Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 Тригонометричні функції

§19 Рівняння cos х = a

Мал. 72

Функція косинус, як і синус, є обмеженою: всі її значення лежать у межах числового відрізка [-1; 1]. Тому якщо |а| > 1, то рівняння cosx = а розв’язків не має. Розглянемо, як розв’язати це рівняння, якщо |а| < 1. Пряма у = а перетинає графік у = cosxбезліч разів (мал. 72). У межах числового проміжку, що дорівнює найменшому додатному періоду косинуса 2, наприклад лежать два розв’язки цього рівняння а і —а (косинус — парна функція). Отже, серії розв’язків мають вигляд: х = а + 2n та х = -а + 2n, n ∈ Z. ix можна подати однією формулою:

х = ±а + 2n, n ∈ Z.

Ця формула виражає множину розв’язків рівняння cosx = а через один з них, тобто а. Значенням а можна довільно взяти будь-яке число, косинус якого дорівнює а. У результаті одержимо безліч формул, що задають одну й ту саму множину розв’язків даного рівняння.

Щоб досягти однозначності, домовилися значення а брати з проміжку [0; ], на якому функція у = cosx, спадаючи від 1 до -1, набуває всіх своїх значень по одному разу. Таке значення позначають arccosa (читають: «арккосинус а»).

arccosa — це число (кут) із проміжку [0; ], косинус якого дорівнює а.

Наприклад, бо бо

Знайдемо

Часто припускаються помилки, міркуючи так: якщо

Але це неправильно, бо, по-перше, а не -; по-друге, - не належить проміжку [0; ].

Щоб знайти співвідношення між вдамося до одиничного кола. Зобразимо на ньому в межах [0; ] кут а, косинус якого дорівнює -, тобто (мал. 73), а також кут , косинус якого дорівнює , тобто arcos .

Мал. 73

Оскільки ∆АОВ = ∆А₁ОВ₁ (за катетом ОВ = ОВ₁ = і гіпотенузою АО = А₁О = 1), то ∠AOB = ∠А₁ОВ₁ = β. Тоді а = - ∠АОВ = - β. Отже,

Узагалі, arccos(-a) = - arccosa, а > 0.

Загальна формула розв’язків рівняння cosx = а має вигляд: x = ± arccosa + 2n, n ∈ Z.

Задача 1. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання Загальна формула розв’язків n ∈ Z.

Отже, х = ± + 27n, n ∈ Z.

Задача 2. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання.

Отже, х = + + 27n, n ∈ Z.

Задача 3. Розв’яжіть рівняння cosx = 0.

Розв’язання, х = ±arccos0 + 2n, n ∈ Z.

Розв’язок цього рівняння можна записати і в іншому вигляді. Розглянемо одиничне коло (мал. 74). Усі числа, косинус яких дорівнює 0, зображаються двома точками А і A₁, що є кінцями вертикального діаметра цього кола. Одне із чисел, позначене точкою А, дорівнює . Усі інші числа можна одержати з формули х = + 7n, n ∈ Z.

Мал. 74

Можна обґрунтувати, що формули х = ± + 2n, n ∈ Z і х = + n, n ∈ Z задають одну й ту саму множину чисел.

Пригадайте головне

1. Скільки розв’язків може мати рівняння cosx = а?

2. У яких випадках рівняння cosx = а не має розв’язків?

3. Як записати в загальному вигляді множину розв’язків рівняння cosx = а?

4. Що означає запис: arccosa?

5. Яка залежність між arccos(-a) і arccosa (0 ≤ а ≤ 1)?

Розв'яжіть задачі

377. Яке рівняння не має розв’язків:

378. Накресліть одиничне коло та позначте на ньому точки, що відповідають числам:

379. Який з виразів не має змісту:

380. Знайдіть:

381. Запишіть загальну формулу розв’язків рівняння cosx = . Користуючись нею, знайдіть чотири розв’язки цього рівняння.

382. Знайдіть по три розв’язки кожного рівняння:

383. Знайдіть і виправте помилку, якщо вона є, у записі:

384. Позначте на одиничному колі число та відповідний кут:

385. Обчисліть:

386. Знайдіть два додатні та два від’ємні розв’язки кожного рівнянь і зобразіть їх відповідними точками на одиничному колі:

387. Скільки розв’язків має рівняння cosx = -? Зобразіть ці розв’язки точками одиничного кола. Укажіть на малюнку точку, що зображає число і відповідний кут.

388. Обчисліть:

389. Знайдіть значення виразу:

390. Один з розв’язків рівняння cosx = m дорівнює b. Запишіть множину розв’язків цього рівняння.

391. Розв’яжіть рівняння та зобразіть точками на одиничному колі всі розв’язки кожного з них:

392. Розв’ яжіть рівняння, розклавши його ліву частину на множники:

1) 2 cos² х + cos х = 0;   2)3 sin х cos х + cos х = 0;

3) 4cos²х - 1 = 0;   4) sin2x + sinx = 0.

393. Розв’яжіть рівняння: