Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§ 11 ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ, ЩО МІСТЯТЬ КОРЕНІ

Властивості арифметичного кореня n-го степеня використовують для тотожних перетворень виразів: винесення множника з-під знака кореня, внесення множника під знак кореня, спрощення ірраціональних виразів.

1. Винесення множника з-під знака кореня

У виразах, що містять корені n-го степеня, як і у виразах, що містять арифметичні квадратні корені, також можна виносити множник з-під знака кореня, використовуючи при цьому теорему про корінь n-го степеня з добутку.

Приклад 1. Винести множник з-під знака кореня: 1) ; 2) .

Розв’язання.

Відповідь.

Приклад 2. Винести множник з-під знака кореня:

Розв’язання.

Очевидно, областю допустимих значень виразу є невід’ємні значення а, тобто а ≥ 0. Тоді а³ ≥ 0, а отже, |а³| = а³. Маємо:

3) Область допустимих значень виразу можна знайти з нерівності -b¹¹ ≥ 0, тобто b¹¹ ≤ 0. Отже, b ≤ 0, тому |b| = -b. Тепер виконаємо винесення множника з-під знака кореня:

Відповідь:

Приклад 3. Спростити вираз:

Розв’язання.

Відповідь. .

2. Внесення множника під знак кореня

Розглядаючи перетворення винесення множника з-під знака кореня у зворотному порядку, отримаємо перетворення, яке називають внесенням множника під знак кореня.

Приклад 4. Внести множник під знак кореня:

Розв’язання.

Зверніть увагу, що під знак кореня парного степеня вносимо лише модуль множника, знак множника залишаємо перед коренем.

Відповідь.

Приклад 5. Внести множник під знак кореня:

якщо m ≥ 0;

Розв’язання.

2) Оскільки m ≥ 0, то m = |m| = , тому

3) Оскільки а < 0, то а = -|а| = -4, тому

4) Оскільки в умові не задано обмежень для змінної b, розглянемо два випадки.

Якщо b > 0, то

Якщо b < 0, то

Відповідь.

Приклад 6. Внести множник під знак кореня:

Розв’язання. 1) ОДЗ: а > 0. Маємо:

2) ОДЗ: b ≤ 0. Маємо:

Відповідь:

Приклад 7. Спростити вираз

Розв’язання. Внесемо множник 5 під знак квадратного кореня і далі застосуємо властивості кореня n-го степеня:

Відповідь. .

3. Скорочення дробів

Приклад 8.Скоротити дріб:

Розв’язання. Вирази і мають зміст для а ≥ 0 і b ≥ 0, тому

Маємо:

2) 3 умови випливає, що х ≥ 0; х ≠ 2. Для таких значень х маємо:

Тоді:

Відповідь.

4. Звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу

Нагадаємо, що звільнитися від ірраціональності у знаменнику (чисельнику) дробу означає виконати такі перетворення цього дробу, щоб його знаменник (чисельник) не містив знака кореня.

Приклад 9. Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу:

Розв’язання.

2) Щоб звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу , помножимо його чисельник і знаменник на вираз, спряжений до знаменника, тобто на неповний квадрат різниці чисел і 1. Маємо:

Відповідь.

5. Спрощення виразів

Приклад 10. Спростити

Розв’язання. Зазначимо, що

Тоді

Відповідь.

Приклад 11. Спростити вираз А, якщо

Знайти область допустимих значень виразу А. Розв’язання. Спростимо підкореневий вираз:

ОДЗ: ≠ 0, z ≠ 1. Зауважимо, що

якщо z ∈ [-1; 0) и (1; +∞), і

якщо z ∈ (-∞; -1) ∪ (0; 1).

Тому маємо два випадки: 1) 2 є (-∞; - 1) ∪ (0; 1).

Тоді

2) z ∈ [-1; 0) ∪ (1; +∞). Тоді

Відповідь. — , якщо z ∈ (-∞; -1) ∪ (0; 1); , якщо z ∈ [-1; 0) ∪ (1; +∞).

Приклад 12. Доведіть, що

Розв’язання. Нехай

Оскільки (а + b)³ - а³ + b³ + 3аb(а + b), то

Маємо х³ -3х -18 = 0. За наслідком з теореми Безу знаходимо корінь: х = 3.

Тоді рівняння можна переписати у вигляді: (х - 3)(х³ + 3х + 6) = 0.

Многочлен х³ + 3х + 6 коренів не має, тому рівняння має єдиний розв’язок: х = 3. Отже,

• Поясніть, як винести множник з-під знака кореня.

• Поясніть, як внести множник під знак кореня.

• Поясніть, як звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробів:

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Виконайте дії (11.1—11.2):

11.1.

11.2.

Подайте у вигляді кореня (11.3—11.4):

11.3.

11.4.

2. Винесіть множник з-під знака кореня (11.5—11.6):

11.5.

11.6.

Внесіть множник під знак кореня (11.7—11.8):

11.7.

11.8.

Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу (11.9—11.10):

11.9.

11.10.

Спростіть вираз (11.11—11.12):

11.11.

11.12.

Замініть вираз йому тотожно рівним (11.13—11.14):

11.13.

11.14.

Обчисліть значення виразу (11.15—11.16):

11.15.

11.16.

Подайте у вигляді кореня (11.17—11.18):

11.17.

11.18.

3. Винесіть множник з-під знака кореня (11.19—11.20):

11.19.

11.20.

Внесіть множник під знак кореня (11.21—11.22):

11.21.

11.22.

Звільніться від ірраціональності у знаменнику дробу (11.23— 11.24):

11.23.

11.24.

Скоротіть дріб (11.25—11.28):

11.25.

11.26.

11.27.

11.28.

Спростіть вираз (11.29—11.30):

11.29.

11.30.

4. 11.31. Доведіть, що при а > 0, b > 0, а² > b мають місце формули складного радикала:

Спростіть вираз (11.32—11.33):

11.32.

11.33.

11.34. Обчисліть:

Спростіть вираз (11.35—11.36):

11.35.

11.36.

11.37. Спростіть вираз

і знайдіть його значення, якщо х = .

Спростіть вираз (11.38—11.39):

11.38.

якщо а > b > 0.

11.39.

Знайдіть значення виразу (11.40—11.41):

11.40.

якщо а = 9:

якщо а = 2019; b = -0,5;

якщо х = 4,25.

11.41.

якщо а = 2018;

якщо х = 2020; у = 16;

якщо р = 2,5.

11.42. Доведіть, що значення виразу

не залежить від значення змінної.

11.43. Обчисліть значення виразу а³ + 3а, якщо

Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу (11.44— 11.45):

11.44.

11.45.

11.46. Доведіть, що раціональним є число:

11.47. Доведіть, що число

є раціональним.

11.48. Унаслідок пошкодження водопровідний кран став протікати. Щосекунди з нього падає крапля води, а за 24 хв набігає повна склянка. Скільки води втрачається через цей кран за добу? За місяць? Що треба зробити, щоб уникнути цих втрат? (Вважатимемо, що в 1 літрі 5 склянок води, а в 1 місяці 30 днів).

11.49. (Національна олімпіада Румуни, 1981 р.). Розв’яжіть рівняння х⁶ + 3х³ + 1 = y⁴ у цілих числах.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріали

11.50. Знайдіть область визначення функції:

11.51. Побудуйте графік функції: