Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАНННЯ

§ 42 ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ НЕРІВНОСТЕЙ ТА ДОВЕДЕННЯ НЕРІВНОСТЕЙ

Розглянемо, як певні властивості функцій, у тому числі і ті, які зазвичай з’ясовують за допомогою похідної, можна використовувати для розв’язування рівнянь і нерівностей, а також розглянемо застосування похідної для доведення нерівностей.

1. Використання оцінювання лівої і правої частин рівняння або нерівності

Неважко зрозуміти, що якщо в рівнянні f(х) = g(x) для всіх значень х із ОД3 рівняння справджуються нерівності f(х) ≥ a, g(x) < а, де а ∈ R, то рівняння не матиме розв’язків.

Якщо ж справджуються нерівності f(х) > a, g(x) < а, де а ∈ R, то рівняння на своїй ОДЗ рівносильне системі:

Розглянемо це на прикладах.

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. ОДЗ рівняння: х ∈ [0; 2].

Розглянемо неперервну на [0; 2] функцію

Функція f(х) на інтервалі (0; 2) має похідну

f(x) = 0, коли

тобто х = 1 - критична точка функції.

f(х) неперервна на [0; 2], тому своїх найбільшого і найменшого значень вона може набувати в точках 1; 0 або 2.

Маємо: f(0) = ; f(1) =1 + 1 = 2; f(2) = .

Отже, найбільшого значення, що дорівнює 2. функція набуває при х = 1, тому коренем рівняння

є число 1.

Відповідь. 1.

Зауважимо, що це рівняння можна було розв’язати і раніше вивченими методами.

Приклад 2.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Ліва і права частини нерівностей - ті самі, що й у прикладі 1, тому скористаємося їх оцінюванням та міркуваннями, проведеними у прикладі 1.

Нехай

1) Оскільки найбільшим значенням f(х) є число 2, то нерівність справджується лише, коли f(х) = 2, тобто при х = 1. Отже, число 1 - єдиний розв’язок нерівності.

2) Оскільки f(х) < 2 для будь-якого х ∈ D(f), то нерівність справджується для всіх х ∈ D(f), тобто множиною розв’язків нерівності є проміжок [0; 2].

3) Оскільки f(х) ≤ 2 для будь-якого х ∈ D(f), то нерівність розв’язків не має.

Відповідь. 1)1; 2) [0; 2]; 3)0.

Отже, оцінюванням лівої і правої частин можна розв’язувати як деякі рівняння, так і деякі нерівності.

Приклад 3. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. ОДЗ рівняння: х ∈ R. Розглянемо функцію f(x) = х⁴ - 2х², визначену на R.

f'(х) = 4х³ - 4х = 4х(х² - 1) = 4х(х - 1)(х + 1).

f'(х) = 0 для х = 0; х = 1; х = -1, тобто маємо три критичні точки функції. Визначимо знак похідної на отриманих проміжках (мал. 42.1).

Враховуючи неперервність функції і те, що f(-1) = f(1) = 1 - 2 = -1, дійдемо висновку, що найменшим значенням функції на R є число -1.

Мал. 42.1

Оскільки

Отже,

Тоді рівняння рівносильне системі:

Корені першого рівняння: х₁ = 1; х₂ = -1, причому х₁ = 1 задовольняє і друге рівняння. Отже, х = 1 - єдиний корінь початкового рівняння.

Відповідь. 1.

2. Використання монотонності функцій

За допомогою графічної інтерпретації неважко пересвідчитися, що коли функції f(х) і g(x) монотонні на [а; b] або одна з них є сталою, то їх графіки на [а; b] або перетинаються в одній точці (мал. 42.2 і 42.4), або не мають спільних точок взагалі (мал. 42.3).

Мал. 42.2

Мал. 42.3

Мал. 42.4

Це означає, що рівняння вигляду f(х) = g(х), якщо х ∈ [а; b], матиме не більше ніж один розв’язок.

Приклад 4.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання. ОДЗ рівняння: х ≥ 0.

Функція f(х) = 4 - є спадною на своїй області визначення, оскільки спадною є функція у = -.

Розглянемо функцію g(x) = x⁵ + х³ + 1. Оскільки g'(X) = 5х⁴ + 3х² ≥ 0 для х ∈ R, то g(x) зростає на R.

Отже, рівняння 4 - = х⁵ + х³ +1 на [0; +∞) має не більше як один корінь. Очевидно, що х = 1 - єдиний корінь рівняння.

Відповідь. 1.

Монотонність функцій іноді допомагає розв’язувати і системи рівнянь.

Приклад 5.

Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання. Оскільки областю допустимих значень системи є х ≥ 0, у ≥ 0, то |х| = х, |у| = у.

Перепишемо систему у вигляді:

Розглянемо функцію f(t) = 2t + cos t. Тоді перше рівняння системи можна записати у вигляді f(х) = f(y).

Маємо: f'(t) = 2 - sin t. Оскільки f'(t)> 0 для будь-якого t, зокрема і для t ≥ 0, то функція f(t) = 2t + cos t зростає на проміжку [0; +∞), а тому з рівності f(х) = f(y) отримаємо, що х = у.

Підставимо у друге рівняння замість змінної у змінну х, отримаємо: + = 6, тобто = 3, звідси х = 9. Тому у = 9.

Відповідь. (9; 9).

Приклад 6.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Перепишемо нерівність у вигляді: 4х⁵ - х³ + х - 4 > 0 та розглянемо функцію

Маємо: f'(x) = 20х⁴ - 3х² + 1.

Рівняння 20х⁴ - 3х² +1 = 0 не має коренів, тому f'(х) > 0 для всіх х ∈ R, тобто функція f(х) = 4х⁵ - х³ + х - 4 зростає на (-∞; +∞).

Крім того, f(1) = 4 - 1 + 1 - 4 = 0. Тому для всіх х > 1 матимемо, що f(х) > 0, а для всіх х < 0 матимемо, що f(х) < 0. Отже, розв’язком нерівності є проміжок (1; +∞).

Відповідь. (1; +∞).

Приклад 7. Довести, що sin x > x, якщо x < 0.

Доведення. Розглянемо функцію f(x) = sin x - х. Оскільки f'(x) = cos x - 1 ≤ 0 для всіх х, то функція f(х) монотонно спадає на R. Тому для всіх х < 0 справджується нерівність: f(x) > f(0). Оскільки f(0) = 0, то f(x) > 0, тобто sin x - х > 0 для всіх x < 0. Отже, sin x > x для всіх х < 0.

• Як оцінювання лівої і правої частин рівняння допомагає його розв’язанню?

• Як можна використовувати монотонність функції для розв’язування рівнянь, систем рівнянь, нерівностей?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

3. Розв’яжіть рівняння (42.1—42.2):

42.1.

42.2.

Доведіть, що (42.3—42.4):

42.3.

1) sin x < х для всіх х > 0;

2) tg x > х для всіх

42.4. соs х > х + 1, якщо х < 0.

Розв’яжіть рівняння (42.5—42.6):

42.5.

42.6.

Розв’яжіть систему рівнянь (42.7—42.8):

42.7.

42.8.

Розв’яжіть нерівність (42.9—42.10):

42.9.

42.10.

42.11. Доведіть, що sin х > х - для всіх х > 0.

42.12. Доведіть, що соs х ≥ 1 - для всіх х ∈ R.

3. Доведення нерівностей

Похідну використовують і для доведення деяких нерівностей. Розглянемо це на прикладі.

42.13. У магазині всі меблі продають у розібраному вигляді. Вартість збору меблів складає 12 % від вартості меблів. Шафа коштує 3650 грн. Скільки грошей зекономить родина Сидорчуків, придбавши цю шафу, якщо збере шафу самостійно?

42.14. Розв’яжіть рівняння: х⁴ + (х + 2)⁴ = 82.