Алгебра 7 клас - Істер О.С. - Генеза 2015 рік

Розділ 3. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА ЇХ СИСТЕМИ

§ 25. Лінійне рівняння з двома змінними

У попередніх параграфах ми розглядали рівняння з однією змінною. Проте в алгебрі трапляються рівняння і з декількома змінними. Зокрема, ми розглянемо рівняння з двома змінними.

Приклад 1. Сума одного числа з квадратом другого дорівнює 17. Якщо перше число позначити через х, а друге - через у, то співвідношення між ними можна записати у вигляді рівності х + у² = 17, яка містить дві змінні х і у. Такі рівності називають рівняннями з двома змінними (або рівняннями з двома невідомими).

Якщо х - 1; у = 4, то рівняння х + у² = 17 перетворюється на правильну числову рівність. У такому випадку кажуть, що пара значень змінних х = 1; у = 4 є розв'язком рівняння х + у² = 17. Або скорочено: пара чисел (1; 4) є розв’язком рівняння.

Розв’язками рівняння х + у² = 17 є також пари ( 8; 5); (8; 3); (16; -1). При такому скороченому запису розв’язків рівняння важливо знати, значення якої із двох змінних стоїть на першому місці, а якої - на другому. Якщо рівняння містить змінні х і у, то па першому місці записують значення змінної х, а па другому - значення змінної у.

Щоб знайти розв’язок рівняння з двома змінними, можна підставити в рівняння довільне значення однієї зі змінних і, розв’язавши одержане рівняння, знайти відповідне їй значення другої змінної.

Знайдемо в такий спосіб ще кілька розв'язків рівняння х + у^2, = 17. Нехай у = - 2, тоді х + (- 2)² = 17, звідки х = 13; нехай у = 6, тоді х + 6² = 17, звідки х = -19.

Маємо ще два розв’язки рівняння: (13; -2) і (-19; 6).

Рівняння з двома змінними, які мають одні й ті самі розв’язки, називають рівносильними. Рівняння, які не мають розв’язків, також є рівносильними.

Приклад 2. Розглянемо рівняння 7х + 3у + 2 = 5(у - 1). Це рівняння з двома змінними. Якщо в ньому розкрити дужки, потім перенести доданки, що містять змінні, в одну частину рівняння, а ті, що їх не містять, - в другу, далі звести подібні доданки, одержимо рівняння 7х - 2у = -7, яке буде рівносильним рівнянню 7х + 3у + 2 = 5(у - 1).

Використовуючи властивості рівнянь з двома змінними, можна знаходити їх розв’язки й іншим способом.

Приклад 3. Розглянемо рівняння 3x + 5у = 2. Використовуючи властивості рівносильності рівнянь, виразимо в цьому рівнянні одну змінну через іншу. Наприклад, змінну у через змінну х. Для цього спочатку 3х перенесемо в праву частину рівняння: 5у = -3х + 2, потім обидві частини поділимо на 5 і одержимо у = -0,6х + 0,4. Це рівняння рівносильне рівнянню 3х + 5у = 2. Тепер маючи формулу у = -0,6х + 0,4, можна знайти скільки завгодно розв’язків рівняння 3х + 5у = 2. Для цього достатньо взяти довільне значення змінної х і обчислити відповідне йому значення змінної у. Пари таких значень змінних х і у занесемо в таблицю:

Пари чисел, записані у стовпчиках таблиці, є розв’язками рівняння 3х + 5у = 2. Це рівняння має безліч розв’язків.

Наведіть приклад рівняння з двома змінними. Що називають розв’язком рівняння з двома змінними?

Сформулюйте означення лінійного рівняння а двома змінними. Наведіть приклад лілійного рівняння з двома змінними. Які рівняння з двома змінними називають рівносильними? Які властивості мають рівняння з двома змінними?

944. (Усно) Укажіть рівняння, що є рівняннями з двома змінними:

1) х² + 2ху = 7;

2) 3ху - 2х - 7 = 0;

3) 7х - 2у = 9;

4) х² + у² + z² = 9;

5) 2х + 3х² = 7у² - 5у;

6) + + = 1 ?

945. (Усно) Чи є лінійним рівняння з двома змінними:

1) 2х - 3у = 7;

2) 2х² - 3у = 7;

3) 5х + 13у = 0;

4) = 9;

5) 0х + 5у = 20;

6) 7х + 25у² = 3?

946. Укажіть рівняння з двома змінними. Які з них є лінійними:

1) 2х - 5у = 19;

2) 7х² - 5у² - 9;

3) хуz = 3;

4) 7x - 0у = 14;

5) (х - 2)(у + 3) = 17;

6) 1 x + 1 y = 2 ?

947. (Усно) Чи є пара чисел розв’язком рівняння х - у = 0:

1) (5; 5);

2) (-3; 3);

3) (0; 0)?

948. Чи є пара чисел х = 5; у = 2 розв’язком рівняння х + у = 7? Знайдіть ще три розв’язки цього рівняння.

949. Які з пар чисел (10; 1), (1; 10), (7; 2), (7; -2), (9; 0) є розв’язками рівняння х - у = 9?

950. Які з пар чисел (2; 1), (2; -1), (0; 5), (1; 3), (-1; 5) є розв’язками рівняння 2х + у = 5?

951. Розв’язком яких рівнянь є пара чисел (-1; 3):

1) 2х - 17у = 53;

2) 3х² + у² = 12;

3) (х - 3)(у + 2) = -20;

4) 0х + 4у = -12;

5) 0х + 0у = 0;

6) х² + 1 = у² - 7?

952. Розв’язком яких рівнянь є пара чисел х = 2; у = -1:

1) 3х + у = 5;

2) х² + у² = 3;

3) 2х + 0у = 4;

4) х(у + 3) = 14;

5) 0х + 0у = 7;

6) х + у = 0?

953. Знайдіть три будь-яких розв’язки рівняння:

1) х + у = -3;

2) х - 2у = 5.

954. Знайдіть три будь-яких розв’язки рівняння:

1) х - у = 2;

2) х + 3у = 0.

955. Складіть лінійне рівняння з двома змінними, розв'язком якого є пара чисел х = 3; у = -2.

956. Складіть лінійне рівняння з двома змінними, розв’язком якого є пара чисел (-2; 0).

957. Виразіть з рівняння 5х + у = 7 змінну у через змінну х.

958. Виразіть з рівняння х - 3у = 9 змінну х через змінну у.

959. З лінійного рівняння 3х - 2у = 12 виразіть:

1) змінну у через змінну х;

2) змінну х через змінну у.

960. Виразивши з рівняння змінну у через змінну х, знайдіть два будь-яких розв’язки рівняння:

1) х + у = 29;

2) 5х + у = 7;

3) 3х - 2у = 15;

4) 6у - х = 5.

961. Виразивши в рівнянні змінну у через змінну х або змінну х через змінну у знайдіть три будь-яких розв’язки рівняння:

1) х - 2у = -8;

2) 7х - у = 9;

3) 3х + 2у = 6;

4) 5х - 7у = 12.

962. Пара чисел (-5; р) є розв’язком рівняння 2х - у = -13. Знайдіть р.

963. Пара чисел (n; -1) є розв’язком рівняння 3х + 5у = 4. Знайдіть n.

964. Знайдіть m, якщо пара чисeл (-1; -3) є розв’язком рівняння:

1) 8х + 9у = m;

2) mх - 2у = -9.

965. При якому значенні d пара чисел (2; -1) є розв’язком рівняння:

1) 7х - 5у = d;

2) 3х + dy = 8?

966. Знайдіть два деяких розв’язки рівняння

2(х - у) = 3(х + у) + 4.

967. Серед розв’язків рівняння х + 3у - 20 знайдіть пару рівних між собою чисел.

968. Знайдіть р, якщо:

1) пара (р; р) є розв’язком рівняння 4х - 9у = -10;

2) пара (р; р) є розв’язком рівняння 17х + 12у = 105.

969. Знайдіть усі пари натуральних чисел, які є розв’язками рівняння:

1) 2х + у = -7;

2) 3х + 2у = 5;

3) x + 7у = 15;

4) ху = 7.

Вправи для повторення

970. Функцію задано формулою y = . Заповніть у зошиті таблицю, обчисливши відповідні значення функції:

971. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (х - 10)² - x(х + 80), якщо х = 0,83;

2) (5m + 3)² - (5m - 3)², якщо n = - .

972. Відомо, що а + b = -1, аb = -6. Знайдіть значення виразів:

1) а^2b + bа²;

2) а² + b²;

3) (а - b)²;

4) а³ + b³.

Цікаві задачі для учнів неледачих

973. Дано два трицифрових числа, сума яких ділиться на 37. Ці числа записали в рядок одне за одним. Доведіть, що одержане у такий спосіб шестицифрове число також ділиться на 37.