Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 1 ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 2 ЧИСЛОВІ ФУНКЦІЇ. ОБЛАСТЬ ВИЗНАЧЕННЯ І МНОЖИНА ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЇ.СПОСОБИ ЗАДАННЯ ФУНКЦІЙ

1. Поняття функції. Області визначення і множини значень

З поняттям функції, одним з найважливіших у сучасній математиці, ви ознайомилися в курсі алгебри.

У курсі алгебри і початків аналізу будемо використовувати таке означення числової функції:

Числовою функцією (або функціональною залежністю) називають таку залежність між двома змінними, при якій кожному значенню незалежної змінної з деякої множини відповідає за певним правилом єдине значення залежної змінної.

Функції зазвичай позначають латинськими (іноді грецькими) літерами.

Приклад 1. Розглянемо функцію а, у якій кожному натуральному значенню х від 1 до 5 відповідає число у, що вдвічі більше за х. Цю відповідність зображено на малюнку 2.1. Стрілка вказує на число у, що відповідає числу х.

Число у називають значенням функції fу точці х і позначають через f(x) (на мал. 2.1 а(3) = 6).

Мал. 2.1

Нагадаємо, що незалежну змінну х ще називають аргументом функції, а залежну змінну у - значенням функції або функцією від цього аргументу.

Областю визначення функції у = f(x) називають множину всіх значень, яких може набувати аргумент х.

Позначають цю множину через D(f). Якщо функцію задано у вигляді у= f(х), наприклад у = х² - 2х + 3, то область визначення функції позначають через D(y).

Наприклад, областю визначення функції, з прикладу 1, є множина, що складається із чисел 1, 2, 3, 4, 5, тобто D(f) = = {1, 2, 3, 4, 5}, а областю визначення функції у = х² - 2х + З є множина всіх дійсних чисел, що записують так: D(y) = R.

Приклад 2. Знайти область визначення функції:

Розв’язання. 1) Областю визначення функції є множина всіх значень х, для яких х +1 ≠ 0, тобто х ≠ -1, оскільки знаменник дробу не може дорівнювати нулю. Отже, D(у) = (-∞; -1) ∪ (-1; +∞). Це запис області визначення за допомогою об’єднання проміжків.

2) Областю визначення функції є множина всіх значень х, для яких х - 2 > 0, тобто х > 2, оскільки підкореневий вираз має бути невід’ємним і до того ж відмінним від нуля, бо корінь міститься у знаменнику дробу. Отже, D(y) = (2; +∞).

3) Областю визначення функції є множина всіх значень х, для яких х²(-х - 1) ≥ 0. Оскільки х² ≥ 0 для всіх значень х і до того ж х² = 0. Якщо х = 0, то матимемо, що область визначення складається із числа 0 та розв’язків нерівності -х - 1 ≥ 0, тобто х ≤ -1. Отже, D(y) = (-∞; -1] ∪ {0}.

Відповідь.

Множиною (або областю) значень функції у = f(x) називають множину, що складається з усіх чисел f(x), де х ∈ D(f).

Позначають цю множину через E(f) або Е(у). Для прикладу 1 маємо: E(f) = {2, 4, 6, 8, 10}.

Приклад 3. Знайти множину значень функції:

1) у = 3 - ;

2) у = х² - 2х + 3.

Розв’язання. 1) Вираз може набувати будь-якого невід’ємного значення: ≥ 0. Помножимо обидві частини цієї нерівності на -1 і змінимо при цьому знак нерівності на протилежний: - ≤ 0. Додамо до обох частин нерівності число 3. Тоді 3 - ≤ 3, тобто у ≤ 3. Отже, множиною значень

функції у = 3 - є проміжок (-∞; 3]. Маємо: Е(у) = (-∞; 3].

2)Виділивши квадрат двочлена, маємо х² - 2х + 3 = х² - 2х + 1 + 2 = (х - 1)² + 2. Отже, у = (х - 1)² + 2. Оскільки (х - 1)² ≥ 0, то (х - 1)² + 2 ≥ 2. Маємо: Е(у) = [2; +∞).

Відповідь.

1) Е(у) = (-∞; 3];

2) Е(у) = [2; +∞).

Як відомо, функції є математичними моделями реальних процесів і явищ навколишнього світу. Тому їх часто застосовують для розв’язування різноманітних прикладних задач у фізиці, економіці, біології тощо.

Приклад 4. Записати формулу для обчислення кінетичної енергії кульки масою 50 г. Чи задає ця формула функцію? Якщо так, указати її аргумент.

Розв’язання. З курсу фізики ви знаєте, що кінетичну енергію Е_к обчислюють за формулою

Маємо:

Е_к = 25². Отже, Е_к є функцією від аргументу , де ≥ 0.

Приклад 5. Початкова вартість деякого обладнання складає200 000 грн. Щороку вона зменшується на 5 %. 1) Записати функцію залежності вартості обладнання Р від кількості років експлуатації t. 2) Використовуючи отриману функцію, знайти вартість обладнання через 4 роки.

Розв'язання. 1) Через рік вартість обладнання становитиме 100 % - 5 % = 95 % від початкової вартості, тобто 200 000 ∙ 0,95. Через 2 роки - 200 000 ∙ 0,95 ∙ 0,95 = 200 000 ∙ 0,95²; відповідно через t років експлуатації - 200 000 ∙ 0,95^t.

Маємо функцію Р(t) = 200 000 ∙ 0,95^t, де t ∈ N.

2) Р(4) = 200 000 ∙ 0,95⁴ = 162 901,25 (грн).

Відповідь.

1) Р = 200 000 ∙ 0,95^t;

2) 162 901,25 грн.

Зауважимо, що функцію залежності вартості обладнання Р від терміну експлуатації t можна було знайти і за формулою складних відсотків¹:

2. Способи задання функцій

Функцію можна задавати різними способами: формулою, таблицею, графіком, словесно.

Розглянемо ці способи.

У вищезгаданих прикладах:

Функцію задано формулою. Такий спосіб задання функції є досить зручним, адже дає змогу для довільного значення аргументу з області визначення функції обчислити відповідне значення функції та в багатьох випадках виконати обернену задачу.

Приклад 6. Функцію задано формулою

1) Знайти значення функції, якщо х = 4.

2) Порівняти у(0) і у( 1).

3) Для якого значення аргументу значення функції дорівнює 0?

Розв’язання.

Отже, y(0) > y(1).

3) Оскільки у = 0, то = 0, звідки х = -3.

Відповідь.

1) y(4) = -7;

2) y(0) > y(1);

3) х = -3.

Приклад 7. За допомогою функції

описано зміну температури води в баку (у °С) залежно від часу t (у хв). Знайти: 1) р(10); 2) p(45); 3) р(80).

¹Формулу складних відсотків можна знайти в підручнику «Алгебра. 9 клас» («Генеза», 2017, автор Істер О.С., с. 178-179) або в інших математичних джерелах.

Розв’язання. 1) Оскільки 0 < 10 < 40, то р(10) обчислимо за формулою р(t) = 2t + 20, отже, р(10) = 2 ∙ 10 + 20 = 40.

2) Оскільки 40 < 45 < 50, то р(45) = 100.

3) Оскільки 50 < 80 < 120, обчислюємо р(80) за формулою

отже,

Відповідь. 1) 40; 2) 100; 3) 76.

Інший важливий спосіб задання функції - табличний. Із таблиці можна безпосередньо знайти значення функції, але лише для скінченного набору значень аргументу.

Приклад 8. Щогодини, з дев’ятої до п’ятнадцятої, вимірювали атмосферний тиск і дані заносили в таблицю:

Область визначення функції утворюють числа 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 (числа першого рядка таблиці), а множину значень - 753, 754, 755, 757 (числа другого рядка таблиці).

Часто функцію задають за допомогою графіка. Графічний спосіб задання досить зручний: він дає можливість унаочнити властивості функції. На малюнку 2.2 зображено вольт-амперні характеристики деяких електричних елементів, тобто залежність сили струму від напруги задано графічно. Цю залежність отримано не за допомогою формули, а експериментальним шляхом.

На малюнку 2.3 зображено кардіограму людини. Кардіограму можна вважати графіком зміни електричного потенціалу на волокнах серцевого м’язу під час його скорочень.

Мал. 2.2

Мал. 2.3

Приклад 9. За графіком функції у = f(х) (мал. 2.4) знайти:

1) область визначення функції;

2) множину значень функції;

3) значення функції, якщо х =- 1; 2;

4) значення аргументу, при яких значення функції дорівнює -1; 3.

Розв’язання. 1) Спроектуємо всі точки графіка на вісь х. Отримаємо проміжок [-2; 5], який є областю визначення функції: D(y) = [-2; 5].

Мал. 2.4

2) Спроектуємо всі точки графіка на вісь у. Отримаємо проміжок [-2; 4], який є множиною значень функції: Е(у) = [-2; 4].

3) Знаходимо за графіком: у(-1) = -1; у(2) = 0.

4) Абсциси точок перетину прямої у = -1 з графіком функції у = f(х) такі: х = -1 і х = 1, тому f(x) = -1, якщо х = -1 або х = 1.

Пряма у = 3 перетинає графік функції у = f(х) у точці з абсцисою 4. Отже, f(х) = 3, якщо х = 4.

Відповідь.

1) D(y) = [-2; 5];

2) E(y) = [-2; 4];

3) у(-1) = -1; у(2) = 0;

4) f(х) = -1, якщо х = -1 або х = 1;f(х) = 3, якщо х = 4.

Словесне задання функції полягає в тому, що функціональну залежність задають словами. Наприклад: «кожному числу х ставимо у відповідність квадрат цього числа, зменшений на 10». Якщо сказане задати формулою, то вона матиме такий вигляд: у = х² - 10. Словесний спосіб задання функції використовують дуже рідко.

А ще раніше…

Функція - одне з найважливіших понять сучасної математики. Його появу у XVII ст. пов’язують із розвитком механіки та втіленням у життя ідей використання поняття змінної.

Так, французькі математики Рене Декарт (1596-1650) і П’єр Ферма (1601-1665) розглядали функцію як залежність ординати точки кривої від її абсциси.

Термін «функція» (від лат. (functio - виконання, звершення) для назви залежностей уперше ввів Готфрід Лейбніц (1646- 1716). Він пов’язував функцію з графіками.

Швейцарські математики Йоганн Бернуллі (1667-1748) та його видатний учень Леопард Ейлер (1707-1783) розглядали функцію як аналітичний вираз, тобто вираз, утворений із змінних чисел за допомогою тих чи інших аналітичних операцій (математичних дій). Функцію як залежність однієї змінної величини від іншої увів чеський математик Бернард Больцано (1781-1848).

Найзагальніше сучасне означення поняття функції запропонувала в середині XX ст. група математиків, яка виступила під псевдонімом Школа Бурбакі.¹

• Що називають числовою функцією?

• Що називають областю визначення функції і що - множиною значень функції?

• Назвіть способи задання функції, до кожного наведіть приклади.

¹Детальніше про виникнення і розвиток учення про функції можна знайти в підручнику «Алгебра. 9 клас» («Генеза», автор О.С. Істер, с. 71-72) та в інших джерелах інформації з історії математики.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. 2.1. (Усно). Чи є функцією залежність:

Для кожної з функцій назвіть незалежну змінну (аргумент) та залежну (значення функції).

2.2. Для функції f(x) = (х - 2)³ знайдіть f(2); f(1).

2.3. Для функції g(х) = (х + 1)² знайдіть g(0); g(-1).

2.4. (Усно). На малюнках 2.5 і 2.6 зображено відповідність між числами. Яка з них є функцією? Чому?

Мал. 2.5

Мал. 2.6

Знайдіть значення функції (2.5—2.6):

2.5.

у точках -1; 2; 0,1;

у точках 0; 2; -2.

2.6.

у точках 0; -1; 0,8;

у точках 0; 1; 3.

2.7. Дано функцію f(x) = х² - 2х. Порівняйте f(0) і f(2).

2.8. Дано функцію g(х) = 2х - 7. Порівняйте g(3) і g(0).

2.2.9. (Усно). Чи є графіками функцій у = f(х) фігури, зображені на малюнках 2.7-2.10?

Мал. 2.7

Мал. 2.8

Мал. 2.9

Мал. 2.10

2.10. Функцію задано формулою f(x) = . Знайдіть:

1) f(5);

2) значення х, при якому f(х) = 3.

2.11. Функцію задано формулою

Знайдіть:1) g(-1); 2) значення х, при якому g(x) = -5.

Знайдіть область визначення функції (2.12—2.13):

2.12.

2.13.

2.14. Функцію задано таблицею:

Знайдіть: 1) значення функції, якщо х дорівнює 2; 5;

2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 4; 5;

3) область визначення функції;

4) множину значень функції.

2.15. Функцію задано таблицею:

Знайдіть: 1) значення функції, якщо х дорівнює -2; 3;

2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 0; 4;

3) область визначення функції;

4) множину значень функції.

Запишіть формулу функції, яку задано словами (2.16—2.17):

2.16. 1) кожному числу х ставимо у відповідність його квадрат, збільшений на 5;

2) кожному невід’ємному числу х ставимо у відповідність його арифметичний квадратний корінь, зменшений у 2 рази.

2.17. 1) кожному числу х ставимо у відповідність його куб, зменшений на 3;

2) кожному числу х ставимо у відповідність його модуль, збільшений у 10 раз.

2.18. Під час вільного падіння тіло долає шлях, який обчислюється за формулою s = gt², де t - час у секундах, g ≈ 10 м/с². Побудуйте схематично графік цієї функції. Який шлях подолає тіло за 1 с? За який час тіло подолає 20 м?

3. Знайдіть область визначення функції (2.19—2.20):

2.19.

2.20.

2.21. Дано функцію

Знайдіть f(-2); f(0); f(1); f(-3).

2.22. Дано функцію

Знайдіть g(-3); g(-1); g(0); g(2).

2.23. На малюнках 2.11-2.14 функції задано графіком. Для кожної функції вкажіть:

1) область визначення;

2) множину значень;

3) координати точок перетину з осями координат.

2.24. На малюнках 2.15-2.18 функції задано графіком. Для кожної функції вкажіть:

1) область визначення;

2) множину значень;

3) координати точок перетину з осями координат.

2.25. Побудуйте графік деякої функції у = g(х), область визначення і множина значень якої відповідно проміжки [-2; 3] та [-4; 2].

2.26. Побудуйте графік деякої функції у = f(х), область визначення якої - проміжок [0; 5], а множина значень - проміжок [-3; 3].

2.27. Наведіть приклад функції, областю визначення якої є:

1) множина всіх дійсних чисел;

2) множина всіх дійсних чисел, крім числа 2;

3) множина всіх дійсних чисел, крім чисел 1 і -3;

4) множина всіх дійсних чисел, які більші за 4 або рівні йому.

Мал. 2.11

Мал. 2.12

Мал. 2.13

Мал. 2.14

Мал. 2.15

Мал. 2.16

Мал. 2.17

Мал. 2.18

Знайдіть множину значень функції (2.28—2.29):

2.28.

2.29.

4. 2.30. Наведіть приклад функції, множиною значень якої є проміжок:

1) [2; +∞);

2) (-∞; 3].

Знайдіть область визначення функції (2.31—2.32):

2.31.

2.32.

Знайдіть множину значень функції (2.33—2.34):

2.33.

2.34.

2.35. Знайдіть множину значень функції:

2.36. Пляшечка шампуню коштує 40 грн. Яку найбільшу кількість таких пляшечок можна придбати на 170 грн під час акції, коли на цей шампунь діє знижка 25 % ?

2.37. (І. Ньютон, «Універсальна арифметика», 1707 р.) Скоротіть дріб:

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

2.38. Побудуйте схематично графік функції та знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції:

2.39. Дано f(x) = х⁴. Порівняйте:

Чи можна дійти висновку, що для будь-якого значення х справджується рівність f(-х) = f(х)?

2.40. Дано g(х) = х³. Порівняйте:

Чи можна дійти висновку, що для будь-якого значення х справджується рівність g(-х) = -g(x)?