

3) -а³ + 8.

450. Знайдіть значення виразу:

1) 1,4ху² + 5ху + 0,25 - (ху -1,8ху² + 0,75) - (3,2y²х - 3ху), якщо ху =-1;

2) 4у² - у - 5х² + 8 - (3у² - 1,25у + 10 - 6х²) - 0,25у, якщо х² + у² = 2.

451. Знайдіть значення виразу:

1) 3x² + 4х + 1 + (-х + 5) - (2х² - 6х), якщо х = 3;

2) 7у²+(3у² + у - 4) - ((2у)² - 3у +1) - 3у, якщо у = -2.

452. Знайдіть значення виразу:

1) x - (-2)³ + xⁿ ∙ x - (-x + x¹⁺ⁿ) - 8, якщо x = 0,607;

2) 9х² + (х² - х³) + (x³ - x⁴) +…+ (x⁹ - x¹⁰) - (4 - х¹⁰), якщо x = 0,5.

453. Доведіть, що різниця многочленів х² + 4х + 2 і х² - 12х - 2 є — кратною числу 4 для будь-якого значення х.

454. Доведіть, що різниця многочленів 46а - 3 і а - 12 є кратною числу 9 для будь-якого значення а.

455. Доведіть, що:

1) сума трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3;

2) сума п'яти послідовних натуральних чисел ділиться на 5;

3) сума трьох послідовних парних натуральних чисел ділиться на 6.

456. Доведіть, що сума п'яти послідовних парних натуральних чисел ділиться на 10.

457. Позначимо — число, у якого а — кількість сотень, b — кількість десятків, с — кількість одиниць. Запишіть у вигляді многочлена вираз:

1)

458. Позначимо — число, у якого а — кількість десятків, b — одиниць. Запишіть у вигляді многочлена вираз:

459. Доведіть, що різниця двоцифрового числа і числа, яке записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку, ділиться на 9.

460. Доведіть, що сума двоцифрового числа і числа, яке записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку, ділиться на 11.

461. Доведіть, що сума многочленів 5х⁴ + 0,3х³ + 2х + 6, -2х³+ 7х² - 2х і 1,7х³ + 10 за будь-якого значення х набуває додатного значення.

462. Позначимо — число, у якого a — кількість сотень, b — кількість десятків, с — кількість одиниць. Знайдіть усі трицифрові числа , для яких виконується умова

463. Сума трицифрового числа і числа, яке записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку, менша від числа 505 на кількість десятків даного числа, помноженого на 81. Знайдіть yсі такі числа.

464. У чотирицифрового числа перша цифра (кількість тисяч) — 7. Якщо в даному числі цю цифру переставити на останнє місце, то отримаємо число, менше відданого на 864. Знайдіть це число.

465. Знайдіть трицифрове число якщо воно дорівнює сумі чисел

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

466. Ви поклали в банк А х грн під 20 % річних, а в банк В — у грн під 30 % річних. Який прибуток ви отримаєте через два роки?

467. У вас є три відра, кожне з яких уміщує цілу кількість літрів.

Якщо вилити повне перше відро води у друге, то вона займе його об’єму, а якщо вилити у третє, то його об’єму. Сума об'ємів трьох відер менша від 30 літрів. Знайдіть об’єми відер.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

468. Знайдіть довжину ліній Харківського метрополітену, що становить 62 % від довжини ліній Київського метрополітену, яка дорівнює 60 км.

469. Станція Арсенальна Київського метрополітену — найглибша у світі. Знайдіть її глибину, якщо вона становить 25 % від 420 м.

470. Морська вода містить 2 % солі. Скільки кілограмів солі треба додати до 20 кг морської води, щоб вміст солі в ній складав 4 %?

471. Морська вода містить 2 % солі. Скільки кілограмів прісної води треба додати до 20 кг морської води, щоб вміст солі в ній складав 1 %?