Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

42. Друга похідна. Поняття опуклості функції

Нехай матеріальна точка рухається за законом y = s(t) по координатній прямій. Тоді миттєву швидкість v (t) у момент часу t визначають за формулою

v (t) = s' (t).

Розглянемо функцію у = v (t). Її похідну в момент часу t називають прискоренням руху та позначають a(t), тобто

а (t) = v' (t).

Таким чином, функція прискорення руху - це похідна функції швидкість руху, яка у свою чергу є похідною функції закон руху, тобто

a(t) = v'(t) = (s'(t))'.

У таких випадках говорять, що функція прискорення руху у = a (t) є другою похідною функції у = s(t). Записують:

a(t) = s"(t)

(запис s"(t) читають: «ес два штрихи від те»).

Наприклад, якщо закон руху матеріальної точки задано формулою s(f) = t² - 4t, то маємо:

s'(t) = v (t) = 2t - 4;

s"(t) = v'(t) = a(t) = 2.

Ми отримали, що матеріальна точка рухається зі сталим прискоренням. Як ви знаєте з курсу фізики, такий рух називають рівноприскореним.

Узагальнимо сказане.

Розглянемо функцію у = f(x), диференційовну на деякій множині М. Тоді її похідна також є деякою функцією, заданою на цій множині. Якщо функція f' є диференційовною в деякій точці х₀∈ М, то похідну функції f у точці х₀ називають другою похідною функції y = f(x) у точці х₀ і позначають f"(x₀) або у"(х₀). Саму функцію f називають двічі диференційовною в точці х₀.

Функцію, яка числу х₀ ставить у відповідність число f"(х₀), називають другою похідною функції у = f(х) і позначають f" або у".

Наприклад, якщо у = sin х, то у" = -sin х.

Якщо функція f є двічі диференційовною в кожній точці множини М, то її називають двічі диференційовною на множині М.

Якщо функція f двічі диференційовна на D(f), то її називають двічі диференційовною.

Ви знаєте, що функцію характеризують такі властивості, як парність (непарність), періодичність, зростання (спадання) тощо. Ще однією важливою характеристикою функції є опуклість угору (опуклість униз).

Звернемося до прикладів.

Про функції у = x², у = | х | говорять, що вони є опуклими вниз (рис. 42.1), а функції у = -х², у = є опуклими вгору (рис. 42.2).

Рис. 42.1

Рис. 42.2

Функція у = sin х є опуклою вгору на проміжку [0; ] та опуклою вниз на проміжку [; 2] (рис. 42.3). Лінійну функцію вважають як опуклою вгору, так і опуклою вниз.

Надалі, вивчаючи поняття опуклості функції на проміжку І, обмежимося випадком, коли функція f є диференційовною на цьому проміжку.

Нехай функція f диференційовна на проміжку І. Тоді в будь-якій точці її графіка з абсцисою х ∈ І можна провести невертикальну дотичну. Якщо при цьому графік функції на проміжку І розміщений не вище будь-якої такої дотичної (рис. 42.4), то функцію f називають опуклою вгору на проміжку І; якщо ж графік на проміжку І розміщено не нижче від кожної такої дотичної (рис. 42.5) — опуклою вниз на проміжку І.

Рис. 42.3

Рис. 42.4

Рис. 42.5

На рисунку 42.6 зображено графік функції f, яка є опуклою вниз на проміжку [а; b]. З рисунка видно, що зі збільшенням аргументу х кут нахилу відповідної дотичної збільшується. Це означає, що функція f зростає на проміжку [а; b].

Нехай функція f є опуклою вгору на проміжку [а; b] (рис. 42.7). З рисунка видно, що зі збільшенням аргументу х кут нахилу відповідної дотичної зменшується. Це означає, що функція f' спадає на проміжку [а; b].

Рис. 42.6

Рис. 42.7

Ці приклади показують, що характер опуклості функції f на деякому проміжку І пов’язаний зі зростанням (спаданням) функції f' на цьому проміжку.

Для двічі диференційовної на проміжку І функції f зростання (спадання) функції f' визначається знаком другої похідної функції f на проміжку І. Таким чином, характер опуклості двічі диференційовної функції пов’язаний зі знаком її другої похідної.

Цей зв’язок установлюють такі дві теореми.

Теорема 42.1 (ознака опуклості функції вниз). Якщо для всіх х ∈ І виконується нерівність f"(x) ≥ 0, то функція f є опуклою вниз на проміжку І.

Теорема 42.2 (ознака опуклості функції вгору). Якщо для всіх х ∈ І виконується нерівність f"(x) < 0, то функція f є опуклою вгору на проміжку І.

Доведемо теорему 42.1 (теорему 42.2 можна довести аналогічно).

Доведення. У точці з абсцисою х₀∈ І проведемо дотичну до графіка функції f. Рівняння цієї дотичної має вигляд

y = f'(x₀)(x - x₀) + f (х₀).

Розглянемо функцію r(х) = f (х)- (f' (х₀)(х - х₀) + f (х₀)).

Значення функції r показують, наскільки відрізняється ордината точки графіка функції f від ординати відповідної точки, яка лежить на проведеній дотичній (рис. 42.8).

Якщо ми покажемо, що r(х) ≥ 0 для всіх х ∈ І, то таким чином доведемо, що на проміжку І графік функції f лежить не нижче від проведеної до нього дотичної.

Нехай х ∈ І і х > х₀ (випадок, коли х ≤ х₀, можна розглянути аналогічно).

Маємо:

r(х) = f(х) - f(х₀) - f'(х₀)(х - х₀).

Для функції f і відрізка [х₀; х] застосуємо теорему Лагранжа: f (х) - f (х₀) = f'(с₁)(х - х₀), де с₁∈ (х₀; х).

Звідси

r(х) = f'(с₁)(х - х₀) - f'(х₀)(х - х₀); r(х) = (f'(с₁) - f'(х₀))(х - х₀).

Оскільки функція у = f'(x) є диференційовною на відрізку [х₀; c₁], то можна застосувати теорему Лагранжа:

f'(c₁) - f'(x₀) = f" (с₂) (с₁ - х₀), де с₂∈ (х₀; с₁).

Звідси r(х) = f''(с₂)(с₁ -х₀)(х - х₀).

На рисунку 42.8 показано розміщення точок с₁ і с₂.

З нерівностей х₀ < с₂ < с₁ < х випливає, що (с₁ - х₀)(х - х₀) > 0. Оскільки с₂∈ I, то з урахуванням умови теореми отримуємо: f''(c₂) ≥ 0. Звідси для всіх х є І виконується нерівність r(х) ≥ 0, тому функція f є опуклою вниз на проміжку І.

Рис. 42.8

ПРИКЛАД 1 Дослідіть на опуклість функцію f(х) = tg х на проміжку

Розв’язання. Маємо:

Звідси

Нерівність f"(x) ≥ 0 на проміжку виконується при 0 ≤ х < .

Oтже, функція у = tg x є опуклою вниз на проміжку (рис. 42.9).

Рис. 42.9

Нерівність f"(x) ≤ 0 на проміжку виконується при

Таким чином, функція у = tg х є опуклою вгору на проміжку (рис. 42.9).

На рисунку 42.10 зображено графіки функцій і дотичні, проведені до них у точках з абсцисою х₀. Кожна з наведених функцій на проміжках (а; х₀] і [х₀; b) має різний характер опуклості. Отже, на цих проміжках графік функції розташований у різних півплощинах відносно дотичної. У такому разі говорять, що точка х₀ є точкою перегину функції.

Рис. 42.10

Рис. 42.11

Наприклад, точка х₀ = 0 є точкою перегину функції у = х³ (рис. 42.11); точки виду + n, n ∈ ℤ, є точками перегину функції у = cos х (рис. 42.12).

Рис. 42.12

ПРИКЛАД 2 Дослідіть характер опуклості та знайдіть точки перегину функції

Розв’язання. Маємо:

Використовуючи метод інтервалів, дослідимо знак функції у = f" (х) (рис. 42.13). Отримуємо, що функція f є опуклою вгору на проміжку (-∞; 1] та опуклою вниз на проміжку [1; +∞).

Функція f на проміжках (-∞; 1] і [1; +∞) має різний характер опуклості. У точці з абсцисою х₀ = 1 до графіка функції f можна провести дотичну. Отже, х₀ = 1 є точкою перегину функції f.

Рис. 42.13

?

1. Яку функцію називають двічі диференційовною в точці? на множині?

2. Опишіть, яку функцію називають опуклою вгору; опуклою вниз.

3. Сформулюйте ознаку опуклості функції вниз; угору.

4. Опишіть, яку точку називають точкою перегину.

ВПРАВИ

42.1. Знайдіть другу похідну функції:

42.2. Знайдіть другу похідну функції:

42.3. Чому дорівнює значення другої похідної функції у = 5 sin х - З cos 4х у точці:

42.4. Матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом s(t) = 2t³ - 5t² + 4 (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть її прискорення в момент часу t₀= 2 с.

42.5. Одне тіло рухається по координатній прямій за законом s₁(t) = t³ - t² + 3t - 2, а друге — за законом (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть прискорення кожного тіла в момент часу, коли їхні швидкості рівні.

42.6. Тіло масою 5 кг рухається по координатній прямій за законом s(t) = t³ - 6t + 4 (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть силу F (t) = та (t), що діє на тіло через З с після початку руху.

42.7. Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції:

1) у = х³ - 3х + 2;  2) у = х⁴ - 8х³ + 18х² - х + 1.

42.8. Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції:

1) у = х³ - 2х² + х - 2; 2) у = х⁴ - 6х³ + 12х² - 3х + 4.

42.9. Знайдіть точки перегину функції у = 3х⁵ - 10х⁴ + 10х³ + 12х + 3.

42.10. Знайдіть точки перегину функції у = 3х⁵ + 10х⁴ + 10х³ - 5х - 4.

42.11. Доведіть, що функція f(х) = х⁴ - 4х³ + 12х² - 11х - 7 є опуклою вниз на ℝ.

42.12. Доведіть, що функція f(х) = sin²x - 2х² є опуклою вгору на ℝ.

42.13. Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції:

42.14. Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції:

42.15. Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції у = х² + 4 sin х.

42.16. Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції у = х² - 4 cos х.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

42.17. Замість знака * запишіть знак U або ⋂ так, щоб утворилася правильна рівність:

1) А * ∅ =А;  2) А * ∅ = ∅.

42.18. Відомо, що А ⊂ В. Замість знака * запишіть знак U або ⋂ так, щоб утворилася правильна рівність:

1) А * В = В;  2) А * В = А.