Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 21 ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ

Тригонометричні функції кутів х ± а, де х = ; ; ; 2 , (або х = 90°; 180°; 270°; 360°) можна зводити до тригонометричних функцій кута а за допомогою формул, які називають формулами зведення.

1. Формули зведення та правило для їх застосування

Деякі з цих формул нам відомі з курсу геометрії. Зокрема, ми знаємо, що:

або ті самі формули у радіанах:

Застосовуючи ці формули та властивості тригонометричних функцій, можна знайти формули зведення для різних кутів.

Наприклад, для кута + а, матимемо:

А для кута - а, враховуючи вищезгадані формули, матимемо:

У той самий спосіб можна знайти формули зведення для усіх зазначених на початку параграфа кутів. Усього таких формул тридцять дві. Запишемо їх у вигляді таблиці:

Ці формули не треба запам’ятовувати. Достатньо помітити в них певну закономірність, сформулювати її у вигляді правила і правило запам’ятати. Для цього домовимося називати синус кофункцією косинуса, косинус - кофункцією синуса, тангенс - кофункцією котангенса і котангенс - кофункцією тангенса.

Тепер сформулюємо правило для застосування формул зведення.

У правій частині формули зведення записуємо той знак (+ або -), який має ліва частина формули за умови, що кут а — гострий, при цьому для кутів ± а, 2 ± а назву тригонометричної функції не змінюємо, а для кутів

— назву змінюємо на кофункцію.

Зауважимо, що тільки для зручності використання правила кут а вважаємо гострим. Насправді, кожна з формул зведення є правильною для будь-якого кута а з області визначення тригонометричної функції.

Зверніть увагу, що послідовність міркувань за згаданим правилом можна стисло сформулювати у вигляді мнемонічного ¹ правила: «Чверть. Знак. Назва». Розглянемо приклад на застосування правила.

Приклад 1. Записати через тригонометричну функцію кута а:

1) cos( - а);

2) ctg(270° - а).

Розв’язання. 1) Чверть: кут ( - а) - кут II чверті (мал. 21.1). Знак: косинус у II чверті - від’ємний, тому матимемо «-».

Назва: для кута ( - а) назва тригонометричної функції зберігається, тобто матимемо «cos». Отже, соs( - а) = -cos а.

2) (270° - а) - кут III чверті (мал. 21.1), котангенс у III чверті має знак « + ». Оскільки 270° = , то назву функції змінюємо накофункцію (на «tg»). Отже, ctg(270° - а) = tg a.

Мал. 21.1

2. Застосування формул зведення

Формули зведення допомагають обчислювати значення тригонометричних функцій деяких кутів, що перевищують (або 180°). Для формули зведення такі кути можна записувати одним із двох способів, або як суму, або як різницю. Наприклад, кут 195° лежить на одиничному колі між кутами 180° і 270°, тому його можна записати і як суму (180° + 15°), і як різницю (270° - 75°).

Приклад 2. Обчислити:

Розв’язання.

1) 1-й спосіб. tg 315° = tg(360° - 45°) = -tg 45° = -1.

2-й спосіб. tg 315° = tg(270° + 45°) = -ctg 45° = -1.

Відповідь.

1) -1;

2) - .

За допомогою формул зведення, періодичності, парності чи непарності тригонометричних функцій знаходження значення тригонометричної функції будь-якого кута можна звести до знаходження значення тригонометричної функції гострого кута.

Приклад 3. Обчислити:

Розв’язання. Використаємо парність функції косинуса:

¹Мнемоніка (давньогр. - мистецтво запам’ятовування) - сукупність прийомів і методів запам’ятовування інформації.

Відповідь.

1) - ;

2) 1.

Приклад 4.

Спростити вираз:

Розв’язання. Оскільки

то

Відповідь. 0.

Довести, що коли а, β і у - кути трикутника, то

Розв’язання. Оскільки а, β і у - кути трикутника,то а + β + у = , тоді а + β = - у і

Маємо:

✵ Сформулюйте правило для застосування формул зведення; вивчіть відповідне мнемонічне правило.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Користуючись таблицею формул зведення (с. 202), зведіть до тригонометричної функції кута а (21.1—21.2):

21.1.

21.2.

2. Користуючись правилом, зведіть до тригонометричної функції кута а (21.3—21.4):

21.3.

21.4.

Зведіть до значень тригонометричної функції гострого кута (21.5-21.6):

21.5.

21.6.

Обчисліть (21.7-21.8):

21.7.

21.8.

Спростіть вираз (21.9—21.12):

21.9.

21.10.

21.11.

21.12.

Зведіть до тригонометричної функції гострого кута (21.13—21.14):

21.13.

21.14.

З. Знайдіть значення виразу (21.15-21.18):

21.15.

21.16.

21.17.

21.18.

Спростіть вираз (21.19—21.20):

21.19.

21.20.

Доведіть тотожність (21.21—21.22):

21.21.

21.22.

21.23. Дано cos a = - 0,8. Знайдіть:

21.24. Дано: sin а = 0,6; 0° < а < 90°. Знайдіть:

21.25. Кути а і β - суміжні, cos а = - . Знайдіть cos β і sin β.

21.26. Кут а суміжний з гострим кутом β, sin β = . Знайдіть cos а і sin а.

4. Нехай а, β, у - кути трикутника. Доведіть, що (21.27—21.28):

21.27.

21.28.

21.29. Синус гострого кута паралелограма дорівнює . Знайдіть косинус тупого кута цього паралелограма.

21.30. Косинус суми двох кутів трикутника дорівнює .

1) Знайдіть косинус третього кута трикутника.

2) Визначте вид цього трикутника за кутами.

Знайдіть значення виразу (21.31—21.34):

21.31.

21.32.

21.33.

якщо

21.34.

якщо

Обчисліть (21.35—21.36):

21.35.

21.36.

Спростіть вираз (21.37—21.38):

21.37.

21.38.

21.39. Пачка офісного паперу формату А4 містить 500 аркушів. За тиждень в офісі витрачають 1700 аркушів. Якої найменшої кількості таких пачок паперу буде достатньо цьому офісу на чотири тижні?

21.40. Числа р; р + 10; р + 14 - прості. Знайдіть р.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

21.41. Обчисліть:

1) cos 390°;

2) sin 765°;

3) sin(-300°);

4) cos(-1050°)

21.42. Знайдіть нулі функцій:

21.43. Побудуйте графік функції: