Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§4. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВН0СТІ

30. Функції у = arccos х, у = arcsin х, у = arctg х і у = arcctg x

Для будь-якого а є [-1; 1] рівняння cos х = а на проміжку [0; ] має єдиний корінь, який дорівнює arccos а (рис. 30.1). Отже, кожному числу х із проміжку [-1; 1] можна поставити у відповідність єдине число у із проміжку [0; ] таке, що у = arccos х.

Рис. 30.1

Указане правило задає функцію f(х) = arccos х із областю визначення D(f) = [-1; 1] та областю значень E(f) = [0; ].

Функція f є оберненою до функції g(x) = cos х із областю визначення D(g) = [0; ].

Справді, D(f) = E(g) = [-1; 1];

E(f) = D(g) = [0; ].

З означення арккосинуса випливає, що для всіх х із проміжку [-1; 1] виконується рівність

cos (arccos х) = х

Іншими словами, g(f(x)) = х для всіх х є D(f).

Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції.

Властивості взаємно обернених функцій, розглянуті в п. 4, дають змогу визначити деякі властивості функції f(х) = arccos х.

Оскільки функція g(x) = cos х, D(g) = [0; ], є спадною, то з теореми 4.3 випливає, що функція f(х) = arccos х також є спадною.

Для будь-якого х є D(g) маємо: f(g (х)) = х. Це означає, що для будь-якого х є [0; ] виконується рівність

arccos (cos х) = х

Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х. Спираючись на це, можна побудувати графік функції f(х) = arccos х (рис. 30.2).

Рис. 30.2

Рис. 30.3

Відзначимо ще одну властивість функції у = arccos х: для будь-якого х ∈ [-1; 1] виконується рівність

arccos (-х) = - arccos х (1)

Наприклад,

Ця властивість має просту графічну ілюстрацію. На рисунку 30.3 АВ = MN = arccos х₀, NP = arccos (-х₀), a MN + NP = .

Доведемо рівність (1). Нехай arccos(-х) = а₁, - arccos х = а₂. Зауважимо, що a₁ є [0; ], а₂ є [0; ]. Функція у = cos х є спадною на проміжку [0; ], тому на цьому проміжку кожного свого значення вона набуває тільки один раз. Отже, показавши, що cos a1 = cos a₂, ми тим самим доведемо рівність = а₂.

Маємо: cos a₁ = cos (arccos (-х)) = -х;

cos а₂ = cos ( - arccos х) = -cos (arccos х) = -х.

Для будь-якого а ∈ [-1; 1] рівняння sin х = а на проміжку має єдиний корінь, який дорівнює arcsin а (рис. 30.4).

Отже, кожному числу х із проміжку [-1; 1] можна поставити у відповідність єдине число у із проміжку таке, що у = arcsin х.

Рис. 30.4

Указане правило задає функцію f(x) = arcsin х із областю визначення D(f) = [-1; 1] та областю значень

Функція f є оберненою до функції g (х) = sin х із областю визначення

Справді,

З означення арксинуса випливає, що для всіх х ∈ [-1; 1] виконується рівність

sin (arcsin х) = х

Іншими словами, g (f(х)) = х для всіх х ∈ D(f).

Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції. Визначимо деякі властивості функції f(х) = arcsin х.

Оскільки функція g(x) = sin х, є непарною, то функція f(х) = arcsin х також є непарною (див. ключову задачу 4.10). Інакше кажучи, для будь-якого х ∈ [-1; 1] виконується рівність arcsin (-х) = -arcsin х

Наприклад,

Функція g (х) = sin х, є зростаючою. Отже, функція f(х) = = arcsin х також є зростаючою (див. теорему 4.3).

Для будь-якого х ∈ D(g) маємо: f(g(x)) = х. Це означає, що для будь-якого виконується рівність arcsin (sin х) = х

Знову скористаємося тим, що графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = x.

На рисунку 30.5 показано, як за допомогою графіка функції g (x) = sin x, побудувати графік функції f(x) = arcsin x.

Доведемо, що для будь-якого х ∈ [-1; 1] виконується рівність

Рис. 30.5

Для цього покажемо, що arcsin х = - arccos х.

Маємо:

Крім того, 0 ≤ arccos х ≤ .

Отже, - < -arccos х < 0;

Бачимо, що значення виразів arcsin х і - arccos х належать проміжку зростання функції у = sin х.

Отже, достатньо показати, що

Маємо:

У таблиці наведено властивості функцій у = arccos х і у = arcsin х.

ПРИКЛАД 1 Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = 4 - arccos 3х.

Розв’язання. Оскільки 0 < arccos 3х < , то - < -arccos 3х < 0 і 4 - < 4 - arccos 3х < 4.

Зазначимо, що

Відповідь: найменше значення дорівнює 4 - я, найбільше значення дорівнює 4.

ПРИКЛАД 2 Обчисліть: 1) 2) arcsin (sin 6).

Розв’язання. 1) Використовуючи формулу arccos(cos х) = х, де ∈ [0; ] , маємо:

Відповідь: .

2) Здавалося б, відповідь можна отримати одразу, зважаючи на рівність arcsin (sin х) = х. Проте число х = 6 не належить проміжку а отже, не може дорівнювати значенню арксинуса.

Правильне міркування має бути, наприклад, таким: arcsin (sin 6) = arcsin (sin (6 - 2)).

Оскільки то arcsin (sin 6) = 6 -2.

Відповідь: 6 - 2.

ПРИКЛАД З Обчисліть

Розв’язання. Нехай arcos = а, тоді а ∈ [0; ] і cosa = .

Задачу зведено до пошуку значення sin a.

Урахуємо, що коли а ∈ [0; я], то sin а > 0. Тоді отримуємо:

Відповідь: .

ПРИКЛАД 4 Побудуйте графік функції у = arcsin (sin х).

Розв’язання. Здається природним припустити, що шуканим графіком є пряма у = х. Проте це неправильно, оскільки arcsin (sin х) = х лише за умови | х | < .

Дана функція є періодичною з періодом Т = 2, тому достатньо побудувати її графік на проміжку завдовжки в період.

Якщо то arcsin (sin х) = х.

Отже, на проміжку шуканий графік — це відрізок прямої у = х.

Якщо отже, arcsin (sin х) = arcsin (sin ( - х)) = - х. Таким чином, на проміжку шуканий графік — це відрізок прямої у = - х.

Графік функції у = arcsin (sin х) зображено на рисунку 30.6.

Рис. 30.6

Для будь-якого а рівняння tg х = а на проміжку має єдиний корінь, який дорівнює arctg а (рис. 30.7). Отже, будь- якому числу х можна поставити у відповідність єдине число уіз проміжку таке, що у = arctg х.

Указане правило задає функцію f(x) = arctg х із областю визначення D (f) = ℝ. та областю значень

Рис. 30.7

Функція а є оберненою до функції g (х) = tg х із областю визначення

Справді,

З означення арктангенса випливає, що для всіх х ∈ ℝ. виконується рівність

tg (arctg х) = х

Іншими словами, g (f(х)) = х для всіх х ∈ D(f).

Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції. Властивості взаємно обернених функцій, розглянуті в п. 4, дають змогу визначити деякі властивості функції f(х) = arctg х.

Оскільки функція g (х) = tg х, є зростаючою, то з теореми 4.3 випливає, що функція f(х) = arctg х також є зростаючою.

Оскільки функція g (х) = tg х, є непарною, то функція f(х) = arctg х також є непарною (див. ключову задачу 4.10). Інакше кажучи, для будь-якого х ∈ ℝ. виконується рівність arctg (-х) = -arctg х

Наприклад,

Для будь-якого х ∈ D(g) маємо: f(g (х)) = х. Це означає, що для будь-якого виконується рівність arctg (tg х) = х

Нагадаємо, що графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х. На рисунку 30.8 показано, як за допомогою графіка функції g (х) = tg х,

побудувати графік функції f(х) = arctg х.

Рис. 30.8

Для будь-якого а рівняння ctg х = а на проміжку (0; я) має єдиний корінь, який дорівнює arcctg а (рис. 30.9). Отже, будь-якому числу х можна поставити у відповідність єдине число у із проміжку (0; ) таке, що у = arcctg х.

Рис. 30.9

Указане правило задає функцію f(х) = arcctg х із областю визначення D(f) = ℝ та областю значень E(f) = (0; ).

Функція f є оберненою до функції g(x) = ctg х із областю визначення D(g) = (0; ).

Справді, D(f) = E(g) = ℝ;

E(f) = D(g) = (0; ).

З означення арккотангенса випливає, що для всіх х ∈ ℝ. виконується рівність

ctg (arcctg х) = х

Іншими словами, g (f(х)) = х для всіх х є D(f).

Сказане означає, що f | g — взаємно обернені функції.

Визначимо деякі властивості функції f(х) = arcctg х.

Оскільки функція g (х) = ctg х, D(g) = (0; ), є спадною, то функція f(х) = arcctg х також є спадною.

Для будь-якого х ∈ D(g) маємо: f(g (х)) = х. Це означає, що для будь-якого х ∈ (0; ) виконується рівність

arcctg (ctg х) = х

На рисунку 30.10 показано, як за допомогою графіка функції g (х) = ctg х, D(g) = (0; ), побудувати графік функції f(х) = arcctg х.

Рис. 30.10

Відзначимо ще одну властивість функції арккотангенс: для будь-якого х ∈ ℝ. виконується рівність

arcctg (-х) = - arcctg х

Наприклад,

Доведемо цю властивість.

Нехай arcctg (-х) = і - arcctg х = а₂. Зауважимо, що a₁ ∈ (0; ), а₂∈ (0; ).

Функція у = ctg х спадає на проміжку (0; ), тому на цьому проміжку кожного свого значення вона набуває тільки один раз. Отже, показавши, що ctg = ctg а₂, ми тим самим доведемо рівність а₁ = а₂.

Маємо: ctg = ctg (arcctg (-х)) = -х;

ctg а₂ = ctg (я - arcctg х) = -ctg (arcctg х) = -х.

Отже, ctg a₁ = ctg а₂.

Покажемо, що для будь-якого х ∈ ℝ виконується рівність

Достатньо показати, що arctg х = - arcctg х.

Маємо:

Бачимо, що значення виразів arctg х і - arcctg х належать проміжку зростання функції у = tg х. Отже, достатньо показати, що

Маємо:

У таблиці наведено властивості функцій у = arctg х і у = arcctg х.

ПРИКЛАД 5 Обчисліть

Розв’язання. Нехай тоді tga = -.

Запишемо:

Звідси

Відповідь: .

ПРИКЛАД 6 Доведіть, що

Розв’язання. Оскільки функція y = arctg х є зростаючою, то можна записати:

Звідси

Отже, значення виразів, записаних у лівій і правій частинах рівності, яка доводиться, належать проміжку

На цьому проміжку функція у = tg х зростає.

Тоді для доведення достатньо показати, що

Маємо:

Укажіть властивості функції у = arccos х, у = arcsin х, у = arctg х; у = arcctg х.

ВПРАВИ

30.1. Знайдіть область визначення функції:

30.2. Знайдіть область визначення функції:

30.3. Знайдіть область визначення функції:

30.4. Знайдіть область визначення функції

30.5. Знайдіть найбільше і найменше значення функції:

30.6. Знайдіть найбільше і найменше значення функції:

1) у = arccos х + ;  2) у = arcsin х + 1.

30.7. Знайдіть область значень функції:

30.8.Знайдіть область значень функції:

30.9. Розв’яжіть рівняння:

30.10. Розв’яжіть рівняння:

30.11. Розв’яжіть рівняння:

30.12. Розв’яжіть рівняння:

30.13. Розв’яжіть нерівність:

30.14. Розв'яжіть нерівність:

30.15. Знайдіть область визначення функції:

30.16. Знайдіть область визначення функції:

30.17. Знайдіть область значень функції:

30.18. Знайдіть область значень функції:

30.19. Знайдіть область значень функції

30.20. Знайдіть область значень функції

30.21. Доведіть, що при | х | ≤ 1 виконується рівність

30.22. Доведіть, що при | х | ≤ 1 виконується рівність

30.23. Обчисліть значення виразу:

30.24. Обчисліть значення виразу:

30.25. Обчисліть значення виразу:

1) sin (arctg 2);

30.26. Обчисліть значення виразу:

1) sin (arctg (-3));

30.27. Розв’яжіть рівняння:

1) cos (arccos (4х - 9)) = х² - 5х + 5;

2) sin (arcsin (х + 2)) = х + 2.

30.28. Розв’яжіть рівняння:

1) cos (arccos (4х - 1)) = 3х²; 2) cos (arccos (х - 1)) = х - 1.

30.29. Розв’яжіть нерівність:

30.30. Розв’яжіть нерівність:

30.31. Розв’яжіть нерівність:

30.32. Розв’яжіть нерівність

30.33. Побудуйте графік функції:

1) у = sin (arcsin х);  3) у = cos(2 arcsin х);

2) у = cos (arcsin х); 4) у = sin (arcsin х + arccos х).

30.34. Побудуйте графік функції:

1) у = cos(arccos х);  3) у = cos(2 arccos х);

2) у = sin (arccos х);  4) y = cos(arcsin х + arccos х).

30.35. Побудуйте графік функції:

1) у = tg (arctg х);  2)у = ctg (arctg х).

30.36. Побудуйте графік функції:

1) у = ctg (arcctg х);  2) у = tg (arcctg х).

30.37. Побудуйте графік функції у = arccos(cos х).

30.38. Побудуйте графік функції у = arctg (tg х).

30.39. Побудуйте графік функції у = arcctg (ctg х).

30.40. Обчисліть значення виразу:

30.41. Обчисліть значення виразу:

30.42. Розв’яжіть рівняння

30.43. Розв’яжіть рівняння

30.44. Доведіть, що

30.45. Доведіть, що

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

30.46. Ціну на деякий товар підвищили на 25 %. На скільки відсотків треба знизити нову ціну, щоб вона повернулася до початкового рівня?

30.47. Було 200 г 8-відсоткового розчину солі. Через деякий час 40 г води випарували. Яким став відсотковий вміст солі в розчині?