Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§4. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВН0СТІ

28. Рівняння sin x = b

Оскільки областю значень функції у = sin х є проміжок [-1; 1], то при |6| > 1 рівняння sin х = 6 не має розв’язків. Разом з тим при будь-якому 6 такому, що | b | < 1, це рівняння має корені, причому їх безліч.

Зазначимо, що окремі випадки рівняння sin x = b (для 6 = 1, 6 = 0, 6 = -1) було розглянуто раніше (див. п. 17).

Нагадаємо отримані результати:

Для того щоб отримати загальну формулу коренів рівняння sin x = b, де | b | ≤ 1, звернемося до графічної інтерпретації.

На рисунку 28.1 зображено графіки функцій у = sin х і у = b, | b | ≤ 1.

Рис. 28.1

Розглянемо функцію у = sin х на проміжку тобто на проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона частина кривої на рисунку 28.1). На цьому проміжку рівняння sin х = b має два корені. Позначимо корінь, який належить проміжку через а. Оскільки sin ( - а) = sin а, то другий, корінь дорівнює - а. Зауважимо, що при b = 1 корені а і — а збігаються та дорівнюють .

Оскільки функція у = sin х є періодичною з періодом 2, то кожен з інших коренів рівняння sin х = b відрізняється від одного зі знайдених коренів на число виду 2n, n ∈ ℤ.

Тоді корені рівняння sin х = b можна задати формулами х = а + 2n і х = - а + 2n, n ∈ ℤ.

Ці дві формули можна замінити одним записом:

х = (-1)kа + k, k ∈ ℤ.     (1)

Справді, якщо k — парне число, тобто k = 2n, n ∈ ℤ, то отримуємо: х = а + 2n; якщо k — непарне число, тобто k = 2n + 1, n ∈ ℤ, то отримуємо: х = -a + + 2n = - а + 2n.

Формула (1) показує, що корінь а відіграє особливу роль: знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння sin x = b. Корінь а має спеціальну назву — арксинус.

Означення. Арксинусом числа b, де | b | < 1, називають таке число а з проміжку синус якого дорівнює b.

Для арксинуса числа b використовують позначення arcsin b. Наприклад,

Звернемо увагу, що з усіх чисел, синус яких дорівнює даному числу, арксинус — це єдине число, що належить проміжку

Наприклад, але оскільки

Тепер формулу (1) для коренів рівняння sin х = b, | b | < 1, можна записати або у вигляді сукупності:

або одним записом:

х = (-1)k arcsin b + k, k ∈ ℤ     (2)

Узагалі, одну й ту саму відповідь до тригонометричних рівнянь часто можна подати в різних формах запису.

Зрозуміло, що формулу (2) можна застосовувати і для випадків 6 = 1, 6 = 0, 6 = -1. Проте рівняння sin х = 1, sin x = 0, sin x = -1 зустрічатимуться досить часто, тому радимо запам’ятати формули їхніх коренів, які записано на початку пункту.

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. 1) Використовуючи формулу (2), запишемо:

Далі отримуємо:

Відповідь:

2) Перепишемо дане рівняння у вигляді

Тоді

Відповідь:

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння cosx + sinx = 2.

Розв’язання. Перепишемо дане рівняння у вигляді

Оскільки то можна записати:

Використовуючи формулу синуса суми sin a cos β + cos а sin β = sin (а + (3), отримаємо:

Звідси

Відповідь:

Зауважимо, що під час розв’язування рівняння прикладу 2 можна було скористатися й іншими формулами додавання, наприклад формулою косинуса різниці cos a cos β + sin а sin β = cos (а - β).

Справді, оскільки

Звідси отримуємо ту саму відповідь:

ПРИКЛАД 3 Скільки коренів залежно від значення параметра b має на проміжку [0; 2) рівняння

(3)

Розв’язання. Дане рівняння рівносильне сукупності

Друге рівняння цієї сукупності на проміжку [0; 2я) має два корені:

При | b | > 1 рівняння sin х = b коренів не має. Отже, рівняння (3) має два корені.

Якщо b = 1 або b = -1, то рівняння sin х = b на проміжку [0; 2) має один корінь. Це відповідно числа

Таким чином, при | b | = 1 рівняння (3) має три корені.

Якщо | b | < 1, то рівняння sin x = b на проміжку [0; 2) має два корені. Через це може здаватися, що рівняння (3) в цьому випадку матиме чотири корені. Насправді один із коренів рівняння sin х = b може збігатися із числом або із числом . Знайдемо значення параметра b, при яких числа є коренями рівняння sin х = b. Маємо:

При рівняння sin х = b на проміжку [0; 2) має два корені а рівняння (3) має три корені:

При аналогічно отримуємо, що рівняння (3) має три корені:

Відповідь: якщо b < -1 або b > 1, то 2 корені; якщо b = -1, або b = 1, або або то 3 корені; якщо або то 4 корені.

?

1. При яких значеннях b має корені рівняння sin х = b?

2. Скільки коренів має рівняння sin х = b при | b | ≤ 1?

3. Що називають арксинусом числа b?

4. Запишіть формулу коренів рівняння sin х = b при | b | ≤ 1.

ВПРАВИ

28.1. Розв’яжіть рівняння:

28.2. Розв’яжіть рівняння:

28.3. Розв’яжіть рівняння:

28.4. Розв’яжіть рівняння:

28.5. Розв’яжіть рівняння:

28.6. Розв’яжіть рівняння:

28.7. Знайдіть усі корені рівняння які належать проміжку

28.8. Скільки коренів рівняння належать проміжку

28.9. Розв’яжіть рівняння:

28.10. Розв’яжіть рівняння:

28.11. Розв’яжіть рівняння:

28.12. Розв’яжіть рівняння:

28.13. При яких додатних значеннях параметра а проміжок містить не менше ніж чотири корені рівняння

28.14. При яких від’ємних значеннях параметра а проміжок [а; 0] містить не менше ніж три корені рівняння

28.15. Визначте кількість коренів рівняння sin х = а залежно від значення параметра а на проміжку:

28.16. Визначте кількість коренів рівняння sinx = а залежно від значення параметра а на проміжку:

28.17. Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння на проміжку [0; 2)?

28.18. Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння на проміжку (0; 2]?

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

28.19. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:

28.20. Побудуйте графік функції, укажіть її область значень і проміжки зростання та спадання: