Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 1 ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 5 РІВНЯННЯ

У попередніх класах ми вже вивчали деякі види рівнянь: лінійні, квадратні, біквадратні, дробово-раціональні тощо. Систематизуємо та поглибимо відомості про рівняння.

1. Поняття про рівняння і його корені

Нагадаємо, що рівнянням називають рівність, що містить змінну.

Рівняння зі змінною х у загальному вигляді можна записати так: f(х) = g(x).

Значення змінної, яке перетворює рівняння на правильну числову рівність, називають коренем (розв’язком) рівняння.

Наприклад, число 2 є коренем рівняння 2х - 3 = 1, бо 2 · 2 - 3 = 1, а 5 не є коренем цього рівняння, бо 2 · 5 - З ≠ 1.

Розв’язати рівняння — означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає.

2. Розв’язування рівнянь методом рівносильних перетворень

З поняттям рівносильних перетворень ми ознайомилися ще в курсі алгебри 7-го класу. Уточнимо означення рівносильності рівнянь.

Два рівняння називають рівносильними на деякій множині, якщо вони мають на цій множині одні й ті самі корені. Рівносильними вважають і рівняння, які не мають коренів.

Приклад 1. Рівняння х² = 1 і х - 1 = 0 на множині дійсних , чисел не є рівносильними, оскільки коренями першого є числа 1 і -1, а друге має лише один корінь - число 1. На множині невід’ємних чисел вони будуть рівносильними, оскільки матимуть один і той самий єдиний для кожного з рівнянь на цій множині корінь - число 1.

Рівносильні перетворення рівнянь покладено в основу відповідного методу розв’язування рівнянь, який полягає в заміні початкового рівняння рівносильним йому рівнянням (іноді кількома рівняннями) або системою, що містить інше, більш просте рівняння та деякі додаткові обмеження для змінної, записані у вигляді рівняння, нерівності тощо. У такому разі кажуть, що рівняння рівносильне рівнянню (сукупності рівнянь) або системі.

У попередніх класах ми вже розглядали деякі перетворення рівнянь, що зводять рівняння до йому рівносильного (до сукупності рівнянь) або рівносильної системи. Зокрема це:

1) розкриття дужок та зведення подібних доданків у будь-якій частині рівняння;

2) перенесення доданка з однієї частини рівняння в іншу зі зміною його знаку на протилежний;

3) множення або ділення обох частин рівняння на одне й те саме відмінне від нуля число;

4) заміна рівняння f(x)g(x) = 0 сукупністю рівнянь f(x) = 0 та g(x) = 0 (за умови, що вирази f(x) і g(x) мають зміст для усіх отриманих коренів цієї сукупності);

5) заміна рівняння = 0 системою

Пригадаємо, як розв’язати рівняння за допомогою рівносильних перетворень.

Приклад 2. Знайти корені рівняння 2(х - 1) + 3 = 4(х + 1) + 7.

Розв’язання.

2х - 2 + 3 = 4х + 4 + 7 (розкрили дужки);

2х - 4х = 4 + 7 + 2 - 3 (перенесли доданки);

-2х = 10 (звели подібні доданки);

х = 10 : (-2) (поділили обидві частини на -2);

х = -5 (отримали корінь).

Відповідь. -5.

Приклад 3. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Перенесемо всі доданки в ліву частину рівняння, далі зведемо дроби до спільного знаменника:

спростимо чисельник:

Рівняння рівносильне системі:

Коренями першого рівняння системи є числа -2 і -3, але, враховуючи другий рядок системи, отримаємо, що х ≠ 3 і x ≠ -3, тому х = -2 — єдиний корінь рівняння.

Відповідь. -2.

3. Рівняння-наслідки

Більшість рівнянь, які ми розглянули в попередніх класах, зручно було розв’язувати методом рівносильних перетворень. Перевагами методу є те, що за таких перетворень кожне наступне рівняння є простішим за попереднє, а множина коренів останнього рівняння є множиною коренів початкового.

Проте рівносильні перетворення іноді бувають досить громіздкими або призводять до систем, розв’язування яких може виявитися не тільки громіздким, а й потребуватиме знань, що виходять за межі шкільного курсу математики. У такому разі доцільно використовувати інший підхід - замінювати початкове рівняння рівнянням-наслідком.

Якщо кожен корінь першого рівняння є коренем другого рівняння, то друге рівняння називають наслідком першого.

Приклад 4. Розглянемо два рівняння:

Перше з них рівносильне системі

з якої отримаємо корінь: х = 2. Корені другого рівняння: х₁ = -1; х₂ = 2. Отже, рівняння х² - х - 2 = 0 є наслідком рівняння

Таким чином, можна дійти висновку, що під час переходу від рівняння до рівняння-наслідку можлива поява сторонніх коренів. Тому,

розв’язуючи рівняння за допомогою рівнянь-наслідків, треба обов’язково перевіряти, чи є отримані корені рівняння-наслідку коренями початкового рівняння.

Інакше кажучи, треба виконувати перевірку коренів.

Приклад 5. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Оскільки знаменники дробів рівні, то рів ними мають бути й чисельники. Маємо рівняння-наслідок:

х² = 3х - 2, тобто х² - 3х + 2 = 0, звідки х₁ = 1; х₂ = 2. Виконаємо перевірку коренів.

Якщо х₁ = 1, то: = , тому 1 - корінь рівняння.

Якщо х₂ = 2, то знаменники дробів перетворюються на нуль, тому число 2 не може бути коренем початкового рівняння, отже, є стороннім коренем.

Таким чином, число 1 - єдиний корінь початкового рівняння.

Відповідь. 1.

4. Область допустимих значень рівняння

Нагадаємо, що областю допустимих значень змінної у виразі називають усі значення змінної, при яких вираз має зміст. Розглянемо поняття області допустимих значень змінної в рівнянні.

Областю допустимих значень (ОДЗ) змінної в рівнянні f(x) = g(x) називають переріз областей допустимих значень змінної у виразах f(x) і g(x).

Ми вже згадували, що рівносильні перетворення іноді призводять до громіздких обчислень. Певні проблеми трапляються й під час використання рівнянь-наслідків, наприклад, іноді складно виконати перевірку отриманих з рівняння-наслідку коренів та виявити серед них сторонні. Зокрема, доволі складною і громіздкою є перевірка коренів, що є ірраціональними числами.

Розв’язуючи раціональне рівняння, цих проблем можна уникнути, якщо спочатку знайти ОДЗ змінної в рівнянні. Тоді, отримавши корені рівняння-наслідку, доцільніше перевірити, чи належать вони ОДЗ, ніж виконувати перевірку підстановкою їх у початкове рівняння. Ті корені, що не належатимуть ОДЗ, і будуть сторонніми. Цей спосіб є досить корисним і в тих випадках, коли перетворення призводять до розширення ОДЗ початкового рівняння, що, у свою чергу, призводить до появи сторонніх коренів. Розглянемо це на прикладі.

Приклад 6. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Областю допустимих значень змінної в рівнянні будуть всі значення х, крім числа -2. Надалі записуватимемо це так - ОДЗ: х ≠ -2.

Перенесемо всі доданки в ліву частину рівняння:

Оскільки

маємо: х² - х - 6 = 0, тоді х₁ = -2; х₂ = 3. Але -2 не належить ОДЗ і тому е стороннім коренем. Отже, 3 - єдиний корінь рівняння.

Відповідь. 3.

5. Найпростіші рівняння з параметром

Зазвичай у рівняннях літерами позначають змінні, але іноді, крім змінної, рівняння може містити ще й іншу літеру, якою позначено невідоме стале число. Цю літеру в рівнянні називають параметром, а рівняння, що її містить, рівнянням з параметром.

Якщо в рівнянні є параметр, то маємо вже не одне рівняння, а нескінченну їх кількість, які отримуватимемо для різних значень параметра. Для різних значень параметра кількість коренів рівняння також може бути різною.

Розв’язати рівняння з параметром означає для кожного значення параметра встановити, чи має рівняння корені, і якщо так, то знайти ці корені, які в більшості випадків залежатимуть від параметра.

У шкільному курсі математики до рівнянь з параметрами, зазвичай, висувають одну з двох вимог: розв’язати рівняння (мається на увазі, для кожного допустимого значення параметра) або знайти значення параметра, при якому рівняння задовольняє певну умову, зазвичай, щодо кількості або числових значень його коренів. Залежно від цих вимог рівняння з параметрами можна умовно поділити на два типи. При цьому будь-яке таке рівняння є по своєму унікальним, тому універсальних методів розв’язування рівнянь з параметрами не існує. Можна лише зазначити певні дії, без виконання яких розв’язання рівняння з параметром не буде успішним.

Наприклад, якщо поставлено вимогу розв’язати рівняння, то спочатку знаходять область допустимих значень параметра (якщо вона відмінна від множини всіх дійсних чисел), потім досліджують усі можливі випадки існування коренів, знаходячи значення параметра для кожного із цих випадків та відповідні їм корені. Усі знайдені значення параметра та відповідні їм корені зазначають у відповіді до задачі, зазвичай, у формі «Якщо…, то…». При цьому зазначені у відповіді значення параметра мають обов’язково охоплювати всю його область допустимих значень. Відсутність у відповіді хоча б одного значення параметра з його області допустимих значень означатиме, що деякі випадки існування коренів не розглянуто, тому відповідь є неповною.

Розглянемо кілька рівнянь такого типу на прикладах, де а - параметр.

Приклад 7. Розв’язати рівняння: (а² - 4)х = а - 2.

Розв’язання. Рівняння є лінійним. Якби воно не містило параметра, корінь ми б знаходили діленням обох частин рівняння на коефіцієнт при змінній х. Але цей коефіцієнт містить параметр, тому при певних значеннях параметра може дорівнювати нулю, і тоді виконувати ділення не можна. Отже, маємо випадки, коли а² - 4 = 0, тобто коли а = 2 або а = -2, та коли а² - 4 ≠ 0, тобто коли а ≠ 2 і а ≠ -2. Розглянемо кожний випадок окремо.

1) Нехай а = 2, тоді рівняння набуває вигляду 0 · х = 0, розв’язком якого є будь-яке число.

2) Нехай а = -2, тоді рівняння набуває вигляду 0 · х = -4 і розв’язків не має.

3) Нехай а ≠ 2, а ≠ -2, тоді

тобто

отже,

Відповідь. Якщо а = 2, то х — будь-яке число; якщо а = -2, коренів немає; якщо а ≠ 2 і а ≠ -2, то х = .

Приклад 8. Розв’язати рівняння: ах² - 2х + 1 = 0.

Розв’язання. Якщо а = 0, матимемо лінійне рівняння, якщо а ≠ 0, - квадратне. Розглянемо ці випадки.

1) Нехай а = 0, тоді рівняння набуває вигляду -2х + 1 = 0, отже, х = 0,5.

2) Нехай а ≠ 0. Знаходимо дискримінант квадратного рівняння: D = 4 - 4а.

Якщо D > 0, тобто 4 - 4а > 0, отже, а < 1, за умови, що а ≠ 0, рівняння матиме два різних корені:

Якщо D = 0, тобто 4 - 4а = 0, отже, а = 1, рівняння набуває вигляду: х² - 2х + 1 = 0 і має один корінь: х = 1.

Якщо 4 - 4а < 0, тобто а > 1, рівняння коренів не має.

Відповідь. Якщо а = 0, то х = 0,5; якщо а < 0 або 0 < а < 1, то х_1,2 = 1 ± - а; якщо а =1, то х = 1; якщо а > 1, то коренів немає.

Розглянемо тепер кілька прикладів рівнянь другого типу, тобто тих, у яких треба знайти значення параметра, при якому має виконуватися певна умова щодо кількості коренів рівняння або їх значень. У таких задачах найчастіше ми маємо знайти ці значення параметра та зазначити їх у відповіді.

Приклад 9. При яких значеннях параметра а рівняння ах - 2 = 3х рівносильне рівнянню 5х - 2 = 13?

Розв’язання. Єдиним коренем рівняння 5х - 2 = 13 є число 3. Тому, за означенням рівносильних рівнянь, рівняння ах - 2 = 3х теж повинно мати тільки один корінь і він має бути числом 3. Припустимо, що число 3 є коренем рівняння ах - 2 = 3х, тоді воно перетворює рівняння у правильну рівність. Підставимо число 3 замість х у рівняння з параметром, отримаємо: За - 2 = 3 · 3, тобто 3а = 11, отже, а = . Залишається впевнитися, що при знайденому значенні параметра інших коренів, крім числа 3, у рівняння немає. Підставивши в рівняння ах - 2 =3х знайдене значення параметра а, отримаємо рівняння х - 2 = 3х, єдиним коренем якого і буде число 3. Отже, при а = рівняння 5х - 2 = 13 і ах - 2 = 3х - рівносильні.

Відповідь. .

Приклад 10. При яких значеннях параметра а рівняння (а + 2)х² - 2ах + 1 = 0 має рівно два різних дійсних корені?

Розв’язання. Розглянемо два випадки: коли а + 2 = 0, тобто рівняння буде лінійним, і коли а + 2 ≠ 0, тобто рівняння буде квадратним.

1) Нехай а + 2 = 0, тоді а = -2, і рівняння набуває вигляду: 4х + 1 = 0.

Тоді х = -0,25 - його єдиний корінь. Значення параметра а = -2 не задовольняє умову задачі, оскільки для цього значення рівняння має лише один корінь.

2) Нехай а + 2 ≠ 0, тоді а ≠ -2. Знайдемо дискримінант квадратного рівняння: D = (-2а)² - 4(а + 2) = 4(а² - а - 2). Рівняння матиме два різних дійсних корені за умови D > 0, тобто коли а² - а - 2 > 0. Розв’язком цієї нерівності є множина (-∞; -1) ∪ (2; +∞). Ураховуючи, що при цьому ще й а ≠ -2, то при а ∈ (-∞; -2) ∪ (-2; -1) ∪ (2; +∞) рівняння матиме два різних дійсних корені.

Відповідь. (-∞; -2) ∪ (-2; -1) ∪ (2; +∞).

Приклад 11. При яких значеннях параметра а рівняння

має єдиний корінь?

Розв’язання. Рівняння рівносильне системі:

З рівняння системи маємо: D = 36 - 4(8 + 2а - а²) = 4(а - 1)²;

Початкове рівняння має лише один корінь в одному з таких випадків:

1) х₁ = х₂ і х₁≠ 2;

2) х₁ = 2; х₂≠ 2;

3) х₂ = 2; Х₁ ≠ 2.

Розглянемо ці випадки.

1) Нехай а + 2 = 4 - а, тобто а = 1. Тоді х₁= а + 2 = 1 + 2 = 3 ≠ 2. Отже, а = 1 задовольняє умову задачі.

2) Нехай

Тоді а = 0.

3) Нехай

Тоді а = 2.

Відповідь. 1; 0; 2.

• Що називають рівнянням?

• Що називають коренем або розв’язком рівняння?

• Що означає розв’язати рівняння?

• Які два рівняння називають рівносильними?

• Які рівносильні перетворення рівнянь ви знаєте?

• Що називають рівнянням-наслідком?

• Що називають областю допустимих значень рівняння?

• Що розуміють під поняттям параметра?

• Що означає розв’язати рівняння з параметром?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Чи рівносильні рівняння (5.1—5.2):

5.1.

5.2.

Розв’яжіть рівняння (5.3—5.4):

5.3.

5.4.

Знайдіть ОДЗ рівняння (5.5—5.6):

5.5.

5.6.

2. Розв’яжіть рівняння (5.7-5.10):

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11. Покажіть, що рівняння х² - 2х = 0 є наслідком рівняння

5.12. Покажіть, що рівняння х² - х = 0 є наслідком рівняння

Розв’яжіть рівняння (5.13—5.16):

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17. При яких значеннях параметра b рівняння 4х - 1 = 7 рівносильне рівнянню bх + 3 = 3х - 7?

5.18. При яких значеннях параметра а рівняння ах - 5 = 5х + 9 і 7х - 3 = 4 рівносильні?

5.19. При яких значеннях параметра а рівняння:

1) х² - 2ах + а² + 2а - 1 = 0 має два різних дійсних корені;

2) х² - 4ах + 4а² + 3а + 1 = 0 не має дійсних коренів?

5.20. При яких значеннях параметра 6 рівняння:

1) х² - 2bх + b² + 2b - 4 = 0 має два різних дійсних корені;

2) х² - 4bх + 4b² +b + 3 = 0 не має дійсних коренів?

Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння (5.21-5.22):

5.21.

5.22.

3. Розв’яжіть рівняння (а - параметр) (5.23—5.24):

5.23.

5.24.

Розв’яжіть рівняння (5.25—5.28):

5.25.

5.26.

5.27.

5.28.

При яких значеннях параметра а рівняння (5.29—5.30):

5.29.

1) (За - 1)х² + 2ах + 3а - 2 = 0 має два різних дійсних корені;

2) (а + 1)х² - ах + а - 3 = 0 має не більше ніж один корінь?

5.30.

1) (2а + 1)х² - ах + а - 2 = 0 має два різних дійсних корені;

2) (2а - 1)х² + ах + 2а - 3 = 0 має не більше ніж один корінь?

4. Чи завжди рівносильні рівняння (5.31—5.32):

5.31.

5.32.

Розв’яжіть рівняння, де а - параметр, (5.33—5.34):

5.33.

5.34.

5.35. При яких значеннях параметра а рівняння

має лише один корінь?

5.36. При яких значеннях параметра b рівняння

має лише один корінь?

5.37. Залежно від значень параметра а знайдіть кількість коренів рівняння |х² - 2х - 3| = а.

5.38. Знайдіть кількість коренів рівняння |х² + 2х| = а залежно від значень параметра а.

5.39. Розв’яжіть рівняння (х - змінна):

5.40. Знайдіть усі значення параметра m, при кожному з яких рівняння (х - m)²(m(х - m)² - m - 1) + 1 = 0 має додатних коренів більше, ніж від’ємних.

5.41. Знайдіть усі значення параметра m, при кожному з яких рівняння (х - m)²((х - m)² - 2m - 4) + 2m + 3 = 0 має від’ємних коренів більше, ніж додатних.

5.42. Деяка модель смартфона коштувала 3500 грн. Через деякий час ціну на неї знизили до 2800 грн. Наскільки відсотків було знижено ціну на цю модель?

5.43. (Міжнародна математична олімпіада, 1960 р.). Знайдіть усі трицифрові натуральні числа, які при діленні на 11 дають в остачі число, що дорівнює сумі квадратів цифр даного числа.

Підготуйтеся дo вивчення нового матеріалу

Розв’яжіть нерівність (5.44—5.45):

5.44.

5.45.