Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ З

Радіанна міра кута

Кутом в один радіан називають центральний кут кола, що спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола.

Тригонометричні функції числового аргументу

Косинусом і синусом кута повороту а називають відповідно абсцису х і ординату у точки Р (х; у) одиничного кола такої, що Р = К(Р₀).

Тангенсом кута повороту а називають відношення синуса цього кута до його косинуса:

Котангенсом кута повороту а називають відношення косинуса цього кута до його синуса:

Знаки значень тригонометричних функцій

cos (-а) = cos а

sin (-а) = -sin а

tg (-ос) = -tg а

ctg (-а) = -ctg а

Періодичні функції

Функцію f називають періодичною, якщо існує таке число Т ≠ 0, що для будь-якого х із області визначення функції f виконуються рівності f (х - Т) = f (х) = f (х + Т). Число Т називають періодом функції f.

Якщо серед усіх періодів функції існує найменший додатний період, то його називають головним періодом функції.

Якщо число Т є періодом функції f, то й число —Т також є періодом функції f.

Якщо числа Т₁ і Т₂ є періодами функції f, причому Т₁ + Т₂≠ 0, то число Т₁ + Т₂ також є періодом функції f.

Якщо число Т є періодом функції f, то будь-яке число виду nТ, де n ∈ ℤ , n ≠ 0, також є її періодом.

Якщо число Т є періодом функції у = f (х), то число , де k ≠ 0, є періодом функції у = f (kx + b).

Якщо Т — головний період функції f, то будь-який період функції f має вигляд nТ, де n ∈ ℤ і n ≠ 0.

Головним періодом функцій у = sin х і у = cos x є число 2; головним періодом функцій у = tg х і у = ctg x є число .

Додатні числа а і b називають сумірними (спільномірними), якщо — раціональне число. Якщо — ірраціональне число, то числа а і b є несумірними.

Число Т, яке є як періодом функції f, так і періодом функції g, називають спільним періодом функцій f i g.

Якщо існують період T_f функції f і період T_g функції g такі, що числа T_f і T_g є сумірними, то функції f i g мають спільний період.

Властивості та графіки тригонометричних функцій

у = sin х:

у = cos х:

У = tg х:

У = ctg х:

Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу

Формули додавання

Формули зведення

Щоб записати будь-яку з формул зведення, керуються такими правилами.

1. У правій частині рівності ставлять той знак, який має ліва частина за умови, що 0 < а < .

2. Якщо в лівій частині формули кут має вигляд

то синус замінюють на косинус, тангенс — на котангенс і навпаки. Якщо кут має вигляд п ± а, то заміни функції не відбувається.

Формули подвійного аргументу

Наслідки з них:

cos 2а = 1 - 2 sin² а

cos 2а = 2 cos² а - 1

1 - cos 2а = 2 sin² а

1 + cos 2а = 2 cos² а

Формули пониження степеня

Формули потрійного аргументу

sin 3а = 3 sin а - 4 sin³ а

cos За = 4 cos³ а - 3 cos а

Формули половинного аргументу

Формули для перетворення суми або різниці тригонометричних функцій у добуток

Формули для перетворення добутку тригонометричних функцій y суму