Підручник Математика 5 клас - Н. А. Тарасенкова - Освіта 2018 рік

Розділ 4. Квадрат і куб числа. Площі та об'єми фігур

У розділі дізнаєтесь:

• що таке квадрат і куб числа;

• який порядок виконання дій у виразах, що містять квадрат і куб числа;

• як обчислювати площу прямокутника і квадрата;

• що таке прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда;

• як обчислювати об’єм прямокутного паралелепіпеда і куба;

• як застосувати вивчений матеріал на практиці

§ 18. Квадрат і куб числа

Ви вже знаєте, що суму кількох рівних доданків можна знайти за допомогою дії множення. Наприклад; 4 + 4 = 4 ∙ 2. Добуток кількох рівних множників також можна знаходити по-іншому. У цьому параграфі ми розглянемо найпростіші випадки. З іншими випадками ви ознайомитесь у 7 класі.

1. Квадрат числа

Як можна по-іншому записати добуток 4 ∙ 4? Для цього використовують спеціальний вираз 4²:

4 ∙ 4 = 4².

Вираз 4² читають так: «чотири в квадраті». У ньому число 4 показує, яке число множили саме на себе, а число 2 — скільки множників було в добутку.

Запам'ятайте!

Квадратом натурального числа а називають добуток цього числа на себе.

а² = а ∙ а

Вираз а² читають так: «квадрат числа а», «а в квадраті».

Задача 1. Обчисліть значення виразу: 2 ∙ 10² - 8.

Розв'язання

Визначимо порядок виконання дій у заданому виразі:

Тепер виконаємо дії у цьому порядку:

1) 10² = 10 ∙ 10 = 100;

2) 2 ∙ 100 = 200;

3) 200 - 8 = 192.

Отже, 2- 10² - 8 = 2 ∙ 100 - 8 = 200 - 8 = 192.

Зверніть увагу

У виразах, що містять квадрати чисел, спочатку знаходять квадрати чисел, а потім виконують множення, ділення, додавання, віднімання.

2. Куб числа

Як можна коротше записати добуток 4 ∙ 4 ∙ 4? Для цього використовують спеціальний вираз 4³:

4 ∙ 4 ∙ 4 = 4³.

Вираз 4³ читають так: «чотири в кубі». У ньому число 4 показує, яке число множили саме на себе, а число 3 — скільки множників було в добутку.

Запам'ятайте!

Кубом натурального числа а називають добуток трьох множників, кожен з яких дорівнює а.

а³ = а ∙ а ∙ а

Вираз а³ читають так: «куб числа а», «а в кубі».

Задача 2. Обчисліть значення виразу: З³ + 2 ∙ 10² - 8.

Розв'язання

Зверніть увагу

У виразах, що містять квадрати й куби чисел, спочатку знаходять квадрати і куби чисел у тому порядку, як вони записані, а потім виконують множення, ділення, додавання, віднімання.

Для спрощення обчислень важливо запам’ятати квадрати й куби одноцифрових чисел.

Дізнайтеся більше

Створення сучасної математичної символіки відносять до XIV—XVII ст. Тоді у різних країнах стихійно з’являлися способи короткого запису математичних дій. Так, у XVI ст. конкурувало більше десяти способів для запису квадрата числа а, наприклад: се а, Qа, аа, а² та інші. Сучасний спосіб запису а² належить Р. Декарту (XVI ст.).

Словничок

Прослухайте в Інтернеті, як вимовляються ці слова.

Пригадайте головне

1. Що називають квадратом числа? Наведіть приклади.

2. Що називають кубом числа? Наведіть приклади.

3. Який порядок виконання дій у виразі, що містить квадрат числа? Квадрат і куб числа?

Розв'яжіть задачі

570'. Прочитайте вираз: 1) 2²; 2) З²; 3) 86²; 4) 100².

571'. Чи правильно Оленка записала рівності:

1) 25² = 25 - 2 ;

2) 7² = 7 ∙ 7;

3) 19² = 19 + 19?

572'. Як записати у вигляді квадрата добуток:

1) m ∙ m;

2) n ∙ n?

573'. Прочитайте вираз:

1) З³;

2) 17³;

3) 67³;

4) 200³.

574’. Як записати у вигляді куба добуток:

1) а ∙ а ∙ а;

2) с ∙ с ∙ с?

575°. Знайдіть а², якщо а дорівнює:

1) 15;

2) 17;

3) 20.

576°. За даними таблиці 15 знайдіть квадрат числа а.

Таблиця 15

577°. Обчисліть:

1) 350 - 6² - 3;

2) (350 - 6²) - 3;

3) (350 - 6)² ∙ 3;

4) 350 - (6 - З)².

578°. Обчисліть:

1) 120 - 9² : 3;

2) (120 - 9²) : 3;

3) (12 - 9)² : 3;

4) 12 - 9 : З².

579°. Знайдіть m³, якщо m дорівнює:

1) 5;

2) 7;

3) 11;

4) 20.

580°. Знайдіть с³, якщо с дорівнює:

1) 3;

2) 6;

3) 8;

4) 10.

581°. Розв’яжіть рівняння:

1) 2³ + х = 10;

2) 300 - x = б³;

3) 5³ + х = 625;

4) 9 — х = 1³.

582°.Розв'яжіть рівняння:

1) 2³ ∙ х = 16;

2) 4³ + х = 100.

583°. Запишіть у вигляді виразу:

1) сума квадрата числа 3 і числа 6;

2) різниця куба числа 5 і числа 100;

3) добуток числа 6 і квадрата числа 10;

4) частки куба числа 7 і числа 49.

584°. Запишіть у вигляді виразу:

1) сума квадрата числа 6 і числа 10;

2) добуток числа 2 і квадрата числа 8;

3) частка куба числа 5 і числа 5.

585. Знайдіть значення виразу (а + b)², якщо а - 2,аb дорівнює:

1) 12;

2) 5;

3) 10.

586. Знайдіть значення виразу а² + b², якщо а = 2, а b дорівнює:

1) 12;

2) 5;

3) 10.

587. Знайдіть значення виразу (а + b)³, якщо а = 1, а b дорівнює:

1) 2;

2) 5;

3) 9.

588. Знайдіть значення виразу а³ + b³, якщо а = 1, а b дорівнює:

1) 3;

2) 4;

3) 10.

589. Обчисліть:

1) 2 ∙ 5² + 12 ∙ б³ + 12 ∙ З²;

2) (2 ∙ 5² + 12) : 2³;

3) 15² : (6³ + З²);

4) (2³ ∙ З³) : (2² ∙ З²).

590. Обчисліть:

1) 5² - 2²∙ 6 + 4³;

2) (5² - 2² ∙ 6) + 4³.

591. Запишіть у вигляді виразу:

1) сума квадратів чисел а і b;

2) квадрат суми чисел а і b;

3) різниця кубів чисел х і 5;

4) куб різниці чисел х і 5;

5) сума квадратів чисел а, b, с;

6) добуток куба числа т і квадрата числа 3.

592. Запишіть у вигляді виразу:

1) сума квадратів чисел х і 6;

2) різниця кубів чисел 2 і b;

3) сума кубів чисел х, x, z;

4) добуток квадрата числа 5 і куба числа n.

593*. Розв’яжіть рівняння:

1) 4² ∙ х = б³ - 40;

2) 25 ∙ (7² - х) = 5³;

594*. Знайдіть різницю куба суми квадратів чисел 2 і 3 та квадрата суми кубів цих чисел.

595. Задача аль-Хорезмі (Середня Азія, близько 780 р.-850 р.). Подайте число 10 у вигляді двох натуральних доданків, сума квадратів яких дорівнює 58.

Застосуйте на практиці

596. Дванадцяткова система числення (лічба дюжинами) була створена ще стародавніми шумерами (5 тисячоліття до н. е.). У цій системі числення квадрат і куб числа 12 мають власні назви:

1 дюжина = 12 штук,

1 грос = 12 дюжин = 12² штук,

1 маса = 12 гросів = 12³ штук.

597. Скільки штук:

1) у двох масах;

2) у трьох дюжинах;

3) у чотирьох гросах?