Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§1 ПОВТОРЕННЯ ТА РОЗШИРЕННЯ ВІДОМОСТЕЙ ПРО МНОЖИНИ ТА ФУНКЦІЇ

4. Обернена функція

На рисунках 4.1, 4.2 зображено графіки функцій f i g.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Будь-яка горизонтальна пряма перетинає графік функції f не більше ніж в одній точці. Це означає, що кожному числу у₀ є E(f) відповідає єдине число х₀ є D(f) таке, що у₀ = f (х₀). Функція g такої властивості не має. Справді, з рисунка 4.2 видно, що значенню у₀ відповідають два значення аргументу х₁ і х₂ такі, що y₀ = g(x₁) і y₀ = g(x₂).

Означення. Функцію y = f(x) називають оборотною, якщо для будь-якого у₀∈ E(f) існує єдине х₀∈ D(f) таке, що y₀ = f(x₀).

Функція f (рис. 4.1) є оборотною. Функція g (рис. 4.2) не є оборотною.

Функції є прикладами оборотних функцій (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Функція у = х² не є оборотною. Наприклад, значенню функції, яке дорівнює 4, відповідають два значення аргументу х₁ = -2 і х₂ = 2.

Теорема 4.1. Якщо функція є зростаючою (спадною), то вона є оборотною.

Доведення. Припустимо, що існує зростаюча функція f, яка не є оборотною. Тоді знайдеться у₀∈ E(f), для якого існують х₁ і х₂ (x₁ < х₂) такі, що f (x₁) = f (х₂) = у₀. Разом з тим функція f — зростаюча, і з нерівності х₁ < х₂ випливає, що f(x₁) < f (х₂). Отримали суперечність.

Аналогічно можна розглянути випадок, коли функціяf є спадною.

Зазначимо, що твердження, обернене до сформульованого в теоремі 4.1, не є правильним, тобто не будь-яка оборотна функція є зростаючою (спадною). Наприклад, на рисунку 4.4 зображено графік оборотної функції, яка не є ні зростаючою, ні спадною.

Рис. 4.4

Розглянемо функцію y = f(x), задану таблично:

Функція f є оборотною.

Поміняємо рядки таблиці місцями та розглянемо функцію у = g(x), задану отриманою таблицею:

Функції f i g зв’язані такими властивостями:

Ці рівності означають, що коли f (х₀) = у₀, то g(y₀) = x₀.

Означення. Функції f і g називають взаємно оберненими, якщо:

1) D(f) = E(g) i E(f) = D(g);

2) для будь-якого х₀∈ D(f) із рівності f(x₀) = y₀ випливає, що g (y0) = х₀, тобто g (f (х₀)) = х₀.

У таких випадках говорять, що функція g є оберненою до функції f, а функція f — оберненою до функції g. Функції f i g називають взаємно оберненими.

Таблично задані функції f i g, які розглянуто вище, є прикладами взаємно обернених функцій.

Зазначимо, що другу умову в означенні взаємно обернених функцій можна замінити на таку: для будь-якого х₀ є D (g) із рівності g (x₀) = y₀ випливає, що f (у₀) = х₀, тобто f (g (х₀)) = х₀.

ПРИКЛАД Доведіть, що функції f (х) = 2х - 1 і g (x) = є взаємно оберненими.

Розв’язання. Маємо: D (f) = Е (g) = ℝ, Е (f) = D (g) = ℝ. Нехай f (х0) = у₀, тобто y_n = 2х₀ - 1. Доведемо, що g (y₀) = х₀.

Справді,

Коли функція f не є оборотною, то не існує функції, оберненої до неї. Будь-яка оборотна функція має обернену.

Нехай f — оборотна функція, а функція g — обернена до неї. Функція f — це деяке правило, що дає змогу за значеннями змінної х із множини D (f) знайти відповідне значення змінної у із множини Е (f). Тоді з означення взаємно обернених функцій випливає, що обернена функція g — це правило, згідно з яким за значеннями змінної у можна знайти відповідне значення змінної х.

У розглянутому вище прикладі було доведено, що оберненою до функції у = 2х - 1 є функція y = .

задачі не розкриває, як за даною функцією знайти обернену до неї. Покажемо, як це можна зробити, на прикладі функції у = 2х- 1. Функція у = 2х - 1 зростаюча, тому вона є оборотною.

Щоб визначити обернену функцію, треба задати правило, згідно з яким за кожним значенням змінної у можна знайти таке значення змінної х, що у = 2х - 1.

Маємо: 2х = у + 1, x = .

Остання рівність задає функцію з аргументом у і залежною змінною х.

Традиційно незалежну змінну позначають літерою х, а залежну — літерою у. Дотримуючись цих позначень, можна сказати, що ми знайшли функцію, яку задано формулою y = . Вона і є шуканою.

Розглянемо ще один приклад. Функція у = х² не є оборотною. Разом з тим ця функція зростає на проміжку [0; +∞). Отже, функція f (х) = х², D(f) = [0; +∞), є оборотною. Також прийнято говорити, що функція у = х² є оборотною на множині [0; +∞). Знайдемо функцію, обернену до функції f.

Маємо: у = х², де х є [0; -∞). Звідси

Рівність = x задає функцію з аргументом у і залежною змінною х.

Скориставшись традиційними позначеннями, отримаємо функцію y = , обернену до функції f.

Теорема 4.2. Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х.

Доведення. Нехай точка М (а; b) належить графіку функції у = f (х). Тоді b = f (а). Якщо функція g є оберненою до функції f, то g (b) = а, тобто точка N (b; а) належить графіку функції у = g (х).

Покажемо, що точки М і N є симетричними відносно прямої у = х.

Якщо а = b, то точки М і N збігаються та належать прямій у = х.

При а ≠ b маємо (рис. 4.5): тобто точка О рівновіддалена від кінців відрізка MN, а отже, належить серединному перпендикуляру відрізка MN. Середина К відрізка MN має координати тобто належить прямій у = х.

Отже, пряма у = х і є серединним перпендикуляром відрізка MN.

Рис. 4.5

Доведену теорему ілюструють графіки взаємно обернених функцій, які ми розглянули вище (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Теорема 4.3. Якщо функція f є зростаючою (спадною), то обернена до неї функція g є також зростаючою (спадною).

Доведення. Припустимо, що функція f зростаюча, але обернена до неї функція g не є зростаючою. Тоді знайдуться такі у₁∈ D(g) і у₂∈ D(g), що з нерівності у₁ < у₂ випливатиме нерівність g(y₁) ≥ g(y₂). Нехай g(y₁) = x₁, g(y₂) = x₂, тому х₁ > х₂. Оскільки

функція f зростаюча, то f (х₁) ≥ f (х₂), тобто у₁≥ у₂. Отримали суперечність.

Для спадної функції міркуємо аналогічно.

?

1. Яку функцію називають оборотною?

2. Сформулюйте теорему про оборотність зростаючої (спадної) функції.

3. Які дві функції називають взаємно оберненими?

4. Як розташовані графіки взаємно обернених функцій?

5. Якою є функція, обернена до зростаючої функції? до спадної функції?

ВПРАВИ

4.1. Доведіть, що дана функція не є оборотною:

4.2. Доведіть, що функції f i g є взаємно оберненими:

4.3. Доведіть, що функції f i g є взаємно оберненими:

4.4. Знайдіть функцію, обернену до даної:

4.5. Знайдіть функцію, обернену до даної:

4.6.’ Знайдіть функцію, обернену до даної:

4.7. Знайдіть функцію, обернену до даної:

4.8. Побудуйте в одній системі координат графік даної функції та графік функції, оберненої до неї:

4.9. Побудуйте в одній системі координат графік даної функції та графік функції, оберненої до неї:

1) у = 3х - 1; 2) у = х² - 4, якщо х ≥ 0.

4.10. Доведіть, що функція, обернена до непарної функції, також є непарною.

4.11. Нехай g — функція, обернена до функції f (х) = х⁵ + 6х³.

1) Знайдіть g(7).

2) Розв’яжіть рівняння g(x) = -1.

3) Скільки коренів має рівняння g(x) = с залежно від значення параметра с?

4.12. Нехай g — функція, обернена до функції

1) Знайдіть g(28).

2) Розв’яжіть рівняння g(x) = 1.

3) Чи існує таке значення с, що рівняння g(x) = с має два корені?

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

4.13. Розв’яжіть нерівність:

4.14. Яким числом, додатним чи від’ємним, є значення виразу х - 2, якщо:

1) х ∈ (2; +∞);  3) х ∈ (-∞; -3);

2) х ∈ (-3; -2);  4) х ∈ (5; 9)?

4.15. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

1) х² + х - 6;  3)2х² + 9х -18;

2) 35 - 2х - х²;  4)5х² -16х + 3.