Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 1 ФУНКЦІЇ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

§4. ВЛАСТИВОСТІ АРИФМЕТИЧНОГО КОРЕНЯ n-ГО СТЕПЕНЯ

1. Корінь з добутку і дробу

З курсу алгебри 8 класу ми знаємо, що: коли а ≥ 0 і b ≥ 0, то коли а ≥ 0 і b > 0, то

Такі самі властивості має й арифметичний корінь n-го степеня для n > 2.

Теорема 1 (про корінь n-го степеня з добутку). Корінь n-го степеня з добутку двох невід’ємних чисел дорівнює добутку коренів n-го степеня із цих чисел, тобто якщо а ≥ 0 і b ≥ 0, то

Доведення. Оскільки а ≥ 0 і b ≥ 0, то вирази мають зміст і

Тому

Крім того,

Отже,

Тоді, за означенням арифметичного кореня n-го степеня, маємо:

Теорему можна поширити і на випадок, коли множників під знаком кореня більше двох.

Hаслідок. Корінь n-го степеня з добутку невід’ємних множників дорівнює добутку коренів n-го степеня із цих множників.

Доведення. Доведемо цей наслідок, наприклад, для трьох невід’ємних чисел а ≥ 0, b ≥ 0, с ≥ 0. Маємо:

За властивістю про корінь з добутку, наприклад, маємо:

Зауваження 1. Очевидно, що вираз при парному n має зміст, коли аb ≥ 0, тобто коли числа а і b - одного знака, а значить, і тоді, коли а і b - від’ємні. У такому випадку

рівність у теоремі 1 набуває вигляду

Отже, якщо ab ≥ 0 і n - парне.

Якщо в рівності поміняти місцями ліву і праву частини, то одержимо тотожність:

Добуток коренів n-го степеня з невід’ємних чисел дорівнює кореню n-го степеня з добутку цих чисел.

Наприклад,

Теорема 2 (про корінь n-го степеня з дробу). Корінь n-го степеня з дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню n-го степеня із чисельника, поділеному на корінь n-го степеня із знаменника, тобто якщо а ≥ 0 і b > 0, то

Пропонуємо довести цю теорему самостійно.

За теоремою 2, наприклад, маемо:

Зауваження 2. Очевидно, що корінь із частки при парному п має зміст, коли ab ≥ 0, b ≠ 0, отже, і у випадку, коли а ≤ 0, b < 0. У цьому випадку

Отже, якщо ab ≥ 0, b ≠ 0 і n - парне, то

Якщо в рівності поміняти місцями ліву і праву частини, то матимемо тотожність:

Частка, чисельник якої корінь n-го степеня з невід’ємного числа, а знаменник — корінь n-го степеня з додатного числа, дорівнює кореню n-го степеня із частки цих чисел.

Наприклад,

2. Корінь із степеня

Теорема 3 (про корінь n-го степеня із степеня). Для будь-якого дійсного а і натурального n, n ≥ 2, маємо:

Доведення. 1) Якщо n - парне, то вираз має зміст для будь-якого а, оскільки в цьому випадку аⁿ ≥ 0. Крім того, |а | ≥ 0 і |а|ⁿ = аⁿ. За означенням кореня n-го степеня,

2) Якщо n - непарне, то вираз також має зміст для будь-якого а, і, за означенням кореня n-го степеня, маємо:

За теоремою 3, наприклад, маємо:

3. Корінь із кореня

Теорема 4. Якщо n і k — натуральні числа і а ≥ 0, то

Доведення. Оскільки а ≥ 0, то вирази мають зміст і невід’ємні. Крім того,

За означенням кореня n-го степеня маємо:

За теоремою 4, наприклад, маємо:

Теорема 5. Якщо n, k і m — натуральні числа і а ≥ 0, то

Доведення. Використовуючи попередню теорему, маємо:

Зауваження 3. Якщо m - парне число, то вираз має зміст при будь-якому дійсному а, і тоді для будь-якого а має місце рівність: (доведіть самостійно).

Зауваження 4. Домовимося, що корінь першого степеня із числа а дорівнює числу а. Це дозволяє використовувати тотожність і у випадку, коли n = 1.

Враховуючи теорему 5 і зауваження, наприклад, маємо:

Теорема 6. Якщо n — натуральне число, k — ціле число і а > 0, то

Доведення. Оскільки то, за означенням кореня n-го степеня, маємо:

Наприклад,

4. Перетворення ірраціональних виразів

Властивості арифметичного кореня n-го степеня використовують для тотожних перетворень виразів: винесення множника з-під знака кореня, внесення множника під знак кореня, спрощення ірраціональних виразів.

Задача 1. Винести множник з-під знака кореня:

Розв’язання.

Відповідь.

Задача 2. Внести множник під знак кореня:

Розв’язання.

Відповідь.

Задача 3. Спростити вираз:

Розв’язання. Внесемо множник 5 під знак квадратного кореня та застосуємо теореми 4 і 5, матимемо:

Відповідь.

Задача 4. Скоротити дріб:

Розв’язання. Вирази мають зміст, якщо а ≥ 0 і b ≥ 0, тому

Маємо:

Відповідь.

Задача 5. Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу:

Розв’язання.

2) Помножимо чисельник і знаменник дробу на неповний квадрат різниці чисел

і 1, матимемо:

Відповідь.

Сформулюйте і доведіть теорему про корінь n-го степеня з добутку. Чому дорівнює добуток коренів n-го степеня? Сформулюйте теорему про корінь n-го степеня з дробу. Чому дорівнює частка коренів n-го степеня? Сформулюйте і доведіть теорему про корінь n-го степеня із степеня. Сформулюйте теорему про корінь n-го степеня з кореня.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

4.1. (Усно). Чи правильно виконано обчислення:

4.2. Чи правильно виконано обчислення:

Закінчіть обчислення (4.3—4.4):

4.3.

4.4.

Подайте вираз у вигляді добутку коренів (4.5—4.6):

4.5.

4.6.

Подайте вираз у вигляді частки коренів (4.7—4.8):

4.7.

4.8.

2

Знайдіть значення виразу (4.9—4.14):

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

Винесіть множник з-під знака кореня (4.15—4.16):

4.15.

4.16.

Внесіть множник під знак кореня (4.17—4.18):

4.17.

4.18.

Звільніться від ірраціональності у знаменнику дробу (4.19—4.20):

4.19.

4.20.

3

Знайдіть значення виразу (4.21—4.26):

4.21.

4.22.

4.23.

4.24.

4.25.

4.26.

Подайте вираз у вигляді одночлена (змінні є невід’ємними числами) (4.27-4.28):

4.27.

4.28.

Спростіть вираз (4.29—4.31):

4.29.

4.30.

4.31.

Винесіть множник з-під знака кореня (4.32—4.33):

4.32.

4.33.

Внесіть множник під знак кореня (4.34—4.35):

4.34.

4.35.

Звільніться від ірраціональності у знаменнику дробу (4.36—4.37):

4.36.

4.37.

Скоротіть дріб (4.38—4.39):

4.38.

4.39.

Спростіть вираз (4.40—4.41):

4.40.

4.41.

Порівняйте числа (4.42—4.43):

4.42.

4.43.

4

Скоротіть дріб (4.44—4.45):

4.44.

4.45.

Порівняйте числа (4.46—4.47):

4.46.

4.47.

Обчисліть (4.48—4.49):

4.48.

4.49.

Спростіть вираз (4.50—4.51):

4.50.

4.51.

Життєва математика

4.52. Клієнт «Добробанку» взяв кредит у розмірі 24 000 грн на рік під 16 %. Погашати банку кредит він має, вносячи щомісяця однакову суму коштів так, щоб через рік виплатити всю суму кредиту разом з відсотками. Скільки коштів має щомісяця вносити в банк цей клієнт?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

4.53. Подайте:

1) числа 16; 2; у вигляді степеня з основою 2;

2) числа 0,001; 10; 100 у вигляді степеня з основою 10.

4.54. Обчисліть:

4.55. Подайте вираз у вигляді степеня з основою а:

4.56. Знайдіть значення виразів, використовуючи властивості степенів:

4.57. Спростіть вираз: