Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§11. ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ

Тригонометричні функції кутів х ± а, де 2, (або х = 90°; 180°; 270°; 360°) можна зводити до тригонометричних функцій кута а за допомогою формул, які називають формулами зведення.

З курсу геометрії ми знаємо, що:

sin (180° - а) = sin а;   cos (180° - а) = - cos а;

sin (90° - а) = cos а;   cos (90° - а) = sin а;

або у радіанах:

Застосовуючи ці формули та властивості тригонометричних функцій, можна знайти формули зведення для різних кутів.

Наприклад, для кута + а, матимемо:

А для кута - а, ураховуючи вищезгадані формули, матимемо:

У той самий спосіб можна знайти формули зведення для всіх зазначених на початку параграфа кутів. Усього таких формул тридцять дві. Запишемо їх у вигляді таблиці (с. 103).

Ці формули не треба запам’ятовувати. Достатньо лише помітити в них певну закономірність, сформулювати її у вигляді правила і запам’ятати. Для цього домовимося називати синус кофункцією косинуса, косинус - кофункцією синуса, тангенс - кофункцією котангенса, і котангенс - кофункцією тангенса.

Тепер сформулюємо правило застосування цих формул.

У правій частині формули зведення записуємо той і знак (+ або -), який має ліва частина формули за умови, що кут а — гострий, причому для кутів ± а, 2 + а назву тригонометричної функції не змінюємо, для кутів — назву змінюємо на кофункцію.

Зауважимо, що кут а вважаємо гострим тільки для зручності використання правила. Кожна з формул зведення є правильною для будь-якого а з області визначення тригонометричної функції.

Зверніть увагу, що послідовність міркувань за згаданим правилом можна стисло сформулювати у вигляді мнемонічного¹ правила: «Чверть. Знак. Назва». Розглянемо приклад на застосування правила.

Задача 1. Записати через тригонометричну функцію кута а:

1) cos( - а);   2) ctg(270° - а).

Розв’язання. 1) Чверть: ( - а) - кут II чверті (мал. 11.1). Знак: косинус у II чверті - від’ємний, тому матимемо знак «-». Назва: для кута ( - а) назва тригонометричної функції зберігається, тобто матимемо «cos». Отже, сов( - а) = -cos а.

2) (270° - а) - кут III чверті (мал. 11.1), тангенс у III чверті має знак « + ». Оскільки 270° = , то назву функції змінюємо на кофункцію, тобто на «tg». Отже, ctg(270° - а) = tg а.

Відповідь. 1) -cos а; 2) tg а.

Мал. 11.1

¹ Мнемоніка (давньогр. - мистецтво запам’ятовування) - сукупність прийомів і методів запам’ятовування інформації.

Формули зведення допомагають обчислювати значення тригонометричних функцій деяких кутів, що перевищують (або 180°).

Для формули зведення такі кути можна записувати одним із двох способів, у вигляді суми або різниці. Наприклад, кут 195° лежить на одиничному колі між кутами 180° и 270°, тому його можна записати і як 180° + 15°, і як 270° - 75°.

Задача 2. Обчислити:

Розв’язання.

1) 1-й спосіб. tg315° = tg(360° - 45°) = -tg45° = -1. 2-й спосіб. tg330° = tg(270° + 45°) = -ctg45° = -1.

Відповідь. 1) -1;   2) -0,5.

За допомогою формул зведення, властивостей періодичності, парності чи непарності тригонометричних функцій знаходження значень тригонометричних функцій будь-якого кута можна звести до знаходження значень тригонометричних функцій гострого кута.

Задача 3. Обчислити cos (-945°).

Розв’язання. Послідовно використаємо парність косинуса, його періодичність та формулу зведення:

Відповідь.

Формули зведення використовують і для тотожних перетворень тригонометричних виразів.

Задача 4. Спростити вираз:

Розв’язання. Оскільки:

Відповідь. 0.

Задача 5. Довести, що де а, β і у — кути трикутника.

Розв’язання, а, β і у — кути трикутника, тому а + β + у = , отже, а + β = - у і тобто

Тоді

Сформулюйте правило та мнемонічне правило застосування формул зведення.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

Користуючись таблицею формул зведення (с. 103), зведіть до тригонометричної функції кута а (11.1—11.2):

11.1.

11.2.

Користуючись правилом, зведіть до тригонометричної функції кута а (11.3—11.4):

11.3.

11.4.

Зведіть до тригонометричної функції гострого кута (11.5—11.6):

11.5. 1) sin182°;   2) cos217°;   3) tg342°;   4) ctg690°;

5) sin(-126°);   6) cos(-592°);   7) tg(-227°);   8) ctg(-190°).

11.6. 1) sin318°;   2) cos 142°;   3) tg459°;   4) ctg219°;

5) sin(-193°);   6) cos(-249°);   7) tg(-549°);   8) ctg(-251°).

Обчисліть (11.7—11.8):

11.7.

11.8.

Спростіть вираз (11.9—11.12):

11.9.

11.10.

3

11.11.

11.12.

Зведіть до тригонометричної функції гострого кута (11.13—11.14):

11.13.

11.14.

Знайдіть значення виразу (11.15—11.18):

11.15.

11.16.

11.17.

11.18.

Спростіть вираз (11.19—11.20):

11.19.

11.20.

Доведіть тотожність (11.21—11.22):

11.21.

11.22.

4

11.23. Дано: cos а = -0,8. Знайдіть:

1) cos(180° + а);   2) sin(270° - а);

3) cos(270° + а);   4) sin(180° - а).

11.24. Дано: sin а = 0,6, 0° < а < 90°. Знайдіть:

11.25. а і β - суміжні кути, cos а = -. Знайдіть sinβ і cosβ.

11.26. а і β - суміжні кути, sinβ = . Знайдіть sin а і cos а.

Нехай а, β, у - кути трикутника. Доведіть, що (11.27—11.28):

11.27.

11.28. tg(a + β) = -tg у.

Життєва математика

11.29. Залежність обсягу попиту q (одиниць у місяць) від ціни р (тис. грн) на продукцію підприємства-монополіста задається формулою q = 50 - 5p. Виручка підприємства за місяць r (у тис. грн) обчислюється за формулою r(p) = qp. Визначте найбільшу ціну р, при якій виручка за місяць r(р) складе не менше ніж 120 тис. грн.

Підготуйтеся де вивчення нового матеріалу

11.30. Обчисліть:

1) cos 390°;   2) sin 765°;   3) sin(-300°);   4) cos(-1050°).

11.31. Знайдіть нулі функції:

11.32. Побудуйте графік функції: