Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

44. Вправи для повторення курсу алгебри і початків аналізу 10 класу

Множини, функції

44.1. Задайте за допомогою переліку елементів множину:

44.2. Укажіть рівні множини:

44.3. Знайдіть нулі функції:

44.4. Знайдіть проміжки знакосталості функції:

44.5. Дослідіть функцію на парність:

44.6. Знайдіть область визначення функції:

44.7. Знайдіть область значень функції:

44.8. Побудуйте графік функції:

44.9. Скільки коренів має рівняння |(х + 1)² -1| = а залежно від значення параметра а?

44.10. Які з функцій, графіки яких зображено на рисунку 44.1, є оборотними?

Рис. 44.1

44.11. Знайдіть функцію, обернену до даної:

44.12. Розв’яжіть нерівність:

44.13. Розв’яжіть нерівність:

44.14. Розв’яжіть нерівність:

44.15. Розв’яжіть нерівність:

44.16. Розв’яжіть нерівність

44.17. Для кожного значення а розв’яжіть нерівність:

Степенева функція

44.18. Побудуйте графік функції:

1) y = (x + 1)⁴;  3) у = (|х|-2)³;

2) у = (х - 1)³ + 2;  4) у = | х + 1 |³.

44.19. Побудуйте графік функції:

Користуючись побудованим графіком, укажіть проміжки зростання і проміжки спадання даної функції.

44.20. Дано функцію f(х) = х^-19. Порівняйте числа:

1) f1,6) і f(2);  3) f(-9,6) і f(9,6);

2) f(-5,6) і f(-6,5);  4)f(0,1) і f(-10).

44.21. Функцію задано формулою f(х) = х^-16. Порівняйте числа:

1) f(1,6) і f(2,2);  3) f(-3,4) і f(3,4);

2) f(-4,5) і f(-3,6);  4)f(-18) і f(3).

44.22. Побудуйте графік функції:

1)y = (х - 1)³; 2)у = |х - 3|; 3) у = | х - 1 |-³.

44.23. Побудуйте графік функції:

44.24. Знайдіть найбільше і найменше значення функції на проміжку:

1) [1; 2]; 2) [-1; 1]; 3) [∞; -1].

44.25. Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння:

44.26. Спростіть вираз:

44.27. Знайдіть значення виразу

44.28. Побудуйте графік функції:

44.29. Спростіть вираз:

44.30. Обчисліть значення виразу:

44.31. Спростіть вираз:

44.32. Розв’яжіть рівняння:

44.33. Розв’яжіть рівняння:

44.34. Розв’яжіть рівняння:

44.35. Розв’яжіть рівняння методом заміни змінної:

44.36. Розв’яжіть систему рівнянь:

44.37. Розв’яжіть рівняння:

44.38. Розв’яжіть нерівність:

44.39. Розв’яжіть нерівність:

44.40. Розв’яжіть нерівність:

44.41. Розв’яжіть нерівність

Тригонометричні функції

44.42. При яких значеннях а можлива рівність cos х = а² - 3?

44.43. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу

44.44. Дослідіть на парність функцію:

44.45. Знайдіть значення виразу:

1) sin 420°; 2) cos 405°; 3) tg 765°.

44.46. Знайдіть головний період функції:

1) f(х) = cos(3x + 1); 2) f(х) = ctg (-7х + 2); 3) f(х) = cos х.

44.47. Доведіть, що функція не є періодичною.

44.48. Знайдіть період функції

44.49. Розташуйте числа в порядку зростання:

1) sin 3,2; sin 4; sin 3,6; sin 2,4; sin 1,8;

2) cos 3,5; cos 4,8; cos 6,1; cos 5,6; cos 4,2.

44.50. Побудуйте графік функції:

1) у = sin х + sin | x |; 2) у = tg x cos x.

44.51. Чи є можливою рівність:

44.52. Спростіть вираз:

44.53. Знайдіть значення виразу

44.54. Спростіть вираз якщо 90° < а < 180°.

44.55. Відомо, що Знайдіть значення виразу tg (а + (3).

44.56. Доведіть тотожність:

44.57. Доведіть тотожність:

44.58. Спростіть вираз:

44.59. Доведіть тотожність:

Тригонометричні рівняння і нерівності

44.60. Обчисліть значення виразу:

44.61. Обчисліть значення виразу:

44.62. Розв’яжіть рівняння arcsin х ∙ arcos

44.63. Розв’яжіть рівняння:

44.64. Розв’яжіть рівняння:

1) cos² 5х + 7 sin² 5х = 4 sin 10х;

2) 3 sin² х - 7 sin х cos х +14 cos² х - 2 = 0.

44.65. Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння sin² х + cos х +1 = 0.

44.66. Скільки коренів рівняння cos 2х + sin х = cos² х належать проміжку [-; ]?

44.67. При яких значеннях параметра а має корені рівняння:

1) sin² х - (3а - 3) sin х + а(2а - 3) = 0;

2) cos² х + 2 cos х + а² - 6а + 10 = 0?

44.68. Розв’яжіть рівняння cos³ х sin х + cos² х sin² x - 3 cos x sin³ x - 3 sin⁴ x = 0.

44.69. Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння

1) один корінь;  2) два корені.

44.70. При яких значеннях параметра а рівняння cos² х + (2а + 3) х sin х - а² = 0 має:

1) один корінь на проміжку [0; ];

44.71. Розв’яжіть рівняння:

44.72. Розв’яжіть рівняння:

1) 2 sin х sin 2х + cos3x = 0; 2) sin (х + 45°) sin (х-15°) = 0,5.

44.73. Розв’яжіть рівняння (х + у)² +10 (х + у) cos (ху) + 25 = 0.

44.74. Розв’яжіть рівняння у² - 3 \[2 (cos х - sin х) у + 9 = 0.

44.75. Розв’яжіть систему рівнянь:

44.76. Розв’яжіть рівняння:

44.77. Розв’яжіть рівняння:

44.78. Розв’яжіть рівняння:

44.79. Розв’яжіть рівняння

44.80. Розв’яжіть рівняння

44.81. Розв’яжіть рівняння sin х + sin 2х + sin 3х = cos х + cos 2х + cos 3х.

44.82. Розв’яжіть нерівність:

4.83. Розв’яжіть нерівність:

44.84. Розв’яжіть нерівність:

44.85. Розв’яжіть нерівність:

44.86. Розв’яжіть нерівність:

44.87. Розв’яжіть нерівність Похідна та її застосування

44.88. Знайдіть похідну функції:

44.89. Чому дорівнює значення похідної функції f у точці х₀, якщо:

44.90. Знайдіть похідну функції:

44.91. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f у точці з абсцисою х₀, якщо:

44.92. Складіть рівняння дотичної до графіка функції d (х) = х² - 5х, якщо ця дотична паралельна прямій у = -х.

44.93. Визначте, чи є пряма дотичною до графіка функції у = . У разі ствердної відповіді вкажіть абсцису точки дотику.

44.94. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції f (х) = х² - 4, якщо ця дотична проходить через точку М (2; -1).

44.95. У якій точці графіка функції у = х + треба провести дотичну, щоб ця дотична перетнула вісь ординат у точці (0; 6)? 44.96. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

44.97. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції f(х) = tg х - 2х.

44.98. При яких значеннях параметра а функція у = (а + 2)х³ - 3ах² + 9ах - 2 спадає на ℝ?

44.99. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

44.100. Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції f(х) = sin х - cos х + х.

44.101. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = 2 sin х + sin 2х на відрізку