Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 Тригонометричні функції

§11 Формули додавання для косинуса

Формулами додавання називають формули, за допомогою яких можна, маючи значення тригонометричних функцій аргументів а і β, обчислити значення тригонометричних функцій суми а + β і різниці а - β цих аргументів.

Для косинуса формули додавання мають такий вигляд:

cos (а + β) = cosa cosβ - sina sinβ; (1)

cos (a - β) = cosa cosβ + sina sinβ. (2)

Розглянемо принцип доведення формули (2).

Побудуємо одиничне коло та кути а і β (мал. 61). З малюнка видно, що ∠AOB = a - β. Обчислимо скалярний добуток векторів

Вектор має координати х₁ = cosa і у₁ = sina. Координатами вектора є числа х₂ = cosβ, у₂ = sinβ. З одного боку, за означенням скалярного добутку:

Мал. 61

З іншого боку, скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними, тобто

Оскільки як добуток довжин радіусів одиничного кола, маємо:

Порівнюючи перший і другий результати для обчислення скалярного добутку маємо: cos(a - β) = cos a cos β + sin a sin β.

Аналогічно можна обґрунтувати розглянуту формулу для всіх інших випадків розміщення кутів а і β у чвертях одиничного кола.

Для доведення формули для косинуса суми двох аргументів запишемо суму a + β як різницю а - (-β) і скористаємося формулою (2). Маємо: cos(a + β) = cos(a-(-β)) = cosa cos(-β) + sina sin(-β).

Ураховуючи, що cos(-β) = cosβ, a sin(-β) = -sinβ, дістанемо: cosa cos(-β) + sina sin(-β) = cosa cosβ - sina sinβ, що і треба було довести.

Проілюструємо застосування встановлених формул на прикладах.

Задача 1. Обчисліть без таблиць і калькулятора cos15°.

Розв’язання. Запишемо 15° як різницю 45° - 30°і за формулою косинуса різниці (2) маємо:

Задача 2. Обчисліть cos40° cos20° - sin20°sin40°.

Розв’язання. Аналіз виразу свідчить, що він є правою частиною формули косинуса суми кутів 40° і 20°. Отже, cos40°cos20° - sin20°sin40° = cos(40° + 20°) = cos60° = .

Пригадайте головне

1. Виразіть косинус суми аргументів m і n через відповідні тригонометричні функції кожного із цих аргументів.

2. Виразіть косинус різниці аргументів m і n через відповідні тригонометричні функції кожного із цих аргументів.

3. Що лежить в основі виведення формули косинуса різниці двох аргументів?

4. Як, маючи формулу косинуса різниці двох аргументів, вивести формулу косинуса їх суми?

Розв'яжіть задачі

234. Перевірте формули косинуса суми й різниці cos(a±β), якщо:

1) a = 60°, β = 30°;   2) a = 150°, β = 120°.

235. Установіть формули зведення, скориставшись формулами додавання для косинуса:

236. Доведіть тотожність: 1) cos(a - β) + cos(a + β) = 2cosa cosβ;

2) cos(a - β) - cos(a + β) = 2sina sinβ.

237. Доведіть тотожність: 1) cos(120° + a) + cos(120° - a) = -cosa;

2) cos(120° + a) - cos(120°-a) = - sin a.

238. Спростіть вираз:

239. Знайдіть значення виразу якщо cosa = .

240. Спростіть вираз:

1) cos5x cos2x + sin5x sin2x; 3) cos(x + 2) cosx + sin(x + 2) sinx;

2) cos3a cosa - sin3asina;   4) cos2 cos5 + sin2 sin5.

241. Обчисліть:

1) cos40°cos20° - sin20°sin40°;   3) cos55°cos95° - sin55°sin95°;

2) cos70° cos40° + sin70°sin40°;   4) cos37°cos83° - sin37°sin83°.

242. Обчисліть:

243. Спростіть вираз: 1) cos10° + cos11°cos21° + cos69°cos79°;

2) sin20° + sin13°sin57° - sin33°sin77°.

244. Доведіть тотожність:

245. Дано: Обчисліть cos(a - β).

246. Синуси двох гострих кутів трикутника дорівнюють 0,28 і 0,8. Знайдіть косинус третього кута цього трикутника.

247. Доведіть тотожність: 1) cosmx = 2cosxcos(m - 1)x - cos(m - 2)x;

2) cos mх = 2sinхsin(m - 1)х + cos(m - 2)х.

Проявіть компетентність

248. Обчисліть, не користуючись таблицями й калькулятором: 1) cos 75°; 2) cos 105°; 3) cos295°.

249. Кути а і β — гострі. Що більше: cos(a - β) чи cosa + sinβ? Відповідь поясніть.