Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 1 Функції, їхні властивості та графіки

§1 Числові функції та їхні властивості

Поняття функції, окремі види функцій і їх властивості вам вже відомі з попередніх років навчання. Тут ми відновимо деякі важливі відомості, поглибимо знання про функцію.

1. ПОНЯТТЯ ФУНКЦІЇ

Різноманітні процеси, що відбуваються в довкіллі, слугують прикладами явищ, у яких зміна одних величин спричиняє зміну інших. Для вивчення того чи іншого явища потрібно встановити взаємозв’язок між величинами, які його описують, і дослідити його властивості. Такий взаємозв’язок у математиці задається за допомогою функцій.

Наведемо приклади.

1. Площа S (см²) круга радіуса r (см) залежить від довжини радіуса й визначається за формулою

S = r².

За цією формулою для кожного значення r > 0 можна знайти відповідне значення S.

Наприклад, якщо r = 2, то S = 4 ≈ 12,56; якщо r = 3,2, то S = 10,24 ≈ 32,1; якщо r = 5,1, то S = 26,01 ≈ 81,67.

2. Потяг Київ — Харків на певному проміжку шляху рухається зі сталою швидкістю 80 км/год.

Шлях, пройдений потягом, залежить від часу руху.

Позначимо час руху потяга в годинах через r, а пройдений шлях у кілометрах — через s. Залежність змінної s від змінної r в цьому випадку наведено в таблиці 1.

Таблиця 1

3. На малюнку 1 зображено графік зміни температури повітря протягом доби.

Мал. 1

За допомогою цього графіка для кожного моменту часу t (у годинах) від 0 до 24 год можна знайти відповідне значення температури Т (у градусах Цельсія).

Наприклад, якщо t = 6, то Т = -4; якщо t = 10, то Т = 2; якщо t = 18, то Т = 4.

В усіх наведених прикладах йдеться про залежність двох змінних, причому одна з них (r, , t) змінюється незалежно, а друга (S, s, Т) — набуває значень залежно від значень першої змінної. Першу із цих величин називають незалежною змінною, або аргументом, а другу — залежною змінною. Звернемо увагу на те, що в усіх прикладах кожному значенню незалежної змінної відповідає одне і тільки одне значення залежної змінної. Такі змінні називають функціонально залежними. У розглянутих прикладах незалежні й залежні змінні виражаються дійсними числами.

Нехай D — деяка множина дійсних чисел. Числовою функцією з областю визначення D називають таку залежність, за якої кожному числу х із множини D за певним законом відповідає одне дійсне число у, і записують у = f (x).

Змінну х називають незалежною змінною, або аргументом, а у — залежною змінною, або функцією. Число f (х₀) називають значенням функції f у точці х₀∈ D. Множину всіх значень незалежної змінної х називають областю визначення функції f і позначають D(f). Множину значень функції, яких вона набуває за всіх значень х із її області визначення, називають областю значень функції, і позначають E(f). Окрім букв х, у, f можна вживати й інші букви.

Графіком функції f називають множину точок (х; у) координатної площини хОу, де у = f(x), х ∈ D(f).

Зверніть увагу:

не будь-яка крива в прямокутній системі координат хОу задає функцію. За означенням функцію може задавати тільки така крива, яку кожна пряма х = х₀, x₀ ∈ D(f), паралельна осі Оу, перетинає лише в одній точці з ординатою у₀ = f(x0) (мал. 2).

Мал. 2

Крива, зображена на малюнку З, функцію не задає, бо в цьому випадку значенню х₀ відповідає не одне, як того вимагає означення функції, а три значення змінної у.

Розглянемо властивості функцій.

Проаналізуємо наведені вище приклади.

Областю визначення функції, розглянутої в прикладі 1, є r > 0, або r ∈ (0; +∞), а областю значень цієї функції є S > 0, або S ∈ (0; +∞), тобто й областю визначення, і областю значень функції є множина усіх додатних чисел.

У прикладі 2 областю визначення функції є множина D(s) = {1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4}, а областю значень — множина E(s) = {80; 120; 160; 200; 240; 280; 320}.

У прикладі 3 областю визначення функції є значення t, що задовольняють нерівність 0 < t < 24, або t ∈ [0; 24], а областю значень є -7 ≤ Т ≤ 5, або t ∈ [-7; 5]. Зазначені множини можна дістати, якщо графік функції спроектувати відповідно на вісь Ot і вісь температур ОТ (див. мал. 1).

Наведені вище приклади ілюструють основні способи задания функцій: аналітичний, або за допомогою формули (приклад 1), табличний (приклад 2), графічний (приклад 3).

Якщо функцію задано аналітично і не зазначено її області визначення, то під останньою розуміють множину всіх дійсних значень аргументу, за яких цей аналітичний вираз має зміст. Розглянемо приклади.

Мал. 3

Задача 1. Дано функцію

1) Знайдіть область визначення

функції; 2) визначте область значень функції; 3) обчисліть значення функції в точці, а саме: f(0), f (8); 4) визначте, чи існують значення функції в точках х = -2; -.

Розв’язання. 1) 3 огляду на властивість квадратного кореня дана формула матиме зміст для всіх значень х, для яких х + 1 ≥ 0, або х ≥ -1, тобто областю визначення функції є множина [-1; +∞), D(f) = [-1; +∞).

2) Область значень даної функції становлять значення y = f(x) ≥ 0, тобто Е(f) = [0; +∞), бо значення арифметичного квадратного кореня невід’ємні.

3) Знайдемо значення f (0). Для цього в дану формулу замість х підставимо 0. Тоді одержимо:

Аналогічно

4) Оскільки значення х = -2, х = - не належать області визначення функції, тобто -2 ∉ [-1; +∞), - ∉ [-1; + ∞), то функція в цих точках не визначена. Справді, якщо формально підставити значення х = -2 і х = - у задану формулу, то одержимо вирази що на множині дійсних чисел не мають змісту.

Задача 2. Функцію у = f(x) задано графічно (мал. 4). Знайдіть: 1) область визначення функції; 2) область значень функції.

Мал. 4

Розв’язання. 1) Абсциси точок графіка даної функції змінюються від -1 до 3, тому D(f) = [-1; 3].

2) Ординати точок графіка даної функції змінюються від 0 до 1,3, тому E(f) = [0; 1,3].

Зверніть увагу: область визначення функції є проекцією її графіка на вісь Ох, а область значень — проекцією графіка на вісь Оу.

2. ЗРОСТАННЯ ТА СПАДАННЯ ФУНКЦІЙ

Нехай функція f (х) визначена на множині D.

Функція f (х) називається зростаючою на множині D, якщо для довільних значень х₁ та х₂ цієї множини з нерівності х₂ > х₁ випливає нерівність f (х₂) > f (х₁), тобто більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції (мал. 5).

Функція f (х) називається спадною на множині D, якщо для довільних значень х₁ та х₂ цієї множини з нерівності х₂ > х₁ випливає нерівність f (х₂) < f (х₁), тобто більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції (мал. 6).

Мал. 5

Мал. 6

Зростаючі та спадні функції називають монотонними.

Схема дослідження функції у = f(x) на монотонність

1. Знайти область визначення функції D(f).

2. Дослідити на знак різницю f(х₂) - f(х₁) для довільних x₁, х₂ ∈ D (f), якщо х₂ > х₁

Якщо f(х₂) - f(х₁) > 0, то функція буде зростаючою на множині D; якщо f(х₂) - f(х₁) < 0, то спадною на цій множині. Якщо жодна із цих умов не виконується, то функція не є монотонною в усій її області визначення. У такому разі намагаються знайти окремі проміжки області визначення функції, на яких вона є монотонною.

Проілюструємо це на прикладах.

Задача 3 Дослідіть на монотонність функцію f(х) = 3х - 1.

Розв’язання. Областю визначення заданої функції є множина всіх дійсних чисел, D (f ) = R.

Нехай х₁, х₂ ∈ R.

довільні значення аргументу, причому х₂ > x₁, тобто х₂ - х₁ > 0. Відповідні значення функції: f(х₁) = 3х₁ - 1 і f(х₂) = 3х₂ - 1. Розглянемо різницю f(х₂) - f(х₁) = 3х₂ - 1 - 3х₁ + 1 = 3(х₂ - х₁) > 0.

Отже, f(x₂) > f(x₁) і задана функція зростає в усій області визначення.

Задача 4. Покажіть, що функція φ(х) = 2х² + 5 на проміжку (-∞; 0] є спадною, а на проміжку [0; +∞) — зростаючою.

Розв’язання. Областю визначення функції φ(х) = 2х² + 5 є множина всіх дійсних чисел, D (φ) = R.

Нехай х₁ і х₂ — довільні значення аргументу з області визначення функції, причому х₂ > x₁, тобто х₂ - х₁ > 0.

Тоді

Якщо x₁, x₂ ∈ (-∞; 0] , то х₁ + х₂ < 0, й оскільки х₂ - x₁ > 0, то φ(х₂) - φ(х₁) < 0, або φ(х₂) < φ(х₁), тобто на проміжку (-∞; 0] функція є спадною. Аналогічно, якщо х₁, х₂∈ [0; +∞), то х₁ + х₂ > 0, й оскільки х₂ - х₁ > 0, то φ(х₂) - φ(х₁) > 0, або φ(х₂) > φ(х₁), тобто на проміжку [0;+∞) функція є зростаючою.

3. ПАРНІ ТА НЕПАРНІ ФУНКЦІЇ

Нехай функція f(x) визначена на множині D, причому якщо х ∈ D, ТО -х ∈ D.

Функція f(x) називається парною, якщо f (-х) = f (х), х ∈ D.

Функція fix) називається непарною, якщо f (-х) = - f (х), х ∈ D.

Отже, області визначення як парної, так і непарної функцій симетричні відносно початку координат, і для протилежних значень аргументу значення парної функції збігаються, а непарної — є протилежними числами. Графік парної функції симетричний відносно осі Оу, а графік непарної функції симетричний відносно початку координат (мал. 7, 8).

Мал. 7

Мал. 8

Схема дослідження функції у = f (x) на парність і непарність

1. Знайти область визначення функції D(f) і переконатися, що вона є симетричною відносно початку координат. Якщо ця умова не виконується, то така функція не може бути ні парною, ні непарною.

2. Знайти значення функції f(-х) і порівняти його з f(х): якщо f(-х) = f(x), х ∈ D(f), то функція парна; якщо f (-х) = -f (х), х ∈ D(f), то функція непарна. Якщо жодна із цих умов не виконується, то функція не є ні парною, ні непарною.

Задача 5. Дослідіть на парність функцію f(х) = х² - 1.

Розв’язання. 1. D(f ) = R. 2. f(-х) = х² - 1 = f(х) для всіх х із множини R. Отже, функція є парною. Її графік симетричний відносно осі Оу (мал. 9).

Мал. 9

Мал. 10

Задача 6. Дослідіть на парність функцію φ (х) = x³.

Розв’язання. 1. D(φ)=R.

2. φ(-х) = -х³ = - φ(х) для всіх х із множини R. Отже, функція є непарною. Її графік симетричний відносно початку координат (мал. 10).

Задача 7. Дослідіть на парність функцію g(x) = 2х + 1.

Розв’язання. 1. D(g)=R.

2. g(-x) = 2(-х) + 1 = -2х + 1. Оскільки g(-x) ≠ g(x) і g(-x) ≠ -g(x), то функція не є ні парною, ні непарною (мал. 11).

Мал. 11

Дізнайтеся більше

Термін «функція» запровадив німецький математик Г. Лейбніц (1646- 1716), який функцію пов’язував із графіком. Л. Ейлер (1707-1783) і Й. Бернуллі (1667-1748) вважали функцію аналітичним виразом (формулою). Згодом Л. Ейлер увів загальніший підхід до поняття функції як залежності однієї

змінної величини від іншої. Цю точку зору було далі розвинено у працях російського математика М. І. Лобачевського (1792-1856), німецького математика П. Діріхле (1805-1859) та інших учених.

Г. Лейбніц

Остроградський М.В.

Кравчук М.П.

Важливий внесок у розвиток теорії функцій зробили українські математики Остроградський М. В. (1801-1862), Буняковський В. Я. (1804-1889), Кравчук М. П. (1892-1942), Ремез Є. Я. (1896-1975), Дзядик В. К. (1919-1998) та ін.

Пригадайте головне

1. Дайте означення функції.

2. Що називають областю визначення та областю значень функції? Наведіть приклади.

3. Які ви знаєте способи задания функції?

4. Що таке графік функції? Чи будь-яка крива на координатній площині є графіком функції?

5. Як для функції, заданої графічно, знайти область її визначення та область значень?

6. Яку функцію називають зростаючою; спадною? Наведіть приклади.

7. Яку функцію називають парною; непарною? Наведіть приклади.

Розв'яжіть задані

1. Чи правильно, що:

1) функція є довільною відповідністю між двома непустими множинами А і B;

2) є функції, які одночасно є парними і непарними;

3) не будь-яка крива на координатній площині задає функцію?

2. Наведіть приклад функції, заданої аналітично.

З. На якому з малюнків 12-15 задано функцію? Відповідь обґрунтуйте.

Мал. 12

Мал. 13

Мал. 14

4. Чи правильно, що точка О (0; 0) належить графіку функції:

5. Заповніть таблицю 2, якщо функцію задано формулою

Мал. 15

Таблиця 2

6. Заповніть таблицю 3, якщо функцію задано формулою у = -3х² + 1.

Таблиця З

7. Знайдіть область визначення функції:

8. Знайдіть область визначення функції:

9. Знайдіть область значень функції:

10. Знайдіть область значень функції:

11. За графіком функції у = f(x) (мал. 16) знайдіть:

1) область визначення;

2) область значень;

3) f(0), f(-3), f(5),

4) точки перетину з осями координат;

5) значення х, за яких f(x) = 4, f(x) = 2, f(x) = -3 ;

6) проміжки монотонності функції.

Мал. 16

12. Побудуйте графік функції:

Знайдіть: 1) область визначення функції; 2) область значень функції.

13. Побудуйте графік функції:

Знайдіть: 1) область визначення функції; 2) область значень функції.

14. Користуючись означенням, дослідіть функцію на монотонність:

15. Зростаючою чи спадною є функція:

Відповідь поясніть.

16. Дослідіть функцію на парність та непарність:

17. Парною чи непарною є функція:

Відповідь поясніть.

18. У коло радіуса r вписано ∆ABC, сторона АВ якого збігається з діаметром кола. Знайдіть залежність катета АС = b від катета ВС = х, якщо вершина С трикутника пробігає півколо.

19. Знайдіть залежність довжини Ъ одного катета прямокутного трикутника від довжини а другого катета, якщо гіпотенуза с = 5.

20. Одна сторона прямокутника дорівнює х (см), а друга — на 3 см менша. Якими формулами визначаються залежності периметра та площі прямокутника від його сторони?

21. Рухаючись зі швидкістю v км/год протягом 6 год, автомобіль пройшов шлях s км. Задайте формулою залежність s від v. Користуючись цією формулою: а) знайдіть s, якщо v = 65 км/год; б) знайдіть v, якщо s = 363 км.

22. Знайдіть невідому координату точки, якщо вона належить графікуvфункції А(0; у), В(х; 0), С(-2; у), D(x; 0,5).

23. Знайдіть область визначення функції:

24. Знайдіть область визначення функції:

25.

Яке із співвідношень є правильним:

26.

Яке із співвідношень є правильним:

1) f(-1) < f(1);   3) f(0) = f(9);

2) f(-2) ≠ f(2);   4) f(-9) = f(0) ?

Дослідіть дану функцію на монотонність.

27. Яка із заданих функцій є парною; непарною; ні парною, ні непарною:

28. Яка із заданих функцій є парною; непарною; ні парною, ні непарною:

29. Яку з множин точок наведено на малюнку 17? Поясніть, чому ця множина функцію не задає.

Мал. 17

30. Нехай Знайдіть значення х, за яких:

1) f(x) = 0;   2) 0 < f(x) < 1;   3) |f(х)| ≤ 2.

31. Функцію задано таблицею 4.

Таблиця 4

За таблицею значень х і у запишіть залежність у від х у вигляді формули.

32. Знайдіть область визначення й область значень функції:

33. Функція f (х) визначена на відрізку [-1; 0]. Яка область визначення функції:

1) f (2х);   2) f(-x²);   3)f(|х| + х)?

Проявіть компетентність

34. З турбази на станцію, віддалену на відстань 60 км, вирушив велосипедист зі швидкістю 12 км/год. Знайдіть формулу залежності змінної s від t, де s — відстань велосипедиста від станції в кілометрах, a t — час його руху в годинах.

35. Наведіть приклад аналітично заданої функції, областю визначення якої є:

1) відрізок [-1; 1];

2) множина всіх дійсних чисел, крім точок х = ±2 .