Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

34. Означення границі функції в точці та функції, неперервної в точці

35. Задачі про миттєву швидкість і дотичну до графіка функції

36. Поняття похідної

37. Правила обчислення похідних

38. Рівняння дотичної

39. Ознаки зростання і спадання функції

40. Точки екстремуму функції

41. Найбільше і найменше значення функції на відрізку

42. Друга похідна. Поняття опуклості функції

43. Побудова графіків функцій

• У цьому параграфі ви ознайомитеся з такими поняттями, як границя функції в точці, неперервність функції в точці, похідна функції в точці.

• Ви навчитеся застосовувати похідну для дослідження властивостей функцій і побудови графіків функцій.

34. Означення границі функції в точці та функції, неперервної в точці

Розглянемо функцію f(х) = х + 1 і точку х₀ = 1. Якщо значення аргументу х прямують до числа 1 (позначають: х 1), то відповідні значення функції f прямують до числа 2 (позначають: f(х) 2) (рис. 34.1).

Іншими словами: якщо значення аргументу брати все ближче й ближче до числа 1, то відповідні значення функції f усе менше й менше відрізнятимуться від числа 2.

У цьому разі говорять, що число 2 є границею функції f у точці 1, і записують:

або

Також використовують такий запис: f(х) 2 при х 1.

За допомогою рисунка 34.2 можна, наприклад, установити, що

Рис. 34.1

Якщо звернутися до рисунка 34.3, то можна записати:

Рис. 34.2

Рис. 34.3

На рисунку 34.4 зображено графік функції

Ця функція не визначена в точці х₀ = 1, а в усіх інших точках збігається з функцією у = х + 1 (порівняйте рис. 34.1 і рис. 34.4). Проте якщо значення аргументу х, де х ≠ 1, прямують до числа 1, то відповідні значення функції прямують до числа 2, тобто

Рис. 34.4

Рис. 34.5

Наведений приклад показує, що функція може бути не визначеною в точці, але мати границю в цій точці.

Розглянемо функцію

При х > 0 отримуємо f(х) = 1,

при х < 0 отримуємо f(х) = -1. Графік функції f зображено на рисунку 34.5.

Якщо значення аргументу х, де х ≠ 0, прямують до 0, то неможливо стверджувати, що значення функціїf прямують до якогось певного числа. Справді, якщо значення аргументу прямують до нуля та є від’ємними, то відповідні значення функції прямують до -1, а якщо значення аргументу прямують до нуля та є додатними, то відповідні значення функції прямують до 1.

Отже, функція у точці х₀ = 0 не має границі.

Розглянемо функцію (рис. 34.6). Якщо значення х, де х ≠ 0, прямують до 0, то відповідні значення функції стають усе більшими й більшими та необмежено збільшуються. Це означає, що не існує числа, до якого прямують значення функції f за умови, що значення аргументу прямують до 0.

Отже, функція не має границі в точці х₀ = 0.

Ми навели приклади двох функцій, які не визначені в деякій точці та не мають границі в цій точці.

Рис. 34.6

Рис. 34.7

Помилковим було б вважати, що коли функція визначена в деякій точці х₀, то вона обов’язково має границю в цій точці. На рисунку 34.7 зображено графік функції f, яка визначена в точці х₀, але не має границі в цій точці.

Ви отримали уявлення про границю функції в точці. Перейдемо до формування стpогого означення.

Нехай дано функцію f і точку х₀. Далі вважатимемо, що в будь-якому інтервалі¹, який містить точку х₀, знайдуться точки області визначення функції f, відмінні від точки х₀.

На рисунку 34.8 зображено графік функції f, яка має границю в точці х₀:

Зазначимо, що f(х₀) ≠ а.

Рис. 34.8

Нехай є — деяке додатне число. На осі ординат розглянемо інтервал (а - ε; а + ε). На осі абсцис йому відповідає такий інтервал І, який містить точку х₀, що для будь-якого х ∈ I ⋂ D(f), х ≠ х₀, відповідні значення функції f належать проміжку (а - ε; а + ε), тобто виконуються нерівності а - ε < f(х) < а + ε. Іншими словами, для будь-якого х ∈ І ⋂ D(f), х ≠ х₀, виконується нерівність | f(x) - а | < ε.

Звузимо проміжок на осі ординат, тобто розглянемо інтервал (а - ε₁; а + ε₁, де 0 < ε₁ < ε. Тоді й для числа ε1 можна вказати такий інтервал осі абсцис, який містить точку х₀, що для будь- якого х є I₁ ⋂ D(f), х ≠ х₀, виконується нерівність | f(х) - а | < ε₁ (рис. 34.8).

¹ Проміжок виду (а; b) називають інтервалом, а проміжок виду [а; b] — відрізком.

Рис. 34.9

Рис. 34.10

На рисунку 34.9 зображено графік такої функції f, що х₀∉ D(f). Рисунок 34.10 відповідає функції f, для якої f(х₀) = а.

У кожному з випадків, зображених на рисунках 34.8-34.10, для будь-якого ε > 0 можна вказати такий інтервал І, який містить точку x₀, що для всіх x ∈ І ⋂ D(f) i x ≠ х₀ виконується нерівність | f(х) - а | < ε.

Наведені міркування дозволяють дати таке означення границі функції f у точці х₀.

Означення. Число а називають границею функції f у точці х₀, якщо для будь-якого додатного числа є існує такий інтервал І, який містить точку х₀, що для будь-якого х ∈ І ⋂ D(f) і х ≠х₀ виконується нерівність | f(х) - а | < ε.

Зазначимо, що границя функції в точці х₀ характеризує значення функції навколо точки х₀, тоді як поведінка функції в самій точці х₀ не впливає на значення границі (зверніть увагу на умову х ≠ х₀ в означенні границі). Отже, для кожної з функцій ε, графіки яких зображено на рисунках 34.8-34.10, можна записати:

На рисунку 34.11 точка х₀ є такою, що праворуч (рис. 34.11, а, б) або ліворуч (рис. 34.11, в) від неї немає точок, які належать області визначення функції ε. При цьому в кожному з випадків для будь-якого є > 0 можна вказати такий інтервал І, який містить точку х₀, що для всіх х ∈ І ⋂ D(f) і х ≠ х₀ виконується нерівність | ε(х) - а | < ε. Це означає, що число а є границею функції f у точці х₀.

Знаходити границю функції в точці допомагає така теорема. У ній розглядаються функції, які визначені в одних і тих самих точках деякого інтервалу, який містить точку х₀.

Рис. 34.11

Теорема 34.1 (про арифметичні дії з границями функцій) Якщо функції у = f(x) і у = g(x) мають границю в точці х₀, то функції у = f(x) + g(x), у = f(x) - g(x), у = f(x)g (x) також мають границю в точці х₀, причому

Якщо, крім цього, границя функції y = g(x) у точці х₀ відмінна від нуля, то функція також має границю в точці х₀ і

Фактично теорема 34.1 складається із чотирьох теорем, які називають теоремами про границю суми, границю різниці, границю добутку та границю частки.

На рисунку 34.12 зображено графіки функцій f i g, які визначені в точці х₀ і мають границю в цій точці. Проте поведінка цих функцій у точці х₀ істотно різниться. Графік функції g, на відміну від графіка функції f, у точці х₀ має розрив. Таку відмінність у поведінці функцій f і g у точці х₀ можна охарактеризувати за допомогою границі.

Для функції g маємо:

Рис. 34.12

Для функції f можна записати:

Іншими словами: границя функції f у точці х₀ дорівнює значенню функції в цій точці. У такому разі говорять, що функція f є неперервною в точці х₀.

Означення. Якщо виконується рівність то функцію f називають неперервною в точці х₀.

З рівності випливає, що коли функція f не має границі в точці х₀ або не визначена в цій точці, то вона не може бути неперервною в точці х₀.

Наприклад, функція, графік якої зображено на рисунку 34.13, не є неперервною в точці х₀ Також не є неперервною в точці х₀ = 0 функція (рис. 34.14).

Якщо функція f є неперервною в кожній точці деякої множини М ⊂ ℝ, то говорять, що вона неперервна на множині М.

Якщо функція f є неперервною на D(f), то таку функцію називають неперервною.

Наприклад, функція у = х² неперервна на ℝ, а функція є неперервною на кожному з проміжків (-∞; 0) і (0; +∞), тобто ці функції є неперервними.

Рис. 34.13

Рис. 34.14

Знаходити границю функції в точці та встановлювати неперервність функції в точці за допомогою означень цих понять — задачі трудомісткі. Часто полегшує розв’язування таких задач те, що більшість функцій, з якими ви маєте справу в шкільному курсі математики, є неперервними. Так, усі тригонометричні функції, обернені тригонометричні функції, степенева функція, раціональна функція¹ є неперервними.

Наприклад, на початку пункту з наочних міркувань було встановлено, що

Тепер можна стверджувати, що справедливість цих рівностей випливає з неперервності функцій у = sin х, у = arccos х.

ПРИКЛАД Знайдіть: 1)

Розв’язання. 1) Оскільки функція у = 2х² + 3х - 1 є неперервною в точці х₀ = 1, то її границя в цій точці дорівнює значенню функції в цій точці. Тоді

2) Маємо:

Оскільки лінійна функція у = х + 4 є неперервною, то

?

1. Що називають границею функції в точці?

2. Сформулюйте теореми про границю функції в точці.

3. Опишіть, яку функцію називають неперервною в точці; на множині.

ВПРАВИ

34.1. Побудувавши графік функції f, з’ясуйте, чи має функція f границю в точці х₀:

¹ Функцію виду де f(x) і g(x) — многочлени, називають раціональною.

34.2. Побудувавши графік функції f, з’ясуйте, чи має функція f границю в точці х₀:

34.3. За допомогою графіка функції f (рис. 34.15) з’ясуйте, чи має функція f границю в точці х₀.

Рис. 34.15

34.4. На рисунку 34.16 зображено графік функції y = f(x).

1) Чому дорівнює значення функції f у точці х₀ = 1?

2) Чи існує границя функції f у точці х₀ = 1? У разі ствердної відповіді запишіть з використанням відповідної символіки, чому вона дорівнює.

3) Чи існує границя функції f у точці х₀ = 2? У разі ствердної відповіді запишіть з використанням відповідної символіки, чому вона дорівнює.

Рис. 34.16

34.5. Використовуючи графік відповідної функції, перевірте справедливість рівності:

34.6. Використовуючи графік відповідної функції, перевірте справедливість рівності:

34.7. Знайдіть:

34.8. Знайдіть:

34.9. Обчисліть:

34.10. Обчисліть:

34.11. Обчисліть границю:

34.12. Обчисліть границю:

34.13.» Обчисліть:

34.14. Обчисліть:

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

34.15. Один із графіків, зображених на рисунку 34.17, відображає процес наповнення одного бака водою, а другий — витікання води з іншого бака. Задайте формулою залежність кількості води в кожному баку від часу.

Рис. 34.17

34.16. Яка з прямих, зображених на рисунку 34.18, є графіком функції: