Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ МИ…

• пригадаємо відомості з геометрії про синус, косинус і тангенс кута трикутника;

• дізнаємося про радіанну міру кута; тригонометричні функції кутів та числових аргументів; основні співвідношення між тригонометричними функціями;

• навчимося переходити від радіанної міри кута до градусної і навпаки; перетворювати тригонометричні вирази та обчислювати їх значення; будувати графіки тригонометричних функцій.

§ 17 СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС І КОТАНГЕНС КУТА

З курсу геометрії ви вже знаєте, що таке синус, косинус і тангенс кута а, де 0° ≤ а ≤ 180°. У цьому параграфі ознайомимося з поняттями синуса, косинуса і тангенса довільного кута, а також з поняттям котангенса кута.

1. Кути довільної величини

Розглянемо коло радіуса R із центром у початку координат (мал. 17.1). Позначимо на додатній півосі абсцис точку А, яка належить колу. Радіус ОА будемо називати початковим радіусом.

Повернемо радіус ОА навколо точки О на 50° проти руху годинникової стрілки, отримаємо радіус ОB. Кут АОВ, який при цьому утворився, називають кутом повороту. У нашому випадку кут повороту дорівнює 50°. Повернемо тепер початковий радіус ОА на кут 50° у напрямку руху годинникової стрілки, отримаємо радіус ОС. У цьому випадку кут повороту дорівнює -50°. На малюнку 17.1 стрілками вказано кути повороту 50° і -50° та напрям повороту. Узагалі,при повороті початкового радіуса проти руху годинникової стрілки кут повороту вважають додатним, а за рухом годинникової стрілки — від’ємним (мал. 17.1).

Мал. 17.1

Кут повороту може бути будь-яким числом. На малюнку 17.2 маємо кути повороту 120° і -170°.

Мал. 17.2

Мал. 17.3

Мал. 17.4

Покажемо кут повороту 225°. Оскільки 225° = 180° + 45°, повернемо початковий радіус ОА в додатному напрямі на 180°, а потім у тому ж напрямі ще на 45° (мал. 17.3). Якщо початковий радіус виконає повний оберт проти руху годинникової стрілки, то отримаємо кут повороту 360° (мал. 17.4). Початковий радіус можна повернути і більш ніж на повний оберт, наприклад на малюнку 17.5 маємо кут повороту 440°.

Якщо початковий радіус повернути за рухом годинникової стрілки на 330°, тобто у від’ємному напрямі, отримаємо кут повороту -330° (мал. 17.6).

Мал. 17.5

Мал. 17.6

Мал. 17.7

Нехай при повороті на 40° початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ (мал. 17.7). Якщо після цього радіус ОВ повернути на кут 360° або -360°, то знову отримаємо радіус ОВ. Із цього можна дійти висновку, що радіус ОА переходить у радіус ОВ як при повороті на кут 40° + 360° = 400°, так і при повороті на кут 40° - 360° = -320°, та й узагалі при повороті на кут 40° + 360°k, де k - будь-яке ціле число, тобто k ∈ Z.

Очевидно, що й будь-який кут а можна подати у вигляді а = а₀ + 360°k, де 0 ≤ а₀< 360°, k ∈ Z. Наприклад, 1100° = 20° + 360° ∙ 3, а - 640° = 80° + 360° ∙ (-2).

Приклад 1. Серед кутів повороту 460°, -270°, 810°, -660° знайти ті, при повороті на які початковий радіус приймає те саме положення, що й при повороті на кут 90°.

Розв’язання. Оскільки 460° = 100° + 360° ∙ 1; -270° = 90° + 360° ∙ (-1); 810° - 90° + 360° ∙ 2; -660° = 60° + 360° ∙ (-2), то такими є кути -270° і 810°.

Відповідь. -270° і 810°.

Мал. 17.8

Нагадаємо, що координатні осі ділять координатну площину на чотири чверті (мал. 17.8). Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ. тоді кут а називають кутом тої чверті, у якій міститься радіус ОВ. Так, наприклад, а = 50° - кут першої чверті (мал. 17.1), а = 120° - кут другої чверті (мал. 17.2), а = 225° - кут третьої чверті (мал. 17.3), а = -50° - кут четвертої чверті (мал. 17.1).

Кути 0°; ±90°; ±180°; ±270°; ±360°; … не належать жодній чверті.

Приклад 2. Кутом якої чверті є кут: 1) 1999°; 2) -2010°?

Розв’язання.

1) 1999° = 199° + 360° ∙ 5, отже, 1999° - кут III чверті.

2) -2010° = 150° + 360° ∙ (-6), отже, -2010° - кут II чверті.

Відповідь. 1) кут III чверті; 2) кут II чверті.

2. Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ, причому точка В має координати (х; у) (мал. 17.9).

Синусом кута а називають відношення ординати точки В до довжини радіуса: sinа = .

Косинусом кута а називають відношення абсциси точки В до довжини радіуса: cos а = .

Тангенсом кута а називають відношення ординати точки В до її абсциси: tg a= , х ≠ 0.

Котангенсом кута а називають відношення абсциси точки В до її ординати: ctg a= , у ≠ 0.

Зауважимо, що вказані означення не суперечать означенням синуса, косинуса і тангенса кутів від 0° до 180°, раніше введеним у геометрії.

Мал. 17.9

Мал. 17.10

3. Одиничне коло

Як відомо з курсу геометрії, значення виразів sin a, cos а і tg a, де 0° ≤ а ≤ 180°, залежать лише від градусної міри кута а і не залежать від довжини радіуса R. Тому зручно розглядати коло з радіусом R = 1 і центром у початку координат (мал. 17.10). Таке коло називають одиничним колом.

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР₀ переходить у радіус ОР_а, де точка Р_а має координати (х; у) (мал. 17.10). Кажуть, що куту а відповідає точка Р_а одиничного кола. Тоді синусом кута а називають ординату точки Р_а(х; у) одиничного кола, тобто sin а = у;

косинусом кута а називають абсцису точки Р_а(х; у) одиничного кола, тобто cos а = х;

тангенсом кута а називають відношення ординати точки Р_а(х; у) одиничного кола до її абсциси, тобто tg a = , х ≠ 0;

котангенсом кута а називають відношення абсциси точки Р_а(х; у) одиничного кола до її ординати, тобто ctg a = , у ≠ 0.

Означення тангенса можна сформулювати й так:тангенсом кута а називають відношення синуса цього кута до його косинуса.

Справді, оскільки у = sin a, а х = cos а, то

де cos а ≠ 0. Аналогічно:котангенсом кута а називають відношення косинуса цього кута до його синуса.

Справді,

де sin a ≠ 0.

Вирази sin а і cos а мають зміст для будь-якого значення а. Вираз tg a має зміст, коли х 0, тобто коли а ±90°, ±270°,±450°, … , оскільки для цих кутів абсциса відповідної точки одиничного кола дорівнює нулю. Вираз ctg а має зміст, коли у ≠0, тобто коли а ≠ 0°, ±180°, ±360°, … , оскільки для цих кутів ордината відповідної точки одиничного кола дорівнює нулю.

Отже, кожному допустимому значенню кута а відповідає єдине значення sin a, cos а, tg a, ctg а. Тому синус, косинус, тангенс і котангенс є функціями кута а. Їх називають тригонометричними функціями кута.

4. Тригонометричні значення деяких кутів

Знайдемо значення тригонометричних функцій кутів 0°, 90°, 180°, 270°, 360° за означенням.

На одиничному колі (мал. 17.11) позначимо точки Р_a для a = 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Матимемо:Р_0°(1; 0), тому sin 0° = 0; cos 0° = 1; tg0° = 0; ctg0° - не існує. Р_90°(0; 1), тому sin 90° = 1; cos 90° = 0; tg 90° - не існує; ctg 90° = 0.

Р_180°(-1; 0), тому sin 180° = 0; соs 180° = -1; tg 180° = 0; ctg 180° - не існує.

Р_270°(0; -1), тому sin 270° = -1; соs 270° = 0; tg 270° - не існує; ctg 270° = 0.

Точка Р_360° має ті самі координати, що й точка Р_0°, тому sin 360° = sin 0° = 0; соs 360° = соs 0° = 1; tg 360° = tg 0° = 0; ctg 360° - не існує.

Мал. 17.11

Подамо отримані значення у вигляді таблиці, доповнивши її значеннями синуса, косинуса і тангенса гострих і тупих кутів, відомих нам з курсу геометрії. Невідомі значення тангенса і котангенса для цієї таблиці обчислимо відповідно за формулами

Кути а, зазначені у першому рядку цієї таблиці, ще називають табличними кутами. Маємо:

Приклад 3.

Обчислити:

Розв’язання.

2) Запис sin² 30° означає (sin 30°)². Маємо:

Оскільки

Отже,

Відповідь: 1) 1,5; 2) -; 3); 4) -2.

5. Знаходження тригонометричних функцій за допомогою калькулятора

Для знаходження синуса, косинуса і тангенса в калькуляторах є відповідні клавіші

(У деяких калькуляторах

Спочатку перемикач «Г—Р» треба зафіксувати у положенні «Г» для задания кутів у градусах. У деяких калькуляторах це досягається за допомогою клавіші

і вибору відповідного режиму. Залежно від типу калькулятора порядок обчислень може бути різним, тому радимо уважно ознайомитися з інструкцією до калькулятора. Наведемо порядок обчислень для двох найбільш поширених типів калькуляторів (с. 170).

В останніх рядках обох таблиць скористалися тим, що котангенс є числом, оберненим до тангенса. Справді,

А ще раніше …

Термін «тригонометрія» походить від грецьких слів «тригоном» - трикутник і «метріо» - вимірюю, що разом означає вимірювання трикутників.

Потреба у вимірюванні відстаней і кутів виникла ще у стародавні часи через необхідність визначення положення зірок на небі, кораблів у відкритому морі, караванів у пустелі тощо.

Деякі знання з тригонометрії накопичили і вчені Стародавнього Вавилону. Засновниками ж тригонометрії прийнято вважати давньогрецьких вчених Гіпарха (бл. 180 р. - бл. 125 р. до н. е.) і Птолемея (бл. 100 р. - бл. 178 р.). Зокрема, Гіпарх склав таблиці хорд - перші тригонометричні таблиці. Більш точні таблиці синусів склав Птолемей. Крім цих таблиць, його праця «Альмагест» містила також тогочасні відомості з астрономії та суміжних наук.

У Європі вперше тригонометрія як самостійна наука трактується у праці «П'ять книг про трикутник усіх видів» Йоганна Мюллера (1436-1476). Подальший розвиток тригонометрії відбувся завдяки Миколаю Копернику (1473-1543), Франсуа Вієту (1540-1603), Йоганну Кеплеру (1571-1630) і був пов'язаний з дослідженнями в астрономії.

Сучасного вигляду тригонометрія набула у працях Леопарда Ейлера (1707-1783), який уперше сформулював означення тригонометричних функцій, розглянув їх для довільних кутів та довів кілька тригонометричних формул.

Термін «синус» уперше з’явився у працях індійського вченого Аріабхатти (476-550). Термін «косинус» є скороченням латинського «complementy sinus», тобто додатковий синус.

«Сучасні позначення «sin x» і «cos x» уперше запропонував Йоганн Бернуллі в 1739 р. в листі до Леопарда Ейлера. Ейлер їх прийняв і систематизував.

Терміни «тангенс» і «котангенс» уведено арабським математиком Абу-н-Вефа (940-998). Він же склав перші таблиці тангенсів і котангенсів.

• Що називають початковим радіусом; кутом повороту?

• Який кут повороту вважають додатним, а який - від’ємним?

• Сформулюйте означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута а. о Яке коло називають одиничним?

• Сформулюйте означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута а, заданого на одиничному колі.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. 17.1. Чому дорівнюють sin а і cos а, якщо куту а на одиничному колі відповідає точка

17.2. Чому дорівнюють sin β і соs β, якщо куту β на одиничному колі відповідає точка Р_β(0,8; 0,6)?

Знайдіть (17.3-17.4):

17.3.

17.4.

Накресліть коло із центром у початку координат і, використовуючи транспортир, позначте кут повороту, що дорівнює (17.5-17.6):

17.5.

1) 60°;

2) 210°;

3) -40°;

4) -320°.

17.6.

1) 110°;

2) 300°;

3) -130°;

4) -200°.

2. Запишіть кут а у вигляді а = а₀ + 360°k, де 0° ≤ а₀ < 360°, а k — деяке ціле число (17.7-17.8):

17.7.

1) а = 420°;

2) а = 765°;

3) а = -320°;

4) а = -1060°.

17.8.

1) а = 730°;

2) а = 395°;

3) а = -710°;

4) а = -770°.

17.9. Кутом якої чверті є кут β, якщо:

1) β = 190°;

2) β = -190°;

3) β = 105°;

4) β = -105°;

5) β = 89°;

6) β = -89°;

7) β = 320°;

8) β = -320°?

17.10. Кутом якої чверті є кут у, якщо:

17.11. Відомо, що sin у = -; cos y = -. Знайдіть tg y і ctg y.

17.12. Відомо, що sin β = ; cos β = -. Знайдіть tg β і ctg β.

Знайдіть за допомогою калькулятора (округліть до тисячних) (17.13-17.14):

17.13.

17.14.

Знайдіть значення виразу (17.15—17.18):

17.15.

17.16.

17.17.

17.18.

Знайдіть за допомогою калькулятора (округліть до сотих) (17.19-17.20):

17.19.

17.20.

3. 17.21. Серед кутів повороту 520°; 440°; -310°; 220°; 770°; -560° знайдіть ті, у яких початковий радіус прийматиме те саме положення, що й при повороті на кут:

1) 50°;

2) 160°.

17.22. Знайдіть у проміжку від 0° до 360° кут β такий, щоб поворот початкового радіуса на цей кут збігався з поворотом на кут а, якщо:

1) а = 480°;

2) а = -70°;

3) а = 1150°;

4) а = -670°.

17.23. Укажіть кут а, що належить проміжку [360°; 720°], для якого:

1) sin а =1;

2) соs а = 0;

3) sin а = 0;

4) соs а = -1.

17.24. Укажіть кут β, що належить проміжку [-360°; 0°], для якого:

1) sin β = -1;

2) соs β = 1.

17.25. Укажіть три таких значення х, для яких:

17.26. Укажіть два таких значення а, для яких:

Обчисліть (17.27-17.28):

17.27.

17.28.

17.29. Знайдіть значення виразу sin За + sin 2а, якщо:

17.30. Знайдіть значення виразу соs а + соs 2а - соs За, якщо:

Які координати має точка одиничного кола, отримана при повороті точки Р₀(1; 0) на кут (17.31—17.32):

17.31.

17.32.

17.33. Точка одиничного кола має абсцису, що дорівнює числу - . Яка ордината у цієї точки?

17.34. Точка одиничного кола має ординату, що дорівнює числу - . Яка абсциса у цієї точки?

4. Обчисліть (17.35—17.36):

17.35.

17.36.

17.37. Точка Р_а одиничного кола має координати (а; b). Знайдіть координати точок Р_-а і Р_а+180°.

Знайдіть координати точок одиничного кола, отриманих при повороті точки Р₀(1; 0) на кут (17.38-17.39):

17.38.

17.39.

17.40. Для табору пластунів потрібно придбати цукор з розрахунку добової норми у 50 г цукру на одну особу. У таборі 4 курені на 28 місць кожен. Скільки кілограмових упаковок цукру знадобиться на 5 днів для всього табору?

17.41. Розв’яжіть рівняння

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

17.42. Радіус кола дорівнює 1 дм. Знайдіть довжину дуги, що відповідає центральному куту: