Алгебра 7 клас - Істер О.С. - Генеза 2015 рік

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

§ 1. Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу

Числові вирази утворюють із чисел за допомогою знаків дій і дужок. Наприклад, числовими виразами є:

12 ∙ 3 - 9; 1,2³; 5 - ( 5,7 : 3 + 1 ) тощо.

Число, що є результатом виконання всіх дій у числовому виразі, називають значенням виразу.

Оскільки 12 ∙ 3 - 9 = 36 - 9 = 27, то число 27 є значенням числового виразу 12 ∙ 3 = 9.

Якщо числовий вираз містить дію, яку неможливо виконати, то кажуть, що вираз не має смислу (змісту). Наприклад, вираз

5 : (8 : 2 - 4) не має смислу, бо 8 : 2 - 4 = 0 і наступну дію 5 : 0 виконати неможливо.

Окрім числових виразів у математиці зустрічаються вирази, що містять букви. Такі вирази ми називали буквеними.

Приклад 1. Нехай необхідно знайти площу прямокутника, довжина якого дорівнює 10 см, а ширина - b см.

За формулою площі прямокутника маємо: S = 10b. Якщо, наприклад, b - 3, то S = 30, а якщо b = 7, то S = 70. У виразі 106 буква b може набувати різних значень, тобто її значення можна змінювати. При цьому буде змінюватися і значення виразу 10 b. Оскільки значення b може змінюватися (набувати різних, у даному випадку додатних значень), то букву b в такому виразі називають змінною, а сам вираз 10b - виразом зі змінною.

Наприклад, вирази 5 + а; 2(6 - 3х); виразами зі змінними.

Якщо у вираз зі змінними замість змінних підставимо певні числа, то одержимо числовий вираз. Його значення називають числовим значенням виразу для вибраних значень змінних.

Приклад 2. Знайти значення виразу:

1) (5 + b) : 4, якщо b = 0; -2; 2) a - , якщо а = 17, с = -5.

Р о з в’ я з а н н я.

1) Якщо b = 0, то (5 + b) : 4 = (5 + 0) : 4 = 1,25;

якщо b = -2, то (5 + b) : 4 = (5 + (-2)) : 4 = 0,75.

2) Якщо а = 17, с = -5, то a - = 17 - = = 1 .

Вираз, який складається із чисел і змінних, сполучених знаками дій та дужок, називають раціональним виразом. Наприклад, раціональними є вирази:

2 а - m; p + ; - (x - 9 + y); 5 + ; - 3; a + b - .

Раціональний вираз, який не містить ділення на вираз зі змінною, називають цілим раціональним виразом. Якщо в раціональному виразі є ділення на вираз зі змінною, його називають дробовим раціональним виразом. Три перших з поданих вище виразів - цілі, а три останніх - дробові.

Вирази зі змінними використовують для запису формул.

Наприклад, s = vt - формула відстані; Р = 2(а + b) - формула периметра прямокутника; n = 2k (де k - ціле число) - формула парного числа; n = 2k + 1 (де k - ціле число) - формула непарного числа; n = 7k (де k - ціле число) - формула числа, кратного числу 7.

А ще раніше …

Поява букв і знаків арифметичних дій y математичних записах є результатом розвитку математичної науки. У своїх працях шукане невідоме число стародавні єгипетські вчені називали «хау» (у перекладі - «купа»), а знаки математичних дій взагалі не вживали, записуючи усе переважно словами. І хоча потреба у використанні знаків математичних дій виникла ще у Стародавньому Єгипті, з'явилися вони набагато пізніше. Замість знаків додавання і

віднімання стародавні математики використовували малюнки або слова, що призводило до громіздких записів.

Знаки арифметичних дій стали зустрічатися в наукових працях математиків, починаючи з XV ст. На сьогодні відомо, ким і коли було запропоновано деякі математичні знаки для записів. Так, знаки «+» і«-» зустрічаються вперше у 1489 році в праці «Арифметика» Погана Відмана. професора Лейпцизького університету. Знак «х» для позначення дії множення введено англійським математиком Вільямом Оутредом у 1631 році. Для позначення дії ділення він використовував риску «/». Дробову риску в математичних записах (для відокремлення чисельника дробу від його знаменника) уже в 1202 році використовував Леонардо Пізанський, відомий математик середньовічної Європи. Німецький математик, фізик і філософ Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716) запропонував використовувати у якості знака множення крапку («∙»), а у якості знака ділення - двокрапку («:»). Це відбулося у 1693 році та у 1684 році відповідно. Знак рівності («-») було введено в 1557 році Робертом Рекордом, математиком, який народився в Уельсі і довгий час був особистим лікарем королівської сім'ї Великої Британії.

Величезний внесок у розвиток алгебраїчної символіки зробив у XVI ст. видатний французький математик Франсуа Віст, якого називають «батьком» алгебри. Саме він став позначати буквами не тільки змінні, а й будь-які числа, зокрема коефіцієнти при змінних. Проте його символіка відрізнялася від сучасної.

Замість х, х² і х³ Вієт писав відповідно букви N (Numerus - число), Q (Quadratus - квадрат) і С (Сubus - куб). Наприклад, рівняння х³ + 7x² - 8х = 20 він записував так:

1C + 7Q - 8N aequ 20 (aequali - дорівнює).

Франсуа Віст (1540-1603)

Із чого утворюють числові вирази? Що називають значениям числового виразу? Із чого утворюють вирази зі змінними? Що називають числовим значенням виразу для вибраних значень змінних? Наведіть приклад числового виразу і виразу зі змінними. Який вираз називають цілим раціональним виразом?

1. (Усно) Які з наведених нижче виразів є числовими, а які - виразами зі змінними:

1) 5 + m² - а;

2) (12 - 3) : 4;

3) ;

4) (0 - 8) ∙ 5 - 13?

2. (Усно) Які з раціональних виразів є цілими, а які - дробовими:

1) ;

2) ;

3) m + ;

4) m + ?

3. Випишіть окремо: числові вирази; вирази зі змінними; цілі раціональні вирази; дробові раціональні вирази:

1) 5 + с;

2) (2 - 15) ∙ 4;

3) ;

4) q² - 19;

5) 7 + ;

6) ab;

7) ;

8) .

4. Прочитайте словами вирази зі змінними:

1) х + 7;

2) m - а;

3) 5ab;

4) 5 : (с + 9).

5. Складіть і запишіть по два вирази:

1) зі змінною а;

2) зі змінними х і у.

6. Складіть і запишіть по три вирази:

1) зі змінною х;

2) зі змінними а і b.

7. (Усно) Які з даних числових виразів не мають смислу:

1) (5 - 6) : 7;

2) (10 - 2 ∙ 5) : 7;

3) 4 : (12 - 2 ∙ 6);

4) ?

8. Знайдіть значення виразу:

1) 5х - 3, якщо х = 1,8; де x = 2 ;

2) а² + 3а, якщо а = -1; а = 0,8.

9. Знайдіть значення виразу:

1) 5m + 2n, якщо m = -1,3; n = 2 ;

2) а(2b - с), якщо а = 1,5; b = 3,2; с = -1,4.

10. Знайдіть значення виразу:

1) b² - 4b, якщо b = -2; b = 0,5;

2) х² - y², якщо х = 5; у = -3; якщо х = 0,1; у = 0,2.

11. Запишіть у вигляді виразу:

1) суму чисел b і с;

2) добуток чисел 5m і n³;

3) квадрат суми чисел а і 9р;

4) різницю квадратів чисел 3d і 7r.

12. Запишіть у вигляді виразу:

1) різницю чисел р і 7;

2) частку чисел а + с і d;

3) суму числа а і добутку чисел m і n.

13. Заповніть у зошиті наступні таблиці:

14. Дізнайтеся прізвище видатного українського кардіохірурга. Для цього знайдіть значення виразу в першій таблиці і перенесіть букви, що відповідають знайденим значенням, у другу таблицю.

15. Порівняйте суму а + b з добутком ab, якщо:

1) а = 0, b = -2;

2) а = -3, b = 2.

16. Майстер за одну годину виготовляє х деталей, а його учень — у деталей. Скільки деталей вони виготовили разом, якщо майстер працював 8 год, а учень — 4 год?

17. (Усно) Нехай а дм - довжина прямокутника, b дм - його ширина. Що означають вирази:

1) ab;

2) 2(а + b);

3) 2а;

4) ?

18. Ручка коштує х грн, олівець у грн (x > у). Що означають вирази:

1) х + у;

2) 3х + 4у;

3) х - у;

4) ?

19. Запишіть у вигляді виразу час, який учень щоденно проводить у школі, якщо у нього а уроків по 45 хв, b перерв по 15 хв і с перерв по 10 хв. Обчисліть значення цього виразу, якщо а = 6; b = 2; с = 3.

20. Коли Марійка витягла зі своєї скарбнички всі монети, то виявилося, що там було х монет номіналом 10 коп., у монет номіналом 25 коп. і z монет номіналом 50 коп. Обчисліть, яку суму коштів назбирала Марійка, якщо х = 8; у = 5; z = 20.

21. При якому значенні змінної а значення виразу 5а - 8 дорівнює -13?

22. При якому значенні де значення виразів 3х - 4 і -2х + 7 рівні між собою?

23. Складіть формулу цілого числа, яке:

1) кратне числу 9;

2) при діленні на 5 дає в остачі 1.

24. При деяких значеннях а і b значення виразу а - b дорівнює 2,25. Якого значення при тих самих значеннях а і b набуває вираз:

1) 4(а - b);

2) b - а;

3) ;

4)

25. При деяких значеннях с і d значення виразу с - d дорівнює . Якого значення при тих самих значеннях с і d набуває вираз:

1) 7(с - d);

2) d - c;

3) ;

4) ?

26. Складіть вирази для обчислення площ фігур (мал. 1-3):

Мал. 1

Мал. 2

Мал. 3

Вправи для повторення

27. Обчисліть:

1) 13²;

2) 73;

3) (-2,1)²;

4) (-1,1)³;

8) 0,23.

28. Якою цифрою закінчується значення виразу:

1) 132²; 2) 271³; 3) 2017²; 4) 1315² - 115³?

29. Власна швидкість катера 26 км/год, а швидкість течії річки - 2 км/год. Знайдіть відстань між двома пристанями, якщо в одному напрямі катер проходить її на 30 хв швидше, ніж у зворотному.

Цікаві задачі для учнів неледачих

30. Чи існує таке значення х, для якого:

1) -х > ;

2) х > ?