Алгебра 7 клас - Істер О.С. - Генеза 2015 рік

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

§ 3. Степінь з натуральним показником

Нагадаємо, що добуток кількох однакових множників можна записати у вигляді виразу, який називають степенем. Наприклад,

Множник, який повторюється, називають основою степеня, а число, яке показує кількість таких множників, — показником степеня. У виразі 4⁶число 4 = основа степеня, а число 6 - показник степеня. Оскільки 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 4096, то кажуть, що число 4096 є шостим степенем числа 4.

Степінь з основою а і показником n записують так: аⁿ, читають: «а в степені n» або «n-й степінь числа а».

За означенням степеня:

n > 1 і а¹ = а.

Нам уже відомо, що другий степінь числа а називають квадратом числа а, а третій степінь числа а називають кубом числа а.

Приклад 1.

Подати у вигляді степеня: 1) аа; 2) bbbb; 3) 17 ∙ 17 ∙ 17; 4) 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10.

Р о з в’ я з а н н я.

1 )аа = а^2; 2) bbbb = b⁴; 3) 17 ∙ 17 ∙ 17 = 17³; 4) 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 105.

Обчислення значення степеня с арифметичною дією, яку називають піднесенням до степеня.

Приклад 2.

Виконати піднесення до степеня:

1) 2⁴;

2) 0³;

3) (-6)²;

Р о з в я з а н н я.

1) 2⁴ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16;

2) 0³ = 0 ∙ 0 ∙ 0 = 0;

3) (-6)² =-6 ∙ (-6) = 36;

З’ясуємо знак степеня з натуральним показником n.

1) Якщо а = 0, то 0¹ = 0; 0² = 0 ∙ 0 = 0; … .

Отже, 0ⁿ = 0.

2) Якщо а > 0, то як добуток додатних чисел.

Отже, аn > 0 для будь-якого а > 0.

3) Якщо а < 0, при непарному значенні n маємо: аⁿ < 0 як добуток непарної кількості від’ємних множників; при парному значенні n маємо: аⁿ > 0 як добуток парної кількості від’ємних множників.

Якщо вираз містить декілька дій, то в першу чергу викопують дію піднесення до степеня, потім дії множення і ділення, а потім — дії додавання і віднімання.

Приклад 3.

Знайти значення виразу:

1) 3 - 7 ∙ 2³;

2) (2 + (- 3)⁴)²;

3) ((-1)⁵ + (-1)⁶)⁸;

4) 43 : 2⁷.

Р о з в ’ я з а н н я.

1) 3 - 7 ∙ 23 = 3 - 7 ∙ 8 = 3 - 56 = -53;

2) (2 + (-3)⁴)² = (2 + 81)² = 83² - 6889;

3) ((-1)⁵ + (-1)6)⁸ = (-1 + 1)⁸ = 0⁸ = 0;

4) 4³ : 2⁷ = 64 : 128 = 0,5.

Примітка: під час обчислень можна також записувати кожну дію окремо.

А ще раніше

Поняття степеня з натуральним показником сформувалося ще у стародавні часи. Квадрат числа використовували для обчислення площ, куб числа - для обчислення об’ємів. Степені деяких чисел у Стародавньому Єгипті та Вавилоні використовували під час розв'язування окремих задач.

Французький математик Ф. Вієт використовував букви N, Q і С не лише для записів відповідно х, х² і х³, а й для запису степенів вище третього. Наприклад, четвертий степінь він записував так: QQ.

Сучасний запис степенів був запропонований видатним французьким математиком, фізиком, філософом Рене Декартом. У своїй праці «Геометрія» (1634) він почав записувати степені з натуральним показником так, як ми це робимо зараз: с³, с^4, с⁵ і т. д Проте с² він записував як добуток: сс.

Рене Декарт (1596-1650)

Сформулюйте означення степеня з натуральним показником. Наведіть приклади степенів та назвіть їх основу та показник. Як називають другий степінь числа; третій степінь числа? Яким числом (додатним чи від’ємним) є степінь додатного числа; степінь від’ємного числа з парним показником; степінь від’ємного числа з непарним показником? У якому порядку викопують арифметичні дії у числових виразах, що містять степені?

62. Прочитайте вирази, назвіть основу і показник степеня:

1) 0,4⁷;

2) (-8)²;

3) (аb)³;

4) (х - у)⁵;

5) ( а²m);

6) (а² - b²)⁶.

63. Запишіть добуток у вигляді степеня:

1) 0,2 ∙ 0,2;

2) -6 ∙ (-6) ∙ (-6);

3) ∙ ∙ ∙ ∙ ;

4) - ∙ (-);

5) mmmm;

6) (ab) ∙ (ab);

8) (х - у)(х - у)(х - у).

64. Подайте добуток у вигляді степеня:

1) 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7;

2) -3 ∙ (-3) ∙ (-3) ∙ (-3);

3) ааааа;

4) (а + b)(а + b);

5) ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ;

65. Запишіть степінь у вигляді добутку однакових множників:

1) 35; 2) а³; 3) (а - b)²;

66. Подайте степінь у вигляді добутку однакових множників:

1) 5⁷; 2) b⁴ 3) (х + у)³;

67. (Усно) Обчисліть:

1)1³; 2) 0⁵; 3) 5²; 4) (-7)²; 5) (-2)³; 6) (-1)⁸.

68. Знайдіть значення виразу:

1) 3²; 2) 2³; 3) 0²; 4) 1⁷; 5) (-1)⁴; 6) (-1)³.

69. Виконайте піднесення до степеня:

1) 3⁵; 2) (0,7)²;

5) (-7)⁴; 6) (-0,3)³;

8) (-0,1)⁴.

70. Виконайте піднесення до степеня:

1) 5⁴; 2) (1,5)²;

5) ( 3)³; 6) (-1,7)²;

8) (-0,2)⁴.

71. Заповніть таблицю у зошиті:

72. Розкладіть натуральні числа на прості множники, використавши у запису степінь:

1) 16; 2) 27; 3) 50; 4) 1000; 5) 99; 6) 656.

73. Знайдіть значення виразу:

1) -5²;

3) -(-0,2)⁴;

4) -(-1)¹⁹.

74. Обчисліть:

1) -7³;

4) -(-1)¹⁶.

75. Порівняйте з нулем значення виразу (відповідь запишіть у вигляді нерівності):

1) (-5,7)²;

2) (-12,49)⁹;

3) -53⁷;

4) -(-2)⁵.

76. Порівняйте з нулем значення виразу (відповідь запишіть у вигляді нерівності):

1) (-4,7)³;

2) (-2,31)⁴;

3) -(-2)⁸;

4) -(-3)⁷.

77. Знайдіть значення виразу:

1) 0,2 ∙ 25²;

2)

4) 0,2 ∙ (-5)³;

7) 5² + (-5)⁴;

8) (3,4 - 3,6)².

78. Обчисліть:

1) 0.5 - 40²; 2);

7) 6² - (6)³; 8) (1,7 - 1,9)⁴.

79. Чи є правильними рівності:

1) 3² + 4² = 5²;   2) 4² + 5² = 6²;

3) 2³ + З³ = 5³;   4) 26 + 6² = 10²;

5)1³ + 2³ + 3³ = 6²;  6) (-5)² + (-12)²= (- 13)²?

80. Подайте:

1)0; 4; 0,16; ; 169; 1 у вигляді квадрата числа;

2) 64; -27; 0; 1; -; 1 у вигляді куба числа.

81. Подайте числа:

1) 5; 125; 625 у вигляді степеня з основою 5;

2) 100; 10 000; 10 у вигляді степеня з основою 10.

82. Подайте:

1) 8; 81; -125; -64; 0,16; 0,001; 3 ; 1 у вигляді квадрата або куба числа;

2) 2; 4; 8; 256 у вигляді степеня з основою 2;

3) 81; -27; -3 у вигляді степеня з основою -3.

83. Обчисліть:

1) суму квадратів чисел 0,6 і -0,7;

2) квадрат суми чисел 5,7 і -6,3;

3) різницю кубів чисел 2,3 і 2,2;

4) куб суми чисел 8,2 і 1,8.

84. Знайдіть значення виразу:

1) х³, якщо х = 0; - 1; 1; -3; 3;

2) а + а² + а³, якщо а = 1; -1; -2;

3) (15х)⁴, якщо х =; ;

4) а² - b², якщо а = -6; b = -8.

85. Знайдіть значення виразу:

1) 0,01а⁴, якщо а - 2; -5; 10;

2) 5с² - 4, якщо с = 0,2; -0,1; 0;

3) (m + n)³, якщо m = -4, n = -1;

4) 4х² - х³, якщо х = 1; -2; -3.

86. Не викопуючи обчислень, порівняйте:

1) -2⁴ і (-2)⁴; 2) (-7)³ і (-6)²;

3) (-12)⁸ і 12⁸; 4) -5³ і (-5)³.

87. Порівняйте значення виразів:

1) -x² і (-х)², якщо х = 5; -3; 0;

2) -x³ і (-х)³, якщо х = -2; 0; 3.

88. Замініть зірочку знаком >, <, , так, щоб одержана нерівність була правильною при будь-яких значеннях змінних:

1) а² * 0;

2) -b * 0;

3) m² + 3 * 0;

4) -р* - 1 * 0;

5) (а - 3)² * 0;

6) а² + b² * 0;

7) х² + у² + 5 * 0;

8) (m - n)²+ 1 * 0;

9) (р + 9)² * 0.

89. Якого найменшого значення може набувати вираз:

1) а² + 1;

2) 3 + (m - 3)²;

3) (а + 8)⁴ - 5?

90. Якого найбільшого значення може набувати вираз:

1) -х² + 2;

2) -(m - 2)⁴ + 1;

3) 5 - (а + 9)²?

Вправи для повторення

91. Запишіть дріб у вигляді відсотків:

1) 0,8; 2) 1,13; 3) 8,3; 4) 0,007.

92. Обчисліть:

1) (9 - 7 ) ∙ 4,5 — 2 : 0,52;

2) ∙ (-0,1625) - ( + 1 ) ∙ 1,32.

93. При деяких натуральних значеннях х і у значення виразу х + 3y ділиться на 5. Чи ділиться на 5 значення виразу 7х + 21у при тих самих значеннях х і у?

Цікаві задачі для учнів неледачих

94. Доведіть ознаку подільності на 4: натуральне число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли число, записане його двома останніми цифрами, ділиться на 4.