Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 3 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ МИ

- ознайомимося з поняттям границі функції в точці, похідної, таблицею похідних;

- дізнаємося про геометричний і фізичний зміст похідної, правила обчислення похідних;

- навчимося застосовувати похідну для дослідження функцій і побудови їх графіків, розв’язування прикладних задач.

§17. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ В ТОЧЦІ

1. Поняття границі функції в точці

Розглянемо функцію f(x) = x - 1. Знайдемо її значення в точці х = 3, отримаємо: f(3) = 3 - 1 = 2.

Складемо таблицю значень функції f(x) = х - 1 у точках, які на числовій прямій лежать досить близько до числа 3.

З таблиці помічаємо, що чим ближче аргумент х до числа 3, тим ближче значення функції в цій точці до числа 2.

У такому разі, кажуть, що якщо аргумент прямує до числа 3 (позначають так: х → 3), то значення функції прямує до числа 2 (позначають так: f(x) → 2). Для запису цього факту використовують позначення lim, а саме, (читають:«ліміт (або границя) х - 1 при х, що прямує до 3, дорівнює 2»). Число 2 при цьому називають границею функції f(x) = х - 1 у точці 3. Позначення lim прийшло в математику від латинського слова limes, що означає «границя».

У загальному випадку запис означає, що границя функції у = f(x) у точці х₀ дорівнює числу А.

Зауважимо, що у прикладі, який ми щойно розглянули, границя функції f(x) = х - 1 у точці 3 дорівнює значенню функції в цій точці. У цьому випадку кажуть, що функція f(x) = х - 1 неперервна в точці 3.

Функцію у = f(x) називають неперервною в точці x₀, якщо вона визначена в цій точці і виконується рівність

Зауважимо, що це означення не суперечить інтуїтивно зрозумілому поняттю неперервності функції, даному у п. З § 2.

Зверніть увагу, що всі відомі нам раніше функції неперервні в кожній точці своєї області визначення.

Наприклад, функція f(x) = 3х⁷ - 5х² + 4х - 11 неперервна для всіх значень х (іншими словами, функція неперервна на R), а функція неперервна для всіх значень х, за винятком значення х = 2. Нагадаємо, що у цьому випадку кажуть, що функція g(x) неперервна на кожному з проміжків (-∞; 2) і (2; +∞), а в точці х = 2 має розрив.

Незважаючи на те, що функція в точці х — 2 має розрив, границю функції в цій точці знайти можна.

Приклад 1. Розглянемо функцію значення якої в точці х = 2 не існує. Складемо таблицю значень цієї функції в точках, які на числовій прямій розташовані досить близько до числа 2.

Отже, чим ближче аргумент х до числа 2, тим ближче значення функції g(x) до числа 4. Запишемо це так:

Такого висновку можна дійти і розглянувши графік функції

D(g): х ≠ 2. Спростимо формулу функції на D(g), маємо:

Отже, графіком функції є пряма у = х + 2 з «порожньою» точкою (2; 4) (мал. 17.1). По графіку бачимо, що при наближенні аргументу х до числа 2 значення функції наближається до числа 4.

Мал. 17.1

2. Означення границі функції в точці

Повернемося до п. 1 параграфа. Запис х → 3 означає, що відстань між точками х і 3 є дуже малою; наприклад, меншою за якесь додатне число δ, тобто |х - 3| < δ. Зауважимо, що запис х → 3 означає, що х саме прямує до числа 3, але не обов’язково досягає значення 3. Тому в означенні границі функції в точці не розглядають значення функції в цій точці.

Запис f(x) → 2 означає, що коли х → 3, відстань між значенням функції і точкою 2 є дуже малою, наприклад, меншою за деяке додатне число є, тобто |f(x) — 2| < .

Для будь-якого ε > 0 можна знайти таке значення δ > 0, що для всіх х таких, що х ≠ 3 і |х - 3| < δ, справджуватиметься нерівність: |f(x) - 2| < ε.

Дійсно, нехай, наприклад, ε = 0,02, тоді |f(х) - 2| < 0,02. Оскільки f(x) = х - 1, маємо: |х - 1 - 2| < 0,02, тобто |х - 3| < 0,02, отже, δ = 0,02.

Сформулюємо означення границі функції в точці.

Число А називають границею функції у = f(x) в точці якщо для будь-якого > 0 знайдеться таке число δ > 0, що для всіх х ≠ х₀ таких, що |х - x₀| < δ, справджується нерівність: |f(x) - A| < ε.

Задача 1. Довести за означенням, що

Розв’язання. Розглянемо ε > 0 таке, що |(5х - 1) - 4| < ε.

Маємо:

Позначивши = δ, отримаємо: |х - 1| < δ. Отже, для будь-якого ε > 0 знайшлося таке δ = , що для всіх значень х таких, що х ≠ 1, які задовольняють умову |х - 1| < δ, справджується нерівність: |(5х — 1) - 4| < ε. Отже, за означенням,

Зауважимо, що оскільки функція f(x) = 5х - 1 є неперервною на R, зокрема і в точці 1, то значення границі дорівнює значенню функції f(x) в точці х = 1, тому

3. Правила обчислення границі функції в точці

Розглянемо основні властивості границі функції в точці.

Властивість 1.

Властивість 2. Якщо функції f(x) і g(x) мають границі в точці х₀, то в цій точці існують границі їх суми, різниці і добутку, причому

Властивість 3. де С - деяке число.

Властивість 4. Якщо існує границя функції f(x) у точці х₀, то в цій точці існує і границя функції kf(x), де k ≠ 0 - деяке число, причому

Властивість 5. Якщо функції f(x) і g(x) мають границі в точці х₀, причому границя функції g(x) відмінна від нуля, то існує границя частки функцій у точці х₀, причому

Ці властивості використовують для обчислення границь.

Задача 2. Обчислити:

Розв’язання. 1) 1-й спосіб.

2-й спосіб. Оскільки функція f(x) = х² - 2х + 7 неперервна для х ∈ R, і зокрема в точці 5, то

2) Функція має числове значення в точці -2, тому вона неперервна в цій точці.

Отже,

Відповідь. 1) 22;   2) 4.

Властивості та вправи, що ми розглянули, приводять до висновку:

якщо значення функції у = f(x) у точці х₀ існує і функція в цій точці неперервна, то

Задача 3. Обчислити:

Розв’язання. Значення виразу для х = 1 не існує. Розкладемо на множники чисельник і знаменник дробу:

Оскільки х → 1, але х ≠ 1, то х - 1 ≠ 0 і дріб можна скороти ти на х - 1. Отримаємо дріб для якого значення в точці х = 1 існує. Отже, маємо:

Відповідь. 2.

А ще раніше…

Походження поняття границі, що сягає корінням у сиву давнину, пов’язане зі знаходженням площ криволінійних фігур і об’ємів тіл, обмежених кривими поверхнями.

Перше теоретичне узагальнення і обґрунтування методів обчислення площ і обємів, у яких неявно використовувалися граничні переходи, було дане найвидатнішим грецьким математиком IV cм. до н. е. Евдоксом Кнідським. Метод Евдокса в XVII cм. був названий методом вичерпання. Так, наприклад, за допомогою свого методу Евдокс довів, що об’єм піраміди дорівнює третині об’єму призми з тією ж основою і тією ж висотою, а об’єм конуса - третині об’єму відповідного циліндра.

Дінострат, сучасник і учень Евдокса, застосовуючи методи свого вчителя, знайшов, що названий в сучасній термінології «першою чудовою границею».

Наступними цеглинами до фундаменту теорії границь слід вважати праці «Геометрія неподільних безперервних» (1635 р.) Кавальєрі і «Геометрична праця» Грегуара де Сен-Венсана.

Величезний внесок до теорії границь був зроблений завдяки полеміці і конкуренції між двома найбільшими математичними школами XVII cм. Одну з них очолював Лейбніц, а її учасниками були Лопіталь, брати Бернуллі, Ейлер. Іншу школу очолював Ньютон, а одним з ії представників був Маклорен. Обидві школи створили потужні алгоритми, які призвели, по суті, до одних і тих самих результатів - створення диференціального й інтегрального числення. Одним із цих алгоритмів і став метод границь.

Коли функцію у = f(x) називають неперервною в точці х₀? Сформулюйте означення границі функції в точці. Сформулюйте властивості границі функції в точці.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1

Знайдіть границю (17.1—17.2):

17.1.

17.2.

17.3. Чи буде функція f(x) неперервною в точці 3, якщо:

17.4. Чи буде функція g(x) неперервною в точці 2, якщо:

Обчисліть границі (17.5—17.6):

17.5.

17.6.

17.7. Відомо, що Знайдіть границю в точці 1 для функції:

17.8. Відомо, що Знайдіть границю в точці 2 для функції:

17.9. Обчисліть:

17.10. Обчисліть:

3

Доведіть за означенням границі, що (17.11—17.12):

17.11.

17.13. Відомо, що Знайдіть границю в точці 3 для функції:

17.14. Відомо, що

Знайдіть границю в точці 1 для функції:

Обчисліть границі (17.15—17.16):

17.15.

17.16.

За означенням границі, доведіть, що (17.17—17.18):

17.17.

17.18.

Обчисліть границю (17.19—17.22):

17.19.

17.20.

17.21.

17.22.

Життєва математика

17.23. У вересні 1 кг винограду коштував 20 грн, у жовтні виноград здорожчав на 25 %, а в листопаді по відношенню до ціни жовтня ще на 20 %. Скільки став коштувати 1 кг винограду в листопаді?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріaлу

17.24. Спростіть вираз f(а + b) - f(а), якщо: