Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина IІ ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 6 Координати і вектори

§39 Прямокутні координати в просторі

1. ПРЯМОКУТНА ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ У ПРОСТОРІ

Ви вже знаєте, як вводять систему координат на площині. У просторі прямокутну декартову систему координат можна задати аналогічно (мал. 280).

Проведемо три взаємно перпендикулярні координатні прямі, які

перетинаються в точці О. Точку О називають початком координат, а проведені прямі OX, OY, OZ — осями координат. Будемо вважати координатну вісь ОХ віссю абсцис, вісь OY — віссю ординат, а вісь OZ — віссю аплікат.

Кожна вісь розбивається точкою О на дві півосі. Одну з них, позначену стрілкою, називатимемо додатною, а другу — від’ємною.

Мал. 280

Простір із введеною в ньому системою координат називають координатним простором.

Координатні осі, взяті попарно, визначають три координатні площини — XOY, XOZ, YOZ.

Як взаємно розміщуються координатні площини? Площини XOY, XOZ, YOZ попарно перпендикулярні.

Координатні площини розбивають простір на 8 координатних октантів (табл. 27).

Таблиця 27

Зверніть увагу:

для наочності зображень фігур у просторовій декартовій системі координат OXYZ її будують у такий спосіб (див. мал. 280):

1) осі OY і OZ розміщують відповідно горизонтально й вертикально, а вісь ОХ — під однаковими кутами до кожної з них; 2) додатний напрям на осях указують так, щоб перехід ОХ — OY — OZ здійснювався проти годинникової стрілки; 3) одиничні відрізки на осях OY і OZ задають однакової довжини, а на осі ОХ — удвічі коротший.

2. КООРДИНАТИ ТОЧКИ

Кожній точці у просторі можна поставити у відповідність трійку чисел, узятих у певному порядку, і навпаки, кожній трійці чисел відповідає єдина точка координатного простору. Таку упорядковану трійку чисел називають координатами точки в даній системі координат.

Задача 1. Знайдіть координати точки А (мал. 281).

Розв’язання.

1. Проведемо з точки А до координатних площин перпендикуляри АА _x, AA _xz і АА _yz (проводимо відрізки, паралельні осям). Довжини цих перпендикулярів, узяті з відповідними знаками, будуть координатами точки А.

2. Щоб знайти довжини відрізків АА _xy, AA _xz і АА _yz, проведемо з їх основ перпендикуляри до осей координат (проводимо відрізки, паралельні осям).

Одержимо точки А _х, А _y, А _z. При цьому ОА _x = АА _yz, ОА _y = АА _xz, ОА _z = АА _xz.

3. Визначимо координати точки А. Для цього знайдемо відстані від початку координат О до точок А _х, А _y, А _z. Одержуємо: ОА _х = 6, ОА _у = 5, OA _z = 4. Отже, точка А має координати: А(6; 5; 4).

Мал. 281

Які особливості координат точки, що лежить у координатній площині або на осі координат? Відповідні координати цієї точки дорівнюють нулю. Наприклад, точка С(5; -7; 0) лежить у площині XOY, точка D (0; 0; 3) — на осі OZ.

Зверніть увагу:

для визначення координат точки в даній прямокутній системі координат у просторі достатньо побудувати прямокутний паралелепіпед з вершинами: у даній точці, у її проекціях на координатні площини, у проекціях цих проекцій на осі координат і в початку координат.

Задача 2. У прямокутній декартовій системі координат побудуйте точку А (6; 5; -4).

Розв’язання. 1.Наосяx OX,OY і OZ позначимо числа 6, 5 і -4, що відповідають координатам даної точки В. Одержали точки В _х, В _y, В _z. (мал. 282).

2. На відрізках ОВ _х = 6, ОВ _у = 5, ОВ _z = |-4| = 4 як на ребрах побудуємо прямокутний паралелепіпед ОВ _xВ _xyВ _yВ _zВ _xzВВ _yz. Його вершина В — шукана точка.

Мал. 282

3. ВІДСТАНЬ МІЖ ДВОМА ТОЧКАМИ

У просторі відстань між двома точками, заданими координатами в прямокутній декартовій системі координат, знаходять за формулою, яка аналогічна встановленій у планіметрії.

Формула відстані між точками А i В Якщо А (x ₁; у ₁; x ₁) і В (х ₂; у ₂; z ₂), то

Задача 3 Знайдіть відстань між точками М (2; 8; -3) і N (-1; 4; -3).

Розв’язання.

Зверніть увагу:

у просторі, як і на площині, відстань між двома точками дорівнює кореню квадратному із суми квадратів різниць їх відповідних координат.

4. КООРДИНАТИ СЕРЕДИНИ ВІДРІЗКА

У просторі координати середини відрізка, заданого координатами кінців у прямокутній декартовій системі координат, знаходять за формулою, яка аналогічна встановленій у планіметрії.

Формули координат середини відрізка АВ

Якщо А (x ₁; у ₁; z ₁), В (х ₂; у ₂; z ₂) і М (x; у; z) — середина відрізка АВ, то

Задача 4 Знайдіть координати середини відрізка з кінцями в точках С (3; 4; -5) і D (5; -4; 3).

Розв’язання. Нехай М (х; у, z) — середина відрізка CD, тоді:

Отже, середина відрізка CD має координати М (4; 0; -1).

Зверніть увагу:

кожна координата середини відрізка дорівнює півсумі відповідних координат його кінців.

Дізнайтеся більше

1 . Прямокутна декартова система координат названа на честь французького математика і філософа Рене Декарта (1596-1650). Вона широко застосовується не тільки в математиці, а й фізиці, астрономії, економіці, практиці. Наприклад, у такій системі координат зручно зображати траєкторію руху тіла в просторі.

2. У перекладі з латини abscissa означає «відрізок», ordinata — та, що визначає, ставить у відповідність, applicata — та, що прикладається (апліката дає додаткові відомості до двох відомих координат у площині XOY— абсциси та ординати).

Терміни «абсциса», «ордината», «координата» в сучасному їх тлумаченні ввів Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716). Довгий час словом «координата» одночасно позначали й абсцису, й ординату точки: со — разом, ordinare (лат.) - визначати, ставити у відповідність.

3. Білоусова Віра Петрівна (1906-1986) — геометр, кандидат фізико-математичних наук, професор. Навчалась, а потім працювала в Київському університеті імені Тараса Шевченка. Підручник «Аналітична геометрія» В. П. Білоусової, І. Г. Ільїна, О. П. Сергуновоїта В. П. Котлової перевидавався декілька разів і тривалий час залишався базовим навчальним посібником для студентів-математиків університетів.

Пригадайте головне

1. Поясніть, як побудувати прямокутну декартову систему координат у просторі.

2. Що таке координатні площини; координатні октанти?

3. Поясніть, як визначити координати точки в прямокутній декартовій системі координат у просторі.

4. Поясніть, як побудувати точку за її координатами.

5. Запишіть формулу відстані між двома точками із заданими координатами.

6. Запишіть формулу координат середини відрізка.

Розв'яжіть задачі

815. За даними на малюнку 283 визначте координати точок: 1) А, В, С, D, Е, F; 2) K, L, M, N, О, Р.

816. На якій координатній осі лежить точка: 1) А (0; 1; 0); 2) В (-2; 0; 0); 3) С (0; 0; -5); 4) К (0; 0; 1); 5) L (0; -4; 0); 6) М (3; 0; 0)?

Побудуйте її.

817. Задані точки лежать у координатній площині XOY (мал. 284). Скопіюйте малюнок та проставте назви проекцій даних точок на координатні прямі. Запишіть координати заданих точок.

818. У якій координатній площині лежить точка: 1) А (4; 1; 0);

2) В (-2; 0; 3); 3) С (0; -1; -5); 4) К (6; 0; 1); 5) L (0; -4; -3);

6) М (3; 2; 0)? Запишіть координати проекцій даної точки на координатні прямі. Побудуйте задану точку.

Мал. 283

Мал. 284

Мал. 285

Мал. 286

819. Задані точки лежать у координатній площині: 1) YOZ (мал. 285); 2) XOZ (мал. 286). Скопіюйте малюнок та проставте назви проекцій даних точок на координатні прямі. Запишіть координати заданих точок.

820. Задайте прямокутну декартову систему координат у просторі та побудуйте у ній точки: 1) А (1; 1; 1), В (1; -1; 1), С (-1; -1; 1), D (-1; 1; 1); 2) А (-1; -1; -1), В (-1; 1; -1), С (1; 1; -1), D (1; -1; -1).

821. Які знаки мають координати точок у певному координатному октанті? Заповніть таблицю 28.

Таблиця 28

822. Запишіть координати точки А, якщо:

1) А _х (2; 0; 0), А _у (0; -1; 0), А _z (0; 0; -3);

2) А _х (-3; 0; 0), А _у (0; 2; 0), А _z (0; 0; 4);

3) А _х (-5; 0; 0), А _у (0; 2; 0), А _z (0; 0; -1).

823. Запишіть координати точки В, якщо:

1) В _xy (2; 1; 0), B _yz (0; 1; -3), B _х, (2; 0; -3);

2) В _ху (-4; 1; 0), В _уz (0; 1; 2), B _х, (-4; 0; 2);

3) В _ху (-5; -3; 0), В _уz (0; -3; -3), В _хz (-5; 0; -3).

Координати скількох проекцій на координатні площини достатньо знати, щоб визначити координати даної точки?

824. Знаючи координати точки, знайдіть відстань від цієї точки до вказаної координатної площини. Заповніть таблицю 29.

Таблиця 29

825. Визначте відстань між точками:

1) А (0; 0; 0), В (3;4;5);

2) А (0; 0; 0), В (1;-2; 2);

3) А(-5; -7;1), В (3; -1; 1).

826. Знайдіть відстань від точки А до початку координат, якщо:

1) А (2; 4; );   2) А (1; 4; -1);   3) А (3; ; 5).

827. Точка М — середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки М. Заповніть таблицю 30.

Таблиця 30

828. Знайдіть координати середин сторін трикутника ABC, якщо:

1) А (0; 0; 0), В (0; 0; 4), С (3; 0; 0);

2) А (1; 1; 1), В (0; 0; 1), С (2; 2; 1);

3) А (5; 4; -1), В (-7; 4; -6), С (-12; 4; 6).

829. Знайдіть координати всіх вершин куба ABCDA ₁B ₁C ₁D ₁ з ребром 2. Система координат введена наступним чином:

1) початок координат міститься у вершині А, вісь ОХ — це пряма АВ, вісь OY — пряма АD, вісь OZ — пряма АА ₁;

2) початок координат міститься у вершині В, вісь ОХ — це пряма ВА, вісь OY — пряма ВС, вісь OZ — пряма ВВ ₁;

3) початок координат міститься у вершині А ₁, вісь ОХ—це пряма А ₁A, вісь OY — пряма А ₁B ₁ вісь OZ — пряма A ₁D ₁.

830. Дано прямокутний паралелепіпед АВСDA ₁B ₁С ₁D ₁. Знайдіть координати всіх вершин паралелепіпеда, якщо відомі координати деяких його вершин:

1) А (0; 0; 0), В (1; 0; 0), В (0; 3; 0), А ₁ (0; 0; 5);

2) А (0; 0; 0), В (5; 0; 0), В (0; 6; 0), А1 (0; 0; 6);

3) А (1; 0; 0), В (4; 0; 0), В (1; 3; 0),А ₁ (1; 0; 5).

831. Яка з точок А (-2; -1; 3), В (0; 1; 3), С (0; -3; 3) ближче розміщена до осі: 1) OZ; 2) ОХ; 3) OY?

832. Яка з точок А (-2; -1; 3), В (0; 1; 6), С (0; -3; 1) ближче розміщена до площини: 1) XOZ; 2) YOZ; 3) XOY?

833. Знайдіть периметр трикутника ABC, вершини якого мають координати:

1) А (0; 0; 0), В (3; 1; ), С (3; 4; 0);

2) А (-2; -1; 3), В (0; 1; 3), С (0; -3; 3).

834. Знайдіть суму довжин ребер піраміди ABCD, знаючи координати її вершин:

1) А (0; 0; 0), В (0; 0; 4), С (3; 0; 0), D (0; 3; 0);

2) А (1; 1; 1), В (0; 0; 1), С (2; 2; 1), D (0; 0; 5).

835. Доведіть, що АВ = 4CD, якщо:

1) А (7; 6; 0), В (-1; 2; 2 ), С (0; 2; 3), В (0; -1; -1);

2) А ( ; 1; -1), В (3 ; 3; 1), С (2; 0; 0), В (0; 0; 0).

836. Відстань між точками А і В дорівнює d. Знайдіть х, якщо:

1) А (2; 3; 1), В (х; 3; 1), d = 2;

2) А (-1; х; 2), В (3; 2х; 5), d = 10;

3) А (2; 1; х), В (5; -3; 6x),d = 3 .

837. Знайдіть площу квадрата ABCD, знаючи координати двох сусідніх його вершин:

1) А (3; 2; 1), В(8; 7; 1);

2) А (10; 3; 3), В(-2; 0;-1);

3) А (6; 4; 0), В (-3; 1; ).

838. Знайдіть площу грані куба, знаючи координати двох сусідніх його вершин:

1) А (1; 1; 1), В (2; 2; 2);

2) А (3; 1; -1), В (1; 2; -1);

3) А (2; 4; ); В (0; 0; 0).

839. Доведіть, що трикутник ABC —рівнобедрений, якщо:

1) А (3; 5; -4), В (-1; 1; 2), С (4; -3; 0);

2) А (2; 1; 7), В (3; 5; 6), С (-1; -1; 4);

3) А (1; 1; 2), В (0; 0; 0), С (1; 2; 1).

840. Доведіть, що чотирикутник ABCD — квадрат, якщо А (7; 2; 4), В (4; -4; 2), С (6; -7; 8); D (9; -1; 10).

841. Доведіть, що трикутник ABC є прямокутним, якщо:

1) А (0; 0; 0), В (1; 2; 0), С (3; 1; 0);

2) А (-2; 0; -1), В (0; 0; 1), С (0; 0; -3).

842. Дано куб ABCDA ₁B ₁С ₁D ₁, ребро якого дорівнює а. Введемо систему координат так, що початок координат міститься у центрі О грані ABCD куба, вісь ОХ — це пряма ОВ, вісь OY — пряма ОС, вісь OZ — пряма ОО ₁, де O ₁— центр грані А ₁В ₁С ₁D ₁. Знайдіть координати всіх вершин куба.

843. Дано прямокутний паралелепіпед АВСDА ₁B ₁С ₁D ₁, у якому АВ = 1, АС = 2, АА ₁= 4. Узявши за початок координат вершину А, за вісь абсцис — пряму АВ, вісь ординат — пряму AD, вісь аплікат — пряму AA ₁, знайдіть координати всіх вершин паралелепіпеда.

Проявіть компетентність

844. Кристалічна решітка кристала кухонної солі є кубом, у центрі якого розташований іон натрію (Na ⁺) з координатами (0,5а; 0,5а; 0,5а). Один з найближчих до нього йон хлору (Сl ^-) має координати ядра (а; 0,5а; 0,5а). Знайдіть відстань між йонами натрію і хлору, якщо довжина решітки дорівнює а = 5,63 х 10 ^-10 м.

845. Під час ремонту даху майстер перемістився з точки А в точку С за схемою, зображеною на малюнку 287. Знайдіть довжину пройденого шляху та відстань по прямій від точки А до точки С.

846. У торговому центрі, щоб потрапити до взуттєвого відділу, треба пройти від входу десять кроків прямо, шість кроків ліворуч, піднятися ліфтом на третій поверх, пройти чотири кроки праворуч. У прямокутній декартовій системі координат побудуйте траєкторію руху від входу до взуттєвого відділу.

847. У прямокутній декартовій системі координат побудуйте траєкторію вашого руху від вхідних дверей школи до класу, де проходитиме перший урок.

Мал. 287