Підручник Математика 5 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

Розділ І НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ

§ 3. МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

24. Комбінаторні задачі

Припустимо, що ви не можете пригадати останню цифру номера телефону свого друга. Яку найбільшу кількість номерів доведеться набрати, щоб йому додзвонитися?

Оскільки в кінці телефонного номера може стояти будь-яка з десяти цифр, то вам у найгіршому випадку доведеться зробити 10 спроб, тим самим перебравши всі можливі варіанти.

Нерідко в повсякденному житті ми стикаємось із задачами, розв’язання яких потребує розгляду та підрахунку всіх можливих випадків, або, як ще прийнято говорити, усіх можливих комбінацій. Тому такі задачі називають комбінаторними.

ПРИКЛАД 1 Однокласниці Олена, Валентина та Катерина чергують по школі. Скількома способами класний керівник може розставити дівчинок по одній на кожному з трьох поверхів школи?

Розв’язання. Припустимо, що Олену призначили чергувати на третьому поверсі. Тоді на другому поверсі може чергувати Валентина або Катерина, а на першому — відповідно Катерина або Валентина.

Отримуємо два способи (дві комбінації, два варіанти) розподілу чергування (дівчинок позначено першими буквами імен):

Нехай тепер черговою на третьому поверсі призначили Валентину. Тоді на другому поверсі може чергувати Олена або Катерина, а на першому — відповідно Катерина або Олена. Отримуємо ще два способи розподілу чергування:

І нарешті, припустимо, що черговою на третьому поверсі призначили Катерину. Отримуємо ще два способи розподілу чергування:

Таким чином, отримали шість способів розподілу чергування:

Відповідь: 6 способів.

ПРИКЛАД 2 Скільки кутів зображено на рисунку 181?

Розв’язання. Позначення будь-якого кута, зображеного на рисунку, складається з трьох букв, другою з яких обов’язково є буква О, а дві інші вибирають із букв А, В, С, D. Тому шукана кількість кутів дорівнює кількості способів вибрати з букв А, В, С, D дві букви.

Записуючи всі можливі варіанти, треба врахувати, що комбінації, які відрізняються порядком слідування букв, відповідають одному й тому самому куту. Наприклад, комбінації АВ і ВА відповідають одному й тому самому куту АОВ.

Рис. 181

Спочатку запишемо всі пари букв, першою в яких є буква А:

АВ, АС, АВ.

Тепер запишемо пари букв, першою в яких є буква В, а другою не є буква А:

ВС, BD.

Залишилося записати пари букв, першою в яких є буква С, а другою не є ні буква А, ні буква В:

CD.

Таким чином, отримали шість комбінацій: АВ, АС, AD, ВС, BD, CD.

Отже, на рисунку 181 зображено шість кутів.

Відповідь: 6 кутів.

?

Які задачі називають комбінаторними?

Розв’язуємо усно

1. Одним шаром паперу оклеїли куб, ребро якого дорівнює 3 дм. Скільки квадратних дециметрів паперу витратили на оклеювання куба?

2. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 240 см³. Якою з даних трійок чисел можна задати виміри цього паралелепіпеда:

1) 4 см, 6 см, 12 см; 3) 3 см, 5 см, 10 см;

2) 5 см, 6 см, 8 см; 4) 10 см, 10 см, 24 см?

3. Скільки центнерів пшениці можна засипати в бункер, який має форму прямокутного паралелепіпеда, якщо його довжина дорівнює 8 м, ширина — 2 м, висота — 1 м, а маса 1 м³ зерна становить 8 ц?

4. Що більше та на скільки:

1) квадрат суми чисел 4 і 3 чи сума їхніх квадратів;

2) різниця квадратів чисел 10 і 8 чи квадрат їхньої різниці;

3) різниця кубів чисел 5 і 3 чи куб їхньої різниці?

Вправи

654. Запишіть усі двоцифрові числа, у записі яких використовуються тільки цифри 1, 2 і 3 (цифри в числі можуть повторюватися).

655. Запишіть усі двоцифрові числа, у записі яких використовуються тільки цифри 1, 2 і 0 (цифри в числі можуть повторюватися).

656. Віслюк Іа має три надувні кульки: червону, зелену та жовту. Він хоче подарувати по одній кульці своїм друзям: Вінні-Пуху, П’ятачку і Кролику. Скільки варіантів зробити подарунки своїм друзям є у віслюка Іа?

657. Скільки двоцифрових чисел, усі цифри яких різні, можна записати за допомогою цифр 0, 1 і 2?

658. У футбольному турнірі беруть участь команди 5 «А» класу, 5 «Б» класу і 5 «В» класу. Скільки існує способів розподілу першого та другого місць серед цих команд? Розв’язання якої із задач за номерами 654-657 аналогічне розв’язанню цієї задачі?

659. Запишіть усі трицифрові числа, для запису яких використовуються цифри:

1)3, 4 і 6; 2)4, 7 і 0.

(Цифри в числі не можуть повторюватися.)

660. Скільки різних трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр:

1) 1 і 2; 2) 0 i 1?

(Цифри в числі можуть повторюватися.)

661. Запишіть усі двоцифрові числа, у записі яких використовуються тільки цифри 2, 4, 9 і 0. (Цифри в числі можуть повторюватися.)

662. Скільки двоцифрових чисел можна записати за допомогою цифр 6, 7, 8 і 9 так, щоб цифри були записані в порядку зростання?

663. Скільки двоцифрових чисел можна записати за допомогою цифр 6, 7, 8 і 9 так, щоб цифри були записані в порядку спадання?

664. Скільки існує двоцифрових чисел, сума цифр яких дорівнює 5?

665. Скільки двоцифрових чисел, сума цифр яких дорівнює парному числу, можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4 (цифри в числі можуть повторюватися)?

666. Скільки двоцифрових чисел, сума цифр яких дорівнює непарному числу, можна скласти з цифр 0, 1, 2, З?

667. Скільки існує різних прямокутників, периметри яких дорівнюють 24 см, а довжини сторін, виражені в сантиметрах, є натуральними числами?

668. Ганнуся має 30 однакових кубиків. Скільки різних прямокутних паралелепіпедів вона може з них скласти, якщо для побудови одного паралелепіпеда треба використати всі наявні 30 кубиків?

669. На прямій позначили чотири точки: А, В, С і D. Скільки існує відрізків з кінцями в позначених точках?

670. Підніжжя гори та її вершину зв’язують три стежки. Скільки існує маршрутів, які ведуть від підніжжя до вершини й потім униз до підніжжя?

671. Тетянка має чотири плаття та дві пари туфель. Скільки у Тетянки є варіантів вибрати наряд?

672. У загоні космонавтів є три пілоти та два інженери. Скільки існує способів скласти екіпаж з одного пілота й одного інженера?

673. На рисунку 182 зображено план одного району міста. Відрізками зображено вулиці. Скільки існує маршрутів з точки А в точку В, якщо пересуватися дозволено вулицями, що ведуть на північ або на схід?

Рис. 182

Вправи для повторення

674. Відстань між двома селами дорівнює 28 км. Із цих сіл одночасно в одному напрямку виїхали мотоцикліст і автобус. Автобус їхав попереду зі швидкістю 42 км/год, а мотоцикліст їхав зі швидкістю 56 км/год. Через скільки годин після початку руху мотоцикліст наздогнав автобус?

675. Розв’яжіть рівняння:

1) 1376 : (34 - х) = 86; 3) (х - 57) : 29 = 205;

2) 9680 : (х + 219) = 16; 4) (х - 72) ∙ 9 = 927.

676. Один із доданків у 14 разів більший за другий. У скільки разів їхня сума більша за менший із доданків?

677. Від’ємник у 12 разів більший за різницю. У скільки разів зменшуване більше за різницю?

678. Розгадайте кросворд:

По горизонталі: 1. Результат дії ділення. 2. Одиниця часу. 3. Одиниця виміру кутів. 4. Компонент множення. 5. Компонент додавання.

По вертикалі: 6. «Цариця наук».

Задача від Мудрої Сови

679. У класі 30 учнів. Вони сидять по двоє за 15 партами так, що половина всіх дівчинок сидить з хлопчиками. Чи можна учнів класу пересадити так, щоб половина всіх хлопчиків сиділа з дівчинками?