Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§19 СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ФУНКЦІЯМИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

Таблиця 26

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

• На рисунку в табл. 26 зображене одиничне коло, тобто коло радіуса 1 з центром у початку координат. Рівняння цього кола: х² + у² =1.

Нехай унаслідок повороту на кут а точка Р₀(1; 0) одиничного кола переходить у точку Р_а(х; у) (тобто унаслідок повороту на кут а радіус ОР₀ переходить у радіус ОР_а. Нагадаємо, що синусом а називають ординату точки Р_а(х; у) одиничного кола, тобто sina = у, а косинусом а — абсцису цієї точки, тобто cosa = x. Координати точки Р_азадовольняють рівняння кола, тоді х² + у² = 1,отже, sin² a + cos² a = 1.

Це співвідношення називають основною тригонометричною тотожністю.

Нагадаємо також, що:

Тоді

тобто

tga ∙ ctga = l (sina ≠ 0 і cosa ≠ 0).

За допомогою цих співвідношень і основної тригонометричної тотожності одержуємо:

тобто

Аналогічно отримуємо:

тобто

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Знаючи значення однієї з тригонометричних функцій та інтервал, у якому міститься a, знайдіть значення інших трьох тригонометричних функцій:

Коментар

1) Рівність sin2 a + cos2 a = 1 пов’язує sin a і cos a та дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу.

Наприклад, cos² a = 1 - sin² a. Тоді

Ураховуючи, у якій чверті міститься a , ми можемо визначити знак, який потрібно взяти в правій частині формули (це знак косинуса в II чверті). Знаючи sin а і cos а , знаходимо

Зазначимо, що після знаходження tga значення ctga можна також знайти зі співвідношення tg а ∙ ctg а - 1.

2) Рівність tga ∙ ctga = l пов’язує tga і ctga і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу як обернену величину.

Рівність 1 + tg² пов’язує tga та cos а і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу.

Наприклад,

Тоді

Знаючи, у якій чверті

міститься a , ми можемо визначити знак, який потрібно взяти в правій частині формули (це знак косинуса в III чверті). Щоб знайти sin a , можна скористатися співвід

ношенням tga ∙ cosa = ∙ cos a = sin a .

Розв’язання

1) Із рівності sin² a + cos² a = 1 одержуємо: cos² a = 1 - sin² a .

Звідси

Оскільки 90° < a < 180°, то cosa < 0, а отже,

Тоді

2) 3 рівності tga ∙ ctg a = 1 отримуємо

Підставляємо в рівність значення tga і одержуємо

Звідси

Оскільки то cosa < 0, тоді

Приклад 2

Спростіть вираз sin⁴ a - cos⁴ a + cos² а.

Коментар

Для перетворення тригонометричних виразів водночас із тригонометричними формулами використовують також алгебраїчні формули, зокрема формули скороченого множення.

Так, вираз sin⁴ a - cos⁴ а можна розглядати як різницю квадратів: (sin² a)² - (cos² a)².

Тоді його можна розкласти на множники (як добуток суми і різниці sin² а та cos² a).

Розв’язання

sin⁴ a - cos⁴ a + cos² a = (sin² a + cosa)(sin² a - cos² a) + cos² a =

= 1 sin² a - cos² a) + cos a = sin² a - cos² a + cos² a = sin2 a.

Вправи

19.1. Чи існує число а, яке одночасно задовольняє умови:

19.2. Знаючи значення однієї з тригонометричних функцій та інтервал, у якому міститься а, обчисліть значення інших трьох тригонометричних функцій:

19.3.

Спростіть вираз:

19.4*. 1) Відомо, що sin а + cos а = . Знайдіть sin a ∙ cos а.

2) Відомо, що tg a + ctg а = 2. Знайдіть:

а) tg² a + ctg²а; б) tg³ a + ctg³ a.

19.5. Доведіть тотожність: