Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§21 ФОРМУЛИ ПОТРІЙНОГО ТА ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТІВ. ВИРАЖЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА

Таблиця 31

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Формули потрійного аргумента

Використовуючи формули додавання, формули подвійного аргумента, основну тригонометричну тотожність і формулу tgactga = 1, одержуємо такі формули:

sin 3а = sin (2а + а) = sin 2а ∙ cos а + cos 2а ∙ sin а =

= 2 sin a ∙ cos²а + (1 - 2 sin² a) ∙ sin а =

= 2 sin а ∙ (1 - sin² а) + (1 - 2 sin² а) ∙ sin а =

= 3sina - 4sin³а.

Отже, sin3a = 3sina-4sin³ a .

cos 3a - sin (2a + a) - cos 2a ∙ cos a - sin 2a ∙ sin a = (2 cos² a -1) ∙ cos a - 2 sin² a ∙ cos a = (2 cos² a -1) ∙ cos a - 2 (1 - cos² a) ∙ cos a = 4 cos³ a - 3 cos a.

Отже, cos3a = 4cos3 a - 3cosa.

Отже,

Отже,

Зауваження. Функції sin³a і cos³a існують при будь-яких

значеннях а, а tg³a існує тільки тоді, коли 3а ≠ + k, де k ∈ Z , тобто отже, а ≠ (2k + 1), k ∈ Z . Аналогічно ctg3a існує тільки тоді, коли 3a ≠ k , де k ∈ Z. Тоді а ≠ , k ∈ Z.

2. Формули пониження степеня

З формул cos²a = 1 - sin²а та cos²a = 2cos² a-1 одержуємо формули пониження степеня:

(1)

(2)

Формули половинного аргумента

Якщо у формулах (1) і (2) замість a взяти аргумент , то одержимо:

(3)

(4)

Із формул (3) і (4) одержуємо формули половинного аргумента для синуса і косинуса:

(5)

(6)

У цих формулах знак перед коренем вибирають залежно від знака тригонометричної функції, що стоїть у лівій частині рівності.

Якщо почленно розділити формули (5) і (6) та врахувати, що

то одержуємо:

(7)

(8)

У формулах (7) і (8) знак перед коренем також вибирають залежно від знака тригонометричної функції, що стоїть у лівій частині рівності.

Зазначимо, що формули (5) і (6) можна використовувати при будь-яких значеннях а , а формули (7) і (8) тільки тоді, коли існують значення tg та ctg відповідно. Отже, формулу (7) можна використовувати, якщо тобто а ≠ + 2 k , k ∈ Z, а формулу (8) — якщо ≠ k, тобто а ≠ 2 k, k ∈ Z.

Зауважимо, що для тангенса і котангенса половинного аргумента можна одержати формули, які не містять квадратних коренів. Наприклад,

(9)

Дійсно, ураховуючи, що аргумент а вдвічі більший за аргумент , маємо:

якщо 1 + cosa ≠ 0. Тобто формулу (9) можна використовувати при а ≠ + 2 k , k ∈ Z.

Аналогічно обґрунтовують формулу

(10)

якщо sina ≠ 0, тобто формулу (10) можна використовувати при а ≠ k , k ∈ Z .

Ураховуючи, що одержуємо формули:

Вираження тригонометричних функцій через тангенс половинного аргумента

Щоб одержати відповідні формули для sin а і cos a , запишемо кожен із цих виразів за формулами подвійного аргумента і поділимо на

Потім, щоб перейти до тангенсів, поділимо чисельник і знаменник одержаного дробу на cos² (звичайно, за умови, що cos² ≠ 0, тобто при а ≠ + 2 k, k ∈ Z).

Отже,

(11)

Отже,

(12)

Якщо почленно поділити рівності (11) і (12), то одержимо формули:

(13)

Зауважимо, що формулу (13) можна одержати і за формулою тангенса подвій

ного аргумента, оскільки а = 2 ∙ .

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад

Обчисліть, не користуючись таблицями і калькулятором:

1) sin 15°; 2) cos15°; 3) tg15°.

Коментар

Оскільки аргумент 15° становить половину від аргумента 30°, а косинус 30° нам відомий, то можна знайти шукані значення за формулами половинного аргумента. Ураховуючи, що аргумент 15° розташований у І чверті (де значення всіх тригонометричних функцій додатні), у формулах (5) і (6) перед знаком квадратного кореня вибираємо знак «+». Для того щоб знайти тангенс 15°, можна застосувати будь-яку з формул: (7), (9) або (10), але зручніше використати формули (9) або (10), запис яких не містить квадратних коренів. Після того як знайдено значення sin15° і cos15°, можна також скористатися формулою

Розв’язання

Зауваження. Записи відповідей для sin15° і cos15° можна дещо спростити, записавши під знаком зовнішнього квадратного кореня квадрат двочлена. Щоб подати, наприклад, вираз 2 - у вигляді квадрата двочлена, помножимо і поділимо цей вираз на 2 (та розглянемо вираз 2 як подвоєний добуток чисел 1). Одержуємо:

Тоді

Виконуючи аналогічні перетворення, маємо

Запитання

1. Запишіть формули потрійного та половинного аргументів і формули вираження тригонометричних функцій через тангенс половинного аргумента. Проілюструйте на прикладах застосування цих формул.

2. Обґрунтуйте формули потрійного та половинного аргументів і формули вираження тригонометричних функцій через тангенс половинного аргумента.

Вправи

21.1. Обчисліть, не користуючись таблицями і калькулятором:

1) sin22°30'; 2) cos22°30'; 3) tg22°30'.

21.2. Знайдіть якщо:

21.3. Обчисліть якщо

21.4. Обчисліть cos , якщо

21.5. Обчисліть sin а, якщо

21.6. Обчисліть tg , якщо sin а + cos а = і < а < 2.

21.7. Обчисліть якщо tg = 2 .

21.8. Ураховуючи, що sin36° = cos54° , обчисліть sin18°.

Виявіть свою компетентність

21.9. Вантаж масою 0,16 кг коливається на пружині зі швидкістю, яка змінюється за законом де t — час із моменту початку коливань, Т = 24 с — період коливань, v_{0 = 0},5 м/с. Кінетична знергію Е (в джоулях) вантажу обчислюється за формулою де m — маса вантажу в кілограмах, v — швидкість руху вантажу (в м/с), знайдіть кінетичну знергію вантажу через 4 с після початку коливань. Відповідь подайте у джоулях.

Додаткові завдання до теми «Тригонометричні функції» та відомості з історії наведено на сайті interactive.ranok.com.ua.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ ДО ОЦІНЮВАННЯ

Тест № З

1. Кутом якої чверті є кут, радіанна міра якого дорівнює 3,5 радіана?

АІ БII ВIII ГIV

2. Знайдіть значення виразу

А 0

Б 1

В-1

Г-

3. Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1-3), та властивостями (А-Г) цих функцій.

4. Знайдіть cos а, якщо sin а = -0,8, < а < .

А 0,2

Б-0,2

В-0,6

Г0,6

5. Спростіть вираз sin²atgoc.

A cos²a

Б sin²a

B 2sin²a

Г 2cos²a

6. Спростіть вираз 16sin15° ∙ cos30° ∙ sin75°.

7. Знайдіть найменший додатний період функції

8. Установіть відповідність заданими виразами (1-3), та тотожно рівними їм виразами (А-Г).

9. Побудуйте графік функції

(запишіть розв’язання).

Пройдіть онлайн-тестування на сайті interactive.ranok.com.ua.

Теми навчальних проектів

1. Фінансова математика.

2. Екологія та математика.

3. Забруднення навколишнього середовища: географічний і математичний аспект.