Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАНННЯ

§ 40 ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ТА ПОБУДОВИ ЇХ ГРАФІКІВ

Раніше нам вже траплялися функції, вигляд графіків яких на той час ми не знали. У таких випадках ми будували їх графіки по точках. Так було побудовано, наприклад, графіки функцій

тощо.

Проте, застосовуючи такий спосіб побудови для більш складних функцій, можна втратити важливі особливості графіка функції. Щоб уникнути подібних помилок, треба спочатку дослідити поведінку функції, виявити її особливості і тільки потім будувати графік. До особливостей поведінки функції відносять і її зростання, спадання та екстремуми. Тому для побудови графіка будемо використовувати похідну.

Досліджувати функцію у = f(х) та будувати її графік можна за таким алгоритмом:

1) Знайти область визначення функції.

2) Дослідити функцію на парність, непарність та періодичність (для тригонометричних функцій).

3) Знайти точки перетину графіка функції з осями координат (якщо це можливо).

4) Знайти похідну та критичні точки функції.

5) Знайти проміжки зростання, спадання та екстремуми функції.

6) Дослідити поведінку функції на кінцях проміжків області визначення, якщо це можливо.

7) За потреби знайти ще кілька точок графіка та, використовуючи отримані результати, побудувати графік функції.

Застосовуючи цей алгоритм, слід пам’ятати, що методами, які нам відомі, не завжди вдається розв’язати рівняння f(х) = 0, тобто знайти точки перетину графіка з віссю абсцис. Також іноді важко дослідити поведінку функції на кінцях проміжків області визначення чи поблизу точок розриву. У такому разі доцільно знайти кілька точок графіка, абсциси яких є дуже близькими до абсцис згаданих точок.

Результати дослідження по пункту 5 зручно подавати у вигляді таблиці.

Розглянемо приклади дослідження функції та побудови її графіка за вказаним алгоритмом.

Приклад 1. Дослідити функцію а(х) = х ⁴ - 2х ² - 3 та побудувати її графік.

Розв’язання. 1) D(f) = R.

2) f(-х) = (-х) ⁴ - 2(-х) ² - 3 - х ⁴ - 2х ² - 3 = f(х); функція парна, її графік симетричний відносно осі ординат.

3) f(0) = 0 ⁴ - 2 · 0 ² - 3 = -3, тобто (0; -3) - точка перетину з віссю у. Нехай у = 0, тоді маємо: х ⁴ - 2х ² - 3 - 0, звідки х _{1, 2} = ± , отже, ( ; 0), (- ; 0) точки перетину з віссю x.

4) f'(x) = 4х ³ - 4х = 4х(х ² - 1) = 4х(х - 1)(х + 1); тоді х ₁ = 0; х ₂ = 1; х ₃ = -1 - критичні точки.

5) Складемо таблицю, у якій зазначимо проміжки зростання, спадання, критичні точки функції та висновки щодо поведінки функції:

6) Оскільки D(f) = R, то область визначення не має кінців.

7) Будуємо графік функції, використовуючи результати дослідження та значення функції ще у двох додаткових точках: f(-2) = f(2) = 5.

Графік зображено на малюнку 40.1.

Побудова графіка функції за допомогою похідної значно розширює коло задач, які доцільно розв’язувати графічно (з’ясування кількості коренів рівняння, пошук наближених значень коренів тощо).

Мал. 40.1

Приклад 2. 1) Дослідити функцію

та побудувати її графік.

2) Скільки коренів залежно від значень параметра а має рівняння

Розв'язання.

1) D(f) = (-∞; -1) ∪ (-1; +∞).

2) Оскільки область визначення функції не симетрична відносно нуля, то функція ні парна, ні непарна.

3) Точка перетину з віссю

точки перетину з віссю

Отже, (0; 0), (3; 0) - точки перетину з осями координат.

тоді х ₁ = 1; х ₂ = -3 — критичні точки.

5) Дослідимо функцію на монотонність та екстремуми:

6) Точка х = - 1 не належить області визначення функції. Дослідимо поведінку функції в околі точки -1.

Нехай спочатку х → - 1, але х < -1 (кажуть: зліва від -1). Тоді х + 1 → 0 і х + 1 < 0. Зауважимо, що х ² - 3х → 4 при х → - 1. Що ближче х до числа -1, то більшим за модулемстає значення дробу і є від ємним. Можна сказати, х + 1 що при х → - 1, за умови, що х < - 1, значення функції прямує до -∞.

Аналогічно досліджуємо у випадку х → - 1, де х > -1: значення функції прямує до +∞.

Проведемо (пунктиром) пряму x = - 1, тоді зліва від прямої х = -1 графік буде прямувати вниз, а справа від прямої х = -1 буде прямувати вгору.

Пряму х = - 1 у такому випадку називають асимптотою (докладніше про асимптоти йтиметься у § 43).

Графік функції зображено на малюнку 40.2.

Мал. 40.2

Мал. 40.3

Тепер з’ясуємо, скільки коренів має рівняння

залежно від значень а, графічно. Розглянемо графіки функцій

та у = а, де а — число (мал. 40.3) та знайдемо кількість точок їх перетину, це й буде кількість коренів рівняння. Для різних значень а їх кількість буде різною.

За малюнком 40.3 маємо, що коли а < -9, то графіки перетинаються у двох точках, а тому рівняння має два корені. Якщо а = -9, то графіки перетинаються в одній точці, а тому рівняння має один корінь. Якщо -9 < а < -1 графіки не перетинаються, а тому рівняння не має коренів. При а = - 1 графіки перетинаються в одній точці, тому рівняння має один корінь; а якщо а > -1, то графіки перетинаються у двох точках і рівняння має два корені.

Відповідь. Якщо а < -9 або а > -1, то рівняння має два корені; якщо а = - 9 або а = -1, то рівняння має один корінь; якщо -9 < а < -1, то рівняння не має коренів.

Знайти множину значень функції f(х) = (х - 3) та з’ясувати, при яких значеннях параметра а рівняння (х - 3) - а ² + а - 2 має корені?

Розв’язання. Розв’яжемо задачу графічно, тобто знайдемо множину значень функції за її графіком. Для цього дослідимо поведінку функції.

1) D(f) = [0; +∞).

2) Функція ні парна, ні непарна, бо її область визначення не симетрична відносно нуля.

3) Точка перетину з віссю Оу: х = 0; у = f(0) = 0; точки перетину з віссю Ох: f(х) = 0, тобто (х - 3) = 0; звідки х ₁ = 3; х ₂ = 0. Отже, (0; 0), (3; 0) - точки перетину з осями координат.

Тоді х = 1 - критична точка.

6) Точка (0; 0) належить графіку функції.

Графік зображено на малюнку 40.4.

За графіком легко встановити, що у ≥ -2 на області визначення функції, тобто множиною значень є проміжок [-2; +∞).

Щоб рівняння (х - 3) - а ² + а - 2 мало корені, треба, щоб значення виразу а ² + а - 2 належало множині значень функції f(х) = (х - 3) , тобто, щоб справджувалася умова а ²+ а - 2 ≥ -2, звідки а ² + а ≥ 0. Розв’яжемо нерівність відносно а, отримаємо, що а ≤ - 1 або а ≥ 0 (розв’яжіть нерівність самостійно).

Відповідь. [-2; +∞); а ≤ -1 або а ≥ 0.

Мал. 40.4

✵ Сформулюйте алгоритм дослідження функції та побудови її графіка.

✵ Поясніть на прикладі 2, як можна використовувати графік функції для дослідження кількості коренів рівняння.

✵ Поясніть, як за графіком функції знайти множину її значень.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

2. Дослідіть функцію та побудуйте її графік (40.1—40.2):

40.1.

40.2.

40.3. Побудуйте схематично графік функції g(x) та знайдіть множину її значень:

40.4. Побудуйте схематично графік функції (х) та знайдіть множину її значень:

3. Дослідіть функцію та побудуйте її графік (40.5—40.6):

40.5.

40.6.

40.7. 1) Дослідіть функцію

та побудуйте її графік.

2) Скільки коренів має рівняння

40.8. 1) Дослідіть функцію

та побудуйте її графік.

2) Скільки коренів має рівняння

40.9. 1) Дослідіть функцію

та побудуйте и графік.

2) Знайдіть множину значень функції

40.10. 1) Дослідіть функцію

та побудуйте схематично її графік.

2) Знайдіть множину значень функції

4. Дослідіть функцію та побудуйте її графік (40.11—40.12):

40.11.

40.12.

40.13. Дослідіть функцію f(х) = 2 - х та побудуйте її графік. Знайдіть множину значень функції f(х) = 2 - х.

40.14. Дослідіть функцію g(х) = х - 4 та побудуйте її графік. Знайдіть множину значень функції g(x) = х - 4 .

40.15. 1) Дослідіть функцію g(х) = -x та побудуйте її графік.

2) При яких значеннях параметра а рівняння -x = а має лише один корінь?

40.16. 1) Дослідіть функцію

та побудуйте її графік.

2) При яких значеннях параметра а рівняння

має єдиний розв’язок?

40.17. 1) Дослідіть функцію

та побудуйте її графік.

2) Скільки коренів має рівняння

Залежно від значень параметра а?

40.18. 1) Знайдіть множину значень функції

2) Чи має розв'язки рівняння

40.19. 1) Дослідіть функцію

та побудуйте її графік.

2) Знайдіть множину значень функції

3) При яких значеннях а рівняння

Має розв'язки?

40.20. Придбавши товар, ви сплатили 50 грн податку на додану вартість (ПДВ). Знайдіть вартість товару, якщо ПДВ складає 20 % від вартості товару.

40.21. (Олімпіада Нью-Йорка, 1976 р.). Знайдіть усі многочлени Р(х), для яких тотожністю є рівність

Підготуймося до вивчення нового матеріалу

40.22. Знайдіть найбільше і найменше значення функції у = х ² - 4х на проміжку:

1) [-2; 1];

2) [-1; 3];

3) [-3; 3];

4) [4; 5].