Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина IІ ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 4 Паралельність прямих і площин у просторі

§32 Властивості паралельних площин

1. ПАРАЛЕЛЬНІ ПЛОЩИНИ І СІЧНА ПЛОЩИНА

Важливі властивості паралельних площин пов’язані з площиною, що їх перетинає. Цю площину називатимемо січною площиною. Наприклад, на малюнку 160 ви бачите паралельні площини а і β та січну площину у. Прямі р і q — прямі перетину паралельних площин січною площиною.

Теорема (про паралельні площини і січну площину)

Якщо дві паралельні площини перетнути третьою, то прямі перетину будуть паралельними.

Дано: а || β, у — січна площина;

AD — пряма перетину площин а і у;

ВС — пряма перетину площин β і у (мал. 161).

Довести: AD || ВС.

Доведення. За умовою прямі AD і ВС лежать у січній площині у. Вони не можуть перетинатися, бо інакше перетиналися б паралельні площини а і β, а це суперечить умові. Отже, AD || ВС.

Мал. 160

Чи є правильним твердження, обернене до теореми про паралельні площини і січну площину? Ні. З того, що прямі перетину двох даних площин третьою паралельні, не випливає, що дані площини паралельні (мал. 162).

Задача 1. Доведіть, що січна площина перетинає протилежні грані куба по паралельних прямих.

Мал. 161

Мал. 162

Мал. 163

Мал. 164

Розв’язання. Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁ — даний куб, січна площина а перетинає його грані ABC і А_1B1С₁ по прямих KL і MN (мал. 163). Доведемо, що KL || MN.

Оскільки гранями куба є квадрати, то АВ || А₁B₁ і ВС || B₁С₁. Тоді, за ознакою паралельності площин, площини граней ABC і А₁B₁С₁ паралельні. За теоремою про паралельні площини і січну площину, прямі KL і MN перетину площин основ куба січною площиною паралельні.

Зверніть увагу:

• у прямокутному паралелепіпеді протилежні грані попарно паралельні;

• січна площина перетинає паралельні грані многогранника по паралельних прямих.

2. ВЛАСТИВОСТІ ПАРАЛЕЛЬНИХ ПЛОЩИН

Подивіться на малюнок 164. Поверхня моста (площина а) паралельна поверхні річки (площині β). Частини його опор, що виступають над водою (відрізки паралельних прямих а і b), є рівними. Пряма с (напрям течії річки) і пряма d (лінія руху на мосту) є мимобіжними. Через кожну з них проходить єдина площина, що паралельна другій прямій. Ці приклади ілюструють такі властивості паралельних площин.

Властивості паралельних площин

1. Паралельні площини відтинають від паралельних прямих рівні відрізки (мал. 165).

Якщо

а || β і а || b, то АВ = CD.

Мал. 165

2. Через кожну з двох мимобіжних прямих проходить єдина площина, паралельна другій мимобіжній прямій, причому ці дві площини паралельні (мал. 166).

Якщо а і b — мимобіжні, то:

1) a проходить через а так, що а || b, a — єдина;

2) β проходить через b так, що β || а, β — єдина;

3) a || β.

Мал. 166

Сформулюємо властивості прямих, що перетинаються, які випливають із властивостей паралельних площин.

1. Якщо дві прямі, що перетинаються, відповідно паралельні двом іншим прямим, що перетинаються, то кут між першими прямими дорівнює куту між другими (мал. 167).

2. Дві прямі, паралельні перпендикулярним прямим, перпендикулярні одна до одної (мал. 168).

3. Два кути з відповідно паралельними й однаково напрямленими сторонами — рівні (мал. 169).

Мал. 167

Мал. 168

Мал. 169

Задача 2. У бічних гранях SAB і SBC правильної чотирикутної піраміди SABCD проведено середні лінії KL і LM (мал. 170). Яка градусна міра кута KLM?

Розв’язання. Оскільки KL і LM — середні лінії трикутників SAB і SBC, то KL || АВ і LM || ВС. Кути KLM і ABC мають однаково напрямлені сторони. Тому, за властивістю кутів з відповідно паралельними й однаково напрямленими сторонами ∠KLM = ∠ABC. За умовою, дана піраміда — правильна, тому ∠ABC = 90°. Отже, ∠KLM = ∠ABC = 90°.

Мал. 170

Дізнайтеся більше

Микола Миколайович Боголюбов (1909- 1992) — видатний вітчизняний математик і механік, фізик-теоретик, засновник наукових шкіл з нелінійної механіки і теоретичної фізики, академік АН УРСР і АН СРСР Народився в м. Нижній Новгород Російської імперії. У 1921 р. сім’я переїхала до Києва. У 15-річному віці Боголюбов написав першу наукову працю, а в 20 років одержав ступінь доктора математичних наук.

Плідну наукову діяльність М. М. Боголюбов поєднував з викладанням у Київському та Московському університетах. У 1966 р. став першим директором створеного ним Інституту теоретичної фізики АН УРСР у Києві.

Пригадайте головне

1. Поясніть, що таке січна площина для двох даних площин.

2. Сформулюйте теорему про паралельні площини та січну площину.

3. Назвіть властивості паралельних площин.

4. Як формулюються властивості прямих, що перетинаються?

Розв'яжіть задачі

629. Наведіть приклади паралельних площин і січної площини на предметах у класній кімнаті.

630. Наведіть приклади з довкілля, що ілюструють властивість:

1) перпендикулярних прямих;

2) кутів з відповідно паралельними й однаково напрямленими сторонами.

631. На малюнках 171 - 173 назвіть січну площину та прямі її перетину з паралельними площинами а і β. Яке взаємне розміщення прямих перетину? Скільки січних площин для даних паралельних площин зображено на малюнках?

Мал. 171

Мал. 172

Мал. 173

Мал. 174

632. За малюнками 174, 175 з’ясуйте, чи виконується рівність: ∠ABC = ∠A₁B₁C₁. Відповідь поясніть.

633. Накресліть прямокутний паралелепіпед ABCDA B₁C₁D₁. Проведіть січну площину, яка перетинає такі паралельні площини: 1) ABC і А₁В₁С₁; 2) ADD₁ і ВСС₁; 3) АВВ₁ і C₁CD. Чи перетинає побудована січна площина іншу пару паралельних площин? Назвіть прямі перетину січної площини з паралельними площинами. Яке їх взаємне розміщення? Зробіть відповідний запис.

Мал. 175

634. Паралельні площини а і β відтинають на сторонах ВА і ВС кута ABC відрізки: ВМ = MM₁ і BN = NN₁. Заповніть таблицю 20.

Таблиця 20

635. Накресліть: 1) прямокутний паралелепіпед ABCD А₁В₁С₁D₁. 2) куб ABCD А₁В₁С₁D₁. На ребрі АВ позначте точку К і через неї проведіть січну площину паралельно грані AA₁D₁D. Який чотирикутник утворився в перерізі? Відповідь поясніть.

636. Накресліть трикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобедрений трикутник з кутом: 1) при вершині 110°; 2) при основі 50°; 3) при вершині 30°. Через середини бічних ребер піраміди проведіть січну площину. Який многокутник утворився в перерізі? Які в нього кути? Відповідь поясніть.

637. Накресліть чотирикутну піраміду, в основі якої лежить ромб із кутом: 1) 100°; 2) 40°; 3) 60°. Через середини бічних ребер піраміди проведіть січну площину. Який многокутник утворився в перерізі? Які в нього кути? Відповідь поясніть.

638. Дві сторони паралелограма паралельні площині а. Чи можна стверджувати, що площина паралелограма паралельна площині а?

639. Дві сторони трикутника паралельні площині а. Доведіть, що й третя сторона трикутника паралельна площині а.

640. У кубі з ребром а проведіть площину через: 1) середини двох суміжних сторін верхньої основи й центр нижньої; 2) середини двох суміжних сторін бічної грані та центр протилежної бічної грані. Знайдіть периметр і площу перерізу.

641. Паралельні площини відтинають від двох паралельних прямих рівні відрізки. Доведіть.

642. Чи можуть паралельні площини відтинати рівні відрізки від непаралельних прямих? Відповідь обґрунтуйте.

643. Паралельні площини а і β перетинають сторону АВ кута ВАС в точках М і М₁, а сторону АС — відповідно в точках N і N₁. Знайдіть довжину відрізка MN, якщо:

1) АМ = 12 см, АМ₁ = 18 CМ, M₁N₁= 54 см;

2) AM = 24 см, AM₁ = 18 CМ, M₁N₁= 54 см.

644. Відрізки АА₁, ВВ₁ і CC₁, які не лежать в одній площині, мають спільну середину. Доведіть, що площини ABC і А₁В₁С₁ паралельні. Чому дорівнюють кути АА₁В₁С₁, якщо:

1) ∠A = 30°, ∠B = 60° ∠C = 90°;   2) ∠A = 50°, ∠B = 60° ∠C = 70° ?

645. Точка D не лежить у площині трикутника ABC, точки М, N і Р — середини відрізків DA, DB, DC. Доведіть, що площини ABC і MNP паралельні. Чому дорівнюють кути ∆ABC , якщо:

1) ∠M = 120°, ∠N = 25° ∠P = 35°;   2) ∠M = 40°, ∠N = 40° ∠P = 80° ?

646. Доведіть, що три прямі, які перетинають кілька паралельних площин, визначають на кожній з них вершини трикутників, що є:

1) рівними, якщо дані прямі паралельні;

2) подібними, якщо дані прямі перетинаються в одній точці.

647. Два рівних рівносторонніх трикутники ABC і А₁В₁С₁ розміщені у просторі так, що сторони їх відповідних кутів паралельні й однаково напрямлені. BE і CD — висоти ∆ABC, C₁D₁— висота ∆А₁В₁С₁. Знайдіть кути між прямими: 1)АС₁В₁С₁; 2) АС і A₁B₁; 3) CD і A₁B₁; 4) АС і СD₁; 5) BE і В₁С₁; 6) BE і C₁D₁.

Проявіть компетентність

648. Чому можна одночасно висунути всі шухляди тумбочки?

649. Поясніть, як розмітити на стінках шафи місця для кріплення поличок.

650. Як перевірити за допомогою косинця, чи правильно навісили двері? На якій властивості ґрунтується така перевірка?

651. Канал із трикутним перерізом завглибшки 2,8 м перегороджено щитом, який має форму рівностороннього трикутника. Щоб визначити гідростатичний тиск на перегородку, треба знати її площу. Обчисліть площу трикутного щита ABC, якщо його розміщено вертикально (мал. 176).

Мал. 176