Алгебра 7 клас - Істер О.С. - Генеза 2015 рік

Розділ 3. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА ЇХ СИСТЕМИ

§ 28. Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки

Графічний спосіб розв'язування систем рівнянь є досить громіздким і до того ж не завжди допомагає знайти точні розв’язки. Розглянемо інші (не графічні) способи розв’язування систем лінійних рівнянь з двома змінними, які називають аналітичними. Почнемо зі способу підстановки.

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь:

(1)

Р о з в ’ я з а н н я. З першого рівняння виразимо змінну у через змінну х:

у = 3 - 2х.

Підставимо вираз 3 - 2х в друге рівняння замість у. Одержимо систему:

(2)

Тепер друге рівняння системи (2) містить лише змінну х. Розв’яжемо його:

-3х + 12 - 8х = -10;

-11х = -22;

х = 2.

Підставимо число 2 замість х у рівність у = 3 - 2х. Одержимо відповідне значення у:

у = 3 - 2 ∙ 2;

у = -1.

Пара (2; -1) є розв’язком кожного з рівнянь системи (2), отже, є розв’язком системи (2). Ця пара є розв’язком кожного з рівнянь системи (1) і тому є розв’язком системи (1).

В і д п о в і д ь: (2; -1).

Розв’язуючи систему (1) способом підстановки, ми замінили її рівносильною їй системою (2), друге рівняння якої містило лише одну змінну.

Послідовність дій, якої слід дотримуватися, розв’язуючи систему лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки, розглянемо на прикладі системи

1

Виразимо з якого-небудь рівняння системи одну змінну через іншу (наприклад, з першого)

3х = 1 + 7у,

х =

2

Одержаний для цієї змінної вираз підставимо в друге рівняння системи

4 ∙ + 9y = 38

3

Розв’яжемо одержане рівняння з однією змінною, тобто знайдемо значення цієї змінної

4(1 + 7у) + 3 ∙ 9у = 3 ∙ 38,

4 + 28у + 27у = 114,

55у = 110,

у= 2

4

Знайдемо відповідне їй значення іншої змінної

х =

х = 5

5

Запишемо відповідь

В і д п о в і д ь: (5; 2)

Спосіб підстановки зручно застосовувати тоді, коли хоча б один з коефіцієнтів при змінних х або у дорівнює 1 або -1. Саме змінну з таким коефіцієнтом доцільно виражати через іншу. Способом підстановки можна розв’язати й інші системи.

Приклад 2. Розв’язати систему:

Р о з в ’я з а н н я. У першому рівнянні системи розкриємо дужки, а обидві частини другого рівняння помножимо на 6.

Матимемо:

Спростивши кожне з рівнянь системи, зведемо її до вигляду:

Далі застосуємо спосіб підстановки. Виразимо з першого рівняння у через х: у = . Підставивши цей вираз у друге рівняння і розв’язавши його, одержимо, що х = -3.

Знайдемо відповідне йому значення у: у = , тобто у = 4.

В і д п о в і д ь: (-3; 4).

Якої послідовності дій слід дотримуватися, розв’язуючи систему двох лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки?

  1. (Усно) У якій з рівностей 1) - 3) правильно виконано підстановку для розв’язування системи рівнянь

1) 2х + 3(7у - 5) = 9;

2) 2 + (7у - 5) + 3у = 9;

3) 2(7у - 5) + 3у = 9?

  1. Яка з рівностей є правильно застосованою підстановкою для розв'язування системи рівнянь

1) 7(4х + 3) + 2у = 9;

2) 7х + 2 - (4х + 3) = 9;

3) 7х + 2(4х + 3) = 9.

  1. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:
  2. Розв’яжіть систему рівнянь:
  3. Знайдіть розв’язок системи:
  4. Знайдіть розв’язок системи:
  5. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:
  6. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь х + у = 4 і 2х + 3у = 9.
  7. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь х - у = 3 і 3х + 2у = 14.
  8. Розв’яжіть систему рівнянь:
  9. Розв’яжіть систему рівнянь:
  10. Знайдіть розв’язок системи:
  11. Розв’яжіть систему рівнянь:
  12. Розв’яжіть систему рівнянь:
  13. Знайдіть розв'язки системи рівнянь:
  14. Розв’яжіть систему рівнянь:
  15. Розв’яжіть систему рівнянь:
  16. Доведіть, що графіки рівнянь 2х - 3у = 4 і 4х - 6у = 9 є паралельними прямими.
  17. Графік функції у = kx + l проходить через точки М(9; 1) і N(-6; -4). Знайдіть k i l.
  18. Графіком функції у = kx + l є пряма, що проходить через точки А(-2; -4) і В(4; 11). Задайте що функцію формулою.
  19. При яких значеннях m система:

не має розв’язків;

має безліч розв’язків?

Вправи для повторення

  1. Побудуйте графік функції, заданої формулою у = х.

За допомогою графіка знайдіть:

1) значення у, якщо х = -6; 0; 3.

2) значення х, для яких у = -2; 0; 4.

  1. Розкладіть многочлен на множники:

1) 9m2 + 12m5 - 18m3;

2) 3х4у2 - 9х2у3 + 12х3у;

3) а6 - 6 - 2а2 + 3а4;

4) pq - 6р + р2 - 6q.

  1. Доведіть, що рівняння не має розв'язків:

1) х2 + 4 = 0;

2) х2 - 6х + 13 = 0;

3) 4х2 - 12х + 16 = 0;

4) х2 + х + 2 = 0.

Цікаві задачі для учнів неледачих

  1. Доведіть, що якщо добуток чотирьох послідовних натуральних чисел збільшити на 1, то він дорівнюватиме квадрату деякого натурального числа.




Перша публікація: 01/01/2015

Останнє оновлення: 31/12/2023

Редакційна та навчальна адаптація: Даний матеріал зведено на основі першоджерела/оригінального тексту. Команда проєкту здійснила редакційне оглядове опрацювання, виправлення технічних неточностей, структурування розділів та адаптацію змісту до навчального формату.

Що було опрацьовано:

  • усунення форматних дефектів (OCR-помилки, розриви структури, дефектні символи);
  • редакційне упорядкування змісту;
  • уніфікація термінів відповідно до академічних джерел;
  • перевірка відповідності фактичних тверджень тексту першоджерела.

Усі згадки про автора, рік видання та походження первинного тексту збережено відповідно до джерела.